高中数学第一章1-2-4函数的最大值练习新人教B版选修2-2

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高中数学第一章1-2-4函数的最大值练习新人教B版选修2-2

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.4 函数的最大值练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1.函数 y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是 ( ). A.0 B.1 e C.4 e4 D.2 e2 2.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( ). A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D. 0,1 2 3.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上 的是 ( ). A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c) 4.已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2] 上的最小值为 ( ). A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 5.函数 y=x+2cos x 在区间 0,π 2 上的最大值是________. 6.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈ -π 2 ,π 2 的最大、最小值分别是________. 7.函数 f(x)= 4x x2+1 ,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________. 8.如果函数 f(x)=x3-3 2 x2+a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的最小值 是________. 9.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 10.已知函数 f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 1.函数 y=xe-x,x∈[0,4]的最大值是 ( ). A.0 B.1 e C.4 e4 D.2 e2 解析 y′=e-x-x·e-x=e-x(1-x),令 y′=0,∴x=1, ∴f(0)=0,f(4)=4 e4,f(1)=e-1=1 e ,∴f(1)为最大值,故选 B. 答案 B 2.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是 ( ). A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D. 0,1 2 解析 ∵f′(x)=3x2-3a,令 f′(x)=0,可得 a=x2, 又∵x∈(0,1),∴0f(2)>f(-2),∴m=3,最小 值为 f(-2)=-37. 答案 A 9.函数 f(x)= 4x x2+1 ,x∈[-2,2]的最大值是________,最小值是________. 解析 ∵y′=4 x2+1 -2x·4x x2+1 2 = -4x2+4 x2+1 2, 令 y′=0 可得 x=1 或-1. 又∵f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=8 5 ,f(-2)=-8 5 , ∴最大值为 2,最小值为-2. 答案 2 -2 10.如果函数 f(x)=x3-3 2 x2+a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的最小值 是________. 解析 f′(x)=3x2-3x, 令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1. ∵f(0)=a,f(-1)=-5 2 +a, f(1)=-1 2 +a,∴f(x)max=a=2. ∴f(x)min=-5 2 +a=-1 2 . 答案 -1 2 11.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 解 (1)∵f′(x)=-3x2+6x+9. 令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, ∴f(2)>f(-2). 于是有 22+a=20,∴a=-2. ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2. ∵在(-1,3)上 f′(x)>0,∴f(x)在[-1,2]上单调递增. 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, ∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即 f(x)最小值为-7. 12.(创新拓展)已知函数 f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解 ∵f(x)=x2e-ax(a>0), ∴f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令 f′(x)>0,即 e-ax(-ax2+2x)>0, 得 02 时,f(x)在(1,2)上是减函数, ∴f(x)max=f(1)=e-a. 当 1≤2 a ≤2,即 1≤a≤2 时, f(x)在 1,2 a 上是增函数, 在 2 a ,2 上是减函数, ∴f(x)max=f 2 a =4 a2e-2. 当2 a >2,即 02 时,f(x)的最大值为 e-a.
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