高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.7 定积分的简单应用

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.7 定积分的简单应用

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 [学习目标] 1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接] 1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算 定积分即可． 2．当 f(x)<0 时，f(x)与 x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答 如图，因为曲边梯形上边界函数为 g(x)＝0，下边界函数为 f(x)，所以 S＝错误!(0－f(x))dx＝ －错误!f(x)dx. [预习导引] 曲边梯形面积的表达式 (1)当 x∈[a，b]时，若 f(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边 梯形的面积 S＝错误!f(x)dx. (2)当 x∈[a，b]时，若 f(x)<0，由直线 x＝a，x＝b(a≠ b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积 S＝－错误!f(x)dx. (3)(如图)当 x∈[a，b]时，若 f(x)>g(x)>0 时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x) 围成的平面图形的面积 S＝错误![f(x)－g(x)]dx. 要点一 不分割型图形面积的求解 例 1 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的面积． 解 由 y＝x2－4， y＝－x＋2， 得 x＝－3， y＝5 或 x＝2， y＝0， 所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)和(2,0)，设 所求图形面积为 S，根据图形可得 S＝错误!－3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝错误!－3(－x2－x＋6)dx ＝ －1 3x3－1 2x2＋6x |2 －3 ＝22 3 － －27 2 ＝125 6 . 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积． 跟踪演练 1 求由曲线 y＝2x－x2，y＝2x2－4x 所围成的图形的面积． 解 由 y＝2x－x2， y＝2x2－4x， 得 x1＝0，x2＝2.由图可知，所求图形的面积为 S＝错误![(2x－x2)－(2x2－4x)]dx ＝错误!(－3x2＋6x)dx ＝(－x3＋3x2)|2 0 ＝4. 要点二 分割型图形面积的求解 例 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－1 3x 所围成图形的面积． 解 法一 画出草图，如图所示． 解方程组 y＝ x， x＋y＝2， y＝ x， y＝－1 3x， 及 x＋y＝2， y＝－1 3x， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以 S＝ 错误! x－ －1 3x dx＋错误! 2－x－ －1 3x dx ＝错误! x＋1 3x dx＋错误! 2－2 3x dx ＝ 2 3x3 2 ＋1 6x2 |1 0 ＋ 2x－1 3x2 |3 1 ＝5 6 ＋6－1 3 ×9－2＋1 3 ＝13 6 . 法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为 x＝y2，x＝2－y，x＝－3y. 因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以 S＝错误!－1[(2－y)－(－3y)]dy＋错误!0[(2－y)－y2]dy ＝错误!－1(2＋2y)dy＋错误!0(2－y－y2)dy ＝(2y＋y2)|0 －1 ＋ 2y－1 2y2－1 3y3 |1 0 ＝－(－2＋1)＋2－1 2 －1 3 ＝13 6 . 规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或 下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行 细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是 由上减下；若积分变量选取 x 运算较为复杂，可以选 y 为积分变量，同时更改积分的上下限． 跟踪演练 2 计算由曲线 y2＝x，y＝x3 所围成图形的面积 S. 解 作出曲线 y2＝x，y＝x3 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组 y2＝x， y＝x3， 得交点横坐标为 x＝0 及 x＝1. 因此，所求图形的面积为 S＝错误! xdx－错误!x3dx＝2 3x3 2|1 0 －1 4x4|1 0 ＝2 3 －1 4 ＝ 5 12. 要点三 定积分的综合应用 例 3 设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x＋2. (1)求 y＝f(x)的表达式； (2)求 y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f′(x)＝2ax＋b. 