杭州市中考数学试题及答案word解析版

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杭州市中考数学试题及答案word解析版

浙江省杭州市2014年中考数学试卷 ‎ ‎ 一、仔细选一选(本题有10个小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)(2014•杭州)3a•(﹣2a)2=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣12a3‎ B.‎ ‎﹣6a2‎ C.‎ ‎12a3‎ D.‎ ‎6a3‎ 考点:‎ 单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方.‎ 分析:‎ 首先利用积的乘方将括号展开,进而利用单项式乘以单项式求出即可.‎ 解答:‎ 解:3a•(﹣2a)2=3a×4a2=12a3.‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算等知识,熟练掌握单项式乘以单项式运算是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2014•杭州)已知一个圆锥体的三视图如图所示,则这个圆锥的侧面积为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎12πcm2‎ B.‎ ‎15πcm2‎ C.‎ ‎24πcm2‎ D.‎ ‎30πcm2‎ 考点:‎ 圆锥的计算 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 俯视图为圆的只有圆锥,圆柱,球,根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥,那么侧面积=底面周长×母线长÷2.‎ 解答:‎ 解:∵底面半径为3,高为4,‎ ‎∴圆锥母线长为5,‎ ‎∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键;本题体现了数形结合的数学思想,注意圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2014•杭州)在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3sin40°‎ B.‎ ‎3sin50°‎ C.‎ ‎3tan40°‎ D.‎ ‎3tan50°‎ 考点:‎ 解直角三角形 分析:‎ 利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数,然后根据正切函数的定义即可求解.‎ 解答:‎ 解:∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°,‎ 又∵tanB=,‎ ‎∴AC=BC•tanB=3tan50°.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2014•杭州)已知边长为a的正方形的面积为8,则下列说法中,错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a是无理数 B.‎ a是方程x2﹣8=0的解 ‎ ‎ C.‎ a是8的算术平方根 D.‎ a满足不等式组 考点:‎ 算术平方根;无理数;解一元二次方程-直接开平方法;解一元一次不等式组.菁优网版权所有 分析:‎ 首先根据正方形的面积公式求得a的值,然后根据算术平方根以及方程的解的定义即可作出判断.‎ 解答:‎ 解:a==2,则a是a是无理数,a是方程x2﹣8=0的解,是8的算术平方根都正确;‎ 解不等式组,得:3<a<4,而2<3,故错误.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 此题主要考查了算术平方根的定义,方程的解的定义,以及无理数估计大小的方法.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2014•杭州)下列命题中,正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 梯形的对角线相等 B.‎ 菱形的对角线不相等 ‎ ‎ C.‎ 矩形的对角线不能相互垂直 D.‎ 平行四边形的对角线可以互相垂直 考点:‎ 命题与定理.‎ 专题:‎ 常规题型.‎ 分析:‎ 根据等腰梯形的判定与性质对A进行判断;根据菱形的性质对B进行判断;根据矩形的性质对C进行判断;根据平行四边形的性质对D进行判断.‎ 解答:‎ 解:A、等腰梯形的对角线相等,所以A选项错误;‎ B、菱形的对角线不一定相等,若相等,则菱形变为正方形,所以B选项错误;‎ C、矩形的对角线不一定相互垂直,若互相垂直,则矩形变为正方形,所以C选项错误;‎ D、平行四边形的对角线可以互相垂直,此时平行四边形变为菱形,所以D选项正确.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式;有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2014•杭州)函数的自变量x满足≤x≤2时,函数值y满足≤y≤1,则这个函数可以是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y=‎ B.‎ y=‎ C.‎ y=‎ D.‎ y=‎ 考点:‎ 反比例函数的性质.‎ 分析:‎ 把x=代入四个选项中的解析式可得y的值,再把x=2代入解析式可得y的值,然后可得答案.‎ 解答:‎ 解:A、把x=代入y=可得y=1,把x=2代入y=可得y=,故此选项正确;‎ B、把x=代入y=可得y=4,把x=2代入y=可得y=1,故此选项错误;‎ C、把x=代入y=可得y=,把x=2代入y=可得y=,故此选项错误;‎ D、把x=代入y=可得y=16,把x=2代入y=可得y=4,故此选项错误;‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了反比例函数图象的性质,关键是正确理解题意,根据自变量的值求出对应的函数值.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2014•杭州)若(+)•w=1,则w=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a+2(a≠﹣2)‎ B.