中考数学复习 二次函数练习题及答案

中考数学复习 二次函数练习题及答案

基础达标验收卷 一、选择题: 1.(2003•大连)抛物线 y=(x-2)2+3 的对称轴是( ). A.直线 x=-3 B.直线 x=3 C.直线 x=-2 D.直线 x=2 2.(2004•重庆)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图,则点 M(b, )在( ). A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限 3.(2004•天津)已知二次函数 y=ax2+bx+c,且 a<0,a-b+c>0,则一定有( ). A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0 4.(2003•杭州)把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个 单位,所得图象的解析式是 y=x2-3x+5,则有( ). A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=21 5.(2004•河北)在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图 象大致为( ). 6.(2004•昆明)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点 P 的横坐标是 4,图 象交 x 轴于点 A(m,0)和点 B,且 m>4,那么 AB 的长是( ). A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 1.(2004•河北)若将二次函数 y=x2-2x+3 配方为 y=(x-h)2+k 的形式,则 y=_______. 2.(2003•新疆)请你写出函数 y=(x+1)2 与 y=x2+1 具有的一个共同性质 _______. 3.(2003•天津)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=2,且经过点(1,4)和点 (5,0),则该抛物线的解析式为_________. 4.(2004•武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,请你写出 一个满足条件的二次函数的解析式:_________. 5.(2003•黑龙江)已知抛物线 y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1,则 a+c=_____. 6.(2002•北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特 点: 甲:对称轴是直线 x=4; 乙:与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与 y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 三、解答题 1.(2003•安徽)已知函数 y=x2+bx-1 的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当 x>0 时,求使 y≥2 的 x 取值范围. 2.(2004•济南)已知抛物线 y=- x2+(6- )x+m-3 与 x 轴有 A、B 两个交点,且 A、 B 两点关于 y 轴对称. (1)求 m 的值; (2)写出抛物线解析式及顶点坐标; (3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来. 3.(2004•南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点 A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛 物线满足以平行于 y轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点 A、E、B 的抛物 线表示为抛物线 AEB(如图所示). (1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,请用约定的方法一一表 示出来; (2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不 相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由. 能力提高练习 一、学科内综合题 1.(2003•新疆)如图,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 B、C 两点,与 y 轴 交于 A 点. (1)根据图象确定 a、b、c 的符号,并说明理由; (2)如果点 A 的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式. 二、实际应用题 2.(2004•河南)某市近年来经济发展速度很快,根据统计:该市国内生产总值 1990 年为 8.6 亿元人民币,1995 年为 10.4 亿元人民币,2000 年为 12.9 亿元人民 币. 经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测 2005年该市国内生产总值将达到多少? 3.(2003•辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了 从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利 润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系). 根据图象(图)提供的信息,解答下列问题: (1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润 s(万元)与时间 t(月)之间的函数关 系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元; (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元? 4.(2003•吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面 AB的宽为 20m,如 果水位上升 3m 时,水面 CD 的宽是 10m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此 桥 280km(桥长忽略不计).货车正以每小时 40km 的速度开往乙地,当行驶 1 小时 时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨 (货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点 O 时,禁止车辆通行),试问: 如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货 车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米? 三、开放探索题 5.