又 f′(x)＝2x＋2，所以 a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程 f(x)＝0 有两个相等实根， 即 x2＋2x＋c＝0 有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c＝0，即 c＝1.故 f(x)＝x2＋2x＋1. (2)画函数 y＝f(x)的图象如图． 由图象知所求面积为 S＝错误!－1(x2＋2x＋1)dx ＝ 1 3x3＋x2＋x |0 －1 ＝1 3. 规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在 这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合． 跟踪演练 3 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成图形的面 积为 1 12 ，试求切点 A 的坐标及过切点 A 的切线方程． 解 设切点 A(x0，x20)， 切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝2x0. ∴切线方程为 y－x20＝2x0(x－x0)． 令 y＝0，得 x＝x0 2 ， ∴S＝∫x0 2 0x2dx＋∫x0 x0 2 [x2－(2x0x－x20)]dx＝ 1 12x30. ∴ 1 12x30＝ 1 12 ，x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1. 1．在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( ) S＝错误![f(x)－g(x)]dx S＝错误!(2 2x－2x＋8)dx ① ② S＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx S＝错误![g(x)－f(x)]dx＋错误![f(x)－g(x)]dx ③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 答案 D 解析 ①应是 S＝错误![f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝错误!2 2xdx－错误!(2x－8)dx，③和④正确．故选 D. 2．曲线 y＝cos x(0≤x≤3 2π)与坐标轴所围图形的面积是( ) A．2 B．3 C．5 2 D．4 答案 B 解析 S＝∫π 20cos xdx－∫3π 2 π 2cos xdx＝sin x| π 20－sin x|3π 2 π 2 ＝sin π 2 －sin 0－ sin 3π 2 ＋sin π 2 ＝1－0＋1＋1＝3. 3．由曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 4 3 解析 解方程组 y＝2x， y＝x2 ，得 x＝0， y＝0， x＝2， y＝4. ∴曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S＝错误!(2x－x2)dx＝ x2－1 3x3 |20＝ 4－8 3 －0＝4 3. 4．由曲线 y＝x2＋4 与直线 y＝5x，x＝0，x＝4 所围成平面图形的面积是________． 答案 19 3 解析 由图形可得 S＝错误!(x2＋4－5x)dx＋错误!(5x－x2－4)dx ＝ 1 3x3＋4x－5 2x2 |10＋ 5 2x2－1 3x3－4x |41 ＝1 3 ＋4－5 2 ＋5 2 ×42－1 3 ×43－4×4－5 2 ＋1 3 ＋4＝19 3 . 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定 积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的. 一、基础达标 1． 用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( ) A. 错误!f(x)dx B.错误! C． 错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx D.错误!f(x)dx－错误!f(x)dx 答案 D 解析 ∵x∈[a，b]时，f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0， ∴阴影部分的面积 S＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx. 2．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x＝a，x＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.错误![f(x)－g(x)]dx B．错误![g(x)－f(x)]dx C．错误!|f(x)－g(x)|dx D．错误! 答案 C 解析 当 f(x)＞g(x)时，所求面积为错误![f(x)－g(x)]dx；当 f(x)≤g(x)时，所求面积为错误![g(x) －f(x)]dx.综上，所求面积为错误!|f(x)－g(x)|dx. 3．