高考数学考点突破——随机变量及其分布理科专用二项分布与正态分布

高考数学考点突破——随机变量及其分布理科专用二项分布与正态分布

二项分布与正态分布 ‎【考点梳理】‎ ‎1．条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ‎(1)0≤P(B|A)≤1；‎ ‎(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ ‎2．事件的相互独立性 ‎(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立.‎ ‎(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A).‎ ‎3．独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).‎ ‎(2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.‎ ‎4．正态分布 ‎(1)正态分布的定义 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).其中φμ，σ(x)＝(σ>0).‎ ‎(2)正态曲线的性质 ‎①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；‎ ‎②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；‎ ‎③曲线在x＝μ处达到峰值；‎ ‎④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.‎ ‎(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ‎①P(μ－σ4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝[1－P(ξ<0)－P(ξ>4)]＝(1－0.2－0.2)＝0.3.‎ ‎(2)由题意，知P(ξ>110)＝＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10.‎ ‎【类题通法】‎ 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(2)P(X120)＝×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.‎ 予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。‎ ‎ 是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。予亦方举进士，以礼部诗赋为事。年十有七试于州，为有司所黜。因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：学者当至于是而止尔！因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。‎