(2003•济南)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时, 发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的 顶点都在某条直线上;二是发现当实数 a 变化时,若把抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点 的横坐标减少 ,纵坐标增加 ,得到 A 点的坐标;若把顶点的横坐标增加 ,纵坐标增 加 ,得到 B 点的坐标,则 A、B 两点一定仍在抛物线 y=ax2+2x+3 上. (1)请你协助探求出当实数 a 变化时,抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点所在直线的 解析式; (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说 明理由; (3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,你还 能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能 成立,请说明理由. 6.(2004•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形 ABCD 的边长为 a,O 为原点,点 B 在 x 轴的负半轴上,点 D 在 y 轴的正半轴上.直线 OE 的解析式为 y=2x,直线 CF 过 x 轴上一点 C(- a,0)且与 OE 平行.现正方形以每秒 的速度匀速沿 x 轴正方向平行 移动,设运动时间为 t 秒,正方形被夹在直线 OE 和 CF 间的部分的面积为 S. (1)当 0≤t<4 时,写出 S 与 t 的函数关系; (2)当 4≤t≤5 时,写出 S 与 t 的函数关系,在这个范围内 S 有无最大值?若有,请求 出最大值;若没有,请说明理由. 答案: 基础达标验收卷 一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=- x2+2x+ 4.如 y=-x2+1 5.1 6.y= x2- x+3 或 y=- x2+ x-3 或 y=- x2- x+1 或 y=- x2+ x-1 三、 1.解:(1)∵函数 y=x2+bx-1 的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得 b=-2. ∴函数解析式为 y=x2-2x-1. (2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2. 图象略. 图象的顶点坐标为(1,-2). (3)当 x=3 时,y=2,根据图象知,当 x≥3 时,y≥2. ∴当 x>0 时,使 y≥2 的 x 的取值范围是 x≥3. 2.(1)设 A(x1,0) B(x2,0). ∵A、B 两点关于 y 轴对称. ∴ ∴ 解得 m=6. (2)求得 y=- x2+3.顶点坐标是(0,3) (3)方程- x2+(6- )x+m-3=0 的两根互为相反数(或两根之和为零等). 3.解:(1)符合条件的抛物线还有 5 条,分别如下: ①抛物线 AEC; ②抛物线 CBE; ③抛物线 DEB; ④抛物线 DEC; ⑤抛物线 DBC. (2)在(1)中存在抛物线 DBC,它与直线 AE 不相交. 设抛物线 DBC 的解析式为 y=ax2+bx+c. 将 D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得 解这个方程组,得 a= ,b=- ,c=1. ∴抛物线 DBC 的解析式为 y= x2- x+1. 【另法:设抛物线为 y=a(x-1)(x-4),代入 D(-2, ),得 a= 也可.】 又将直线 AE 的解析式为 y=mx+n. 将 A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得 解这个方程组,得 m=-3,n=-6. ∴直线 AE 的解析式为 y=-3x-6. 能力提高练习 一、 1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴在 y 轴的左侧, ∴- <0,∴b>0. 又∵抛物线交于 y 轴的负半轴. ∴c<0. (2)如图,连结 AB、AC. ∵在 Rt△AOB 中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在 Rt△ACO 中,∠ACO=60°, ∴OC=OA•cot60°= ,∴C( ,0). 设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意 ∴所求二次函数的解析式为 y= x2+ ( -1)x-3. 2.依题意,可以把三组数据看成三个点: A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9) 设 y=ax2+bx+c. 把 A、B、C 三点坐标代入上式,得 解得 a=0.014,b=0.29,c=8.6. 即所求二次函数为 y=0.014x2+0.29x+8.6. 令 x=15,代入二次函数,得 y=16.1. 所以,2005 年该市国内生产总值将达到 16.1 亿元人民币. 3.解:(1)设 s 与 t 的函数关系式为 s=at2+bt+c 由题意得 或 解得 ∴s= t2-2t. (2)把 s=30 代入 s= t2-2t, 得 30= t2-2t. 解得 t1=0,t2=-6(舍). 答:截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元. (3)把 t=7 代入,得 s= ×72-2×7= =10.5; 把 t=8 代入,得 s= ×82-2×8=16. 16-10.5=5.5. 答:第 8 个月公司获利润 5.5 万元. 4.解:(1)设抛物线的解析式为 y=ax2,桥拱最高点 O 到水面 CD 的距离为 hm, 则 D(5,-h),B(10,-h-3). ∴ 解得 抛物线的解析式为 y=- x2. (2)水位由 CD 处涨到点 O 的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到 xkm/h. 当 4x+40×1=280 时,x=60. ∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过 60km/h. 5.略 6.解:(1)当 0≤t<4 时, 如图 1,由图可知 OM= t,设经过 t 秒后,正方形移动到 ABMN, ∵当 t=4 时,BB1=OM= ×4= a, ∴点 B1 在 C 点左侧. ∴夹在两平行线间的部分是多边形 COQNG, 其面积为: 平行四边形 COPG-△NPQ 的面积. ∵CO= a,OD=a, ∴四边形 COPQ 面积= a2. 又∵点 P 的纵坐标为 a,代入 y=2x 得 P( ,a),∴DP= . ∴NP= - t. 由 y=2x 知,NQ=2NP,∴△NPQ 面积= ∴S= a2-( t)2= a2- (5-t)2= [60-(5-t)2]. (2)当 4≤t≤5 时, 如图,这时正方形移动到 ABMN, ∵当 4≤t≤5 时, a≤BB1≤ ,当 B 在 C、O 点之间. ∴夹在两平行线间的部分是 B1OQNGR,即平行四边形 COPG被切掉了两 个小三角形△NPQ 和△CB1R,其面积为:平行四边形 COPG-△NPQ 的面积-△ CB1R 的面积. 与(1)同理,OM= t,NP= t,S△NPQ=( t)2 , ∵CO= a,CM= a+ t,BiM=a, ∴CB1=CM-B1M= a+ t-a= t- a. ∴S△CB1R= CB1•B1R=(CB1)2=( t- a)2. ∴S= a2-( - t)2 -( t- a)2 = a2- [(5-t)2+(t-4)2] = a2- (2t2-18t+41) = a2- [2•(t- )2+ ]. ∴当 t= 时,S 有最大值,S 最大= a- • = a2.