由曲线 y＝x2－1、直线 x＝0、x＝2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.错误!(x2－1)dx B.错误! C．错误!|x2－1|dx D.错误!(x2－1)dx＋错误!(x2－1)dx 答案 C 解析 y＝|x2－1|将 x 轴下方阴影反折到 x 轴上方， 其定积分为正，故应选 C. 4．(2013·北京卷)直线 l 过抛物线 C：x2＝4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的 面积等于( ) A.4 3 B．2 C．8 3 D．16 2 3 答案 C 解析 抛物线 x2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线 l 过抛物线 C：x2＝4y 的焦点且与 y 轴垂 直，所以直线 l 的方程为 y＝1， 由 y＝1 x2＝4y ，可得交点的横坐标分别为－2,2. 所以直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为 错误!－2 1－x2 4 dx＝ x－ 1 12x3 |2－2＝8 3.故选 C. 5．由曲线 y＝ x与 y＝x3 所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 错误!( x－x3)dx 解析 画出 y＝ x和 y＝x3 的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积， 解方程组 y＝ x y＝x3 得交点的横坐标为 x＝0 及 x＝1.因此，所求图形的面积为 S＝错误!( x－ x3)dx. 6．由两条曲线 y＝x2，y＝1 4x2 与直线 y＝1 围成平面区域的面积是________． 答案 4 3 解析 如图，y＝1 与 y＝x2 交点 A(1,1)， y＝1 与 y＝x2 4 交点 B(2,1)，由对称性可知面积 S＝2错误!＝4 3. 7．求曲线 y＝6－x 和 y＝ 8x，x＝0 围成图形的面积． 解 作出直线 y＝6－x，曲线 y＝ 8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组 y＝6－x y＝ 8x 得直线 y＝6－x 与曲线 y＝ 8x交点的坐标为(2,4)，直线 y＝6－x 与 x 轴 的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S＝S1＋S2＝错误! 8xdx＋错误!(6－x)dx＝ 8×2 3x3 2 |20 ＋6x－1 2x2|62＝ 16 3 ＋ 6×6－1 2 ×62 － 6×2－1 2 ×22 ＝ 16 3 ＋8＝40 3 . 二、能力提升 8．(2013·江西改编)设 f(x)＝ x2，x∈[0，1]， 2－x，x∈1，2]， 则 错误!f(x)dx 等于( ) A.3 4 B．4 5 C．5 6 D．不存在 答案 C 解析 数形结合，如图，错误!f(x)dx＝错误!x2dx＋错误!(2－x)dx＝ 1 3x3|10＋ 2x－1 2x2 |21 ＝1 3 ＋ 4－2－2＋1 2 ＝5 6. 9．若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c>0)围成图形的面积是2 3 ，则 c 等于( ) A.1 3 B．1 2 C．1 D．2 3 答案 B 解析 由 y＝x2 y＝cx3 得 x＝0 或 x＝1 c. ∵0cx3， ∴S＝∫1 c0(x2－cx3)dx ＝ 1 3x3－1 4cx4 |1 c0 ＝ 1 3c3 － 1 4c3 ＝ 1 12c3 ＝2 3. ∴c3＝1 8.∴c＝1 2. 10．从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分的概率为________． 答案 1 3 解析 根据题意得：S 阴＝错误!3x2dx＝ x3|1 0 ＝1，则点 M 取自阴影部分的概率为 S 阴 S 矩 ＝ 1 3×1 ＝1 3. 11．求抛物线 y＝－x2＋4x－3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由 y′＝－2x＋4 得在点 A、B 处切线的斜率分别为 2 和－2，则两直线方程分别为 y＝ 2x－2 和 y＝－2x＋6， 由 y＝2x－2， y＝－2x＋6， 得两直线交点坐标为 C(2,2)， ∴S＝S△ABC－错误!f(－x2＋4x－3)dx ＝1 2 ×2×2－ －1 3x3＋2x2－3x |31＝2－4 3 ＝2 3. 12．设点 P 在曲线 y＝x2 上，从原点向 A(2,4)移动，如果直线 OP，曲线 y＝x2 及直线 x＝2 所围成的面积分别记为 S1、S2. (1)当 S1＝S2 时，求点 P 的坐标； (2)当 S1＋S2 有最小值时，求点 P 的坐标和最小值． 解 (1)设点 P 的横坐标为 t(00. 所以，当 t＝ 2时，S1＋S2 有最小值8 3 －4 2 3 ，此时点 P 的坐标为( 2，2)． 三、探究与创新 13．已知抛物线 y＝x2－2x 及直线 x＝0，x＝a，y＝0 围成的平面图形的面积为4 3 ，求 a 的值． 解 作出 y＝x2－2x 的图象如图． (1)当 a<0 时， S＝错误!(x2－2x)dx＝ 1 3x3－x2 |0a＝－a3 3 ＋a2＝4 3 ， ∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1. (2)当 a>0 时，①若 00，∴a＝2.②当 a>2 时，不合题意． 综上 a＝－1，或 a＝2.