‎ ‎﹣a+2(a≠2)‎ C.‎ a﹣2(a≠2)‎ D.‎ ‎﹣a﹣2(a≠﹣2)‎ 考点:‎ 分式的混合运算 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式变形后,计算即可确定出W.‎ 解答:‎ 解:根据题意得:W===﹣(a+2)=﹣a﹣2.‎ 故选:D.‎ 点评:‎ 此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2014•杭州)已知2001年至2012年杭州市小学学校数量(单位:所)和在校学生人数(单位:人)的两幅统计图.由图得出如下四个结论:‎ ‎①学校数量2007年~2012年比2001~2006年更稳定;‎ ‎②在校学生人数有两次连续下降,两次连续增长的变化过程;‎ ‎③2009年的大于1000;‎ ‎④2009~2012年,相邻两年的学校数量增长和在校学生人数增长最快的都是2011~2012年.‎ 其中,正确的结论是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①②③④‎ B.‎ ‎①②③‎ C.‎ ‎①②‎ D.‎ ‎③④‎ 考点:‎ 折线统计图;条形统计图.‎ 分析:‎ ‎①根据条形统计图可知,学校数量2001~2006年下降幅度较大,最多1354所,最少605所,而2007年~2012年学校数量都是在400所以上,440所以下,由此判断即可;‎ ‎②由折线统计图可知,在校学生人数有2001年~2003年、2006年~2009年两次连续下降,2004年~2006年、2009年~2012年两次连续增长的变化过程,由此判断即可;‎ ‎③由统计图可知,2009年的在校学生445192人,学校数量417所,再进行计算即可判断;‎ ‎④分别计算2009~2010年,2010~2011年,2011~2012年相邻两年的学校数量的增长率和在校学生人数的增长率,再比较即可.‎ 解答:‎ 解:①根据条形统计图可知,学校数量2001~2006年下降幅度较大,最多1354所,最少605所,而2007年~2012年学校数量都是在400所以上,440所以下,故结论正确;‎ ‎②由折线统计图可知,在校学生人数有2001年~2003年、2006年~2009年两次连续下降,2004年~2006年、2009年~2012年两次连续增长的变化过程,故结论正确;‎ ‎③由统计图可知,2009年的在校学生445192人,学校数量417所,‎ 所以2009年的==1067>1000,故结论正确;‎ ‎④∵2009~2010年学校数量增长率为≈﹣2.16%,‎ ‎2010~2011年学校数量增长率为≈0.245%,‎ ‎2011~2012年学校数量增长率为≈1.47%,‎ ‎1.47%>0.245%>﹣2.16%,‎ ‎∴2009~2012年,相邻两年的学校数量增长最快的是2011~2012年;‎ ‎∵2009~2010年在校学生人数增长率为≈1.96%,‎ ‎2010~2011年在校学生人数增长率为≈2.510%,‎ ‎2011~2012年在校学生人数增长率为≈1.574%,‎ ‎2.510%>1.96%>1.574%,‎ ‎∴2009~2012年,相邻两年的在校学生人数增长最快的是2010~2011年,‎ 故结论错误.‎ 综上所述,正确的结论是:①②③.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据,折线统计图表示的是事物的变化情况.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2014•杭州)让图中两个转盘分别自由转动一次,当转盘停止转动时,两个指针分别落在某两个数所表示的区域,则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 列表得出所有等可能的情况数,找出两个数的和是2的倍数或3的倍数情况,即可求出所求概率.‎ 解答:‎ 解:列表如下:‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 1‎ ‎ (1,1)‎ ‎ (2,1)‎ ‎ (3,1)‎ ‎ (4,1)‎ ‎ 2‎ ‎ (1,2)‎ ‎ (2,2)‎ ‎ (3,2)‎ ‎ (4,2)‎ ‎ 3‎ ‎ (1,3)‎ ‎ (2,3)‎ ‎ (3,3)‎ ‎ (4,3)‎ ‎ 4‎ ‎ (1,4)‎ ‎ (2,4)‎ ‎ (3,4)‎ ‎ (4,4)‎ 所有等可能的情况有16种,其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种,‎ 则P==.‎ 故选C 点评:‎ 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2014•杭州)已知AD∥BC,AB⊥AD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称,点E与点F关于BD对称,AC与BD相交于点G,则(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1+tan∠ADB=‎ B.‎ ‎2BC=5CF C.‎ ‎∠AEB+22°=∠DEF D.‎ ‎4cos∠AGB=‎ 考点:‎ 轴对称的性质;解直角三角形.‎ 分析:‎ 连接CE,设EF与BD相交于点O,根据轴对称性可得AB=AE,并设为1,利用勾股定理列式求出BE,再根据翻折的性质可得DE=BF=BE,再求出BC=1,然后对各选项分析判断利用排除法求解.‎ 解答:‎ 解:如图,连接CE,设EF与BD相交于点O,‎ 由轴对称性得,AB=AE,设为1,‎ 则BE==,‎ ‎∵点E与点F关于BD对称,‎ ‎∴DE=BF=BE=,‎ ‎∴AD=1+,‎ ‎∵AD∥BC,AB⊥AD,AB=AE,‎ ‎∴四边形ABCE是正方形,‎ ‎∴BC=AB=1,‎ ‎1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=,故A选项结论正确;‎ CF=BF﹣BC=﹣1,‎ ‎∴2BC=2×1=2,‎ ‎5CF=5(﹣1),‎ ‎∴2BC≠5CF,故B选项结论错误;‎ ‎∠AEB+22°=45°+22°=67°,‎ 在Rt△ABD中,BD===,‎ sin∠DEF===,‎ ‎∴∠DEF≠67°,故C选项结论错误;‎ 由勾股定理得,OE2=()2﹣()2=,‎ ‎∴OE=,‎ ‎∵∠EBG+∠AGB=90°,‎ ‎∠EGB+∠BEF=90°,‎ ‎∴∠AGB=∠BEF,‎ 又∵∠BEF=∠DEF,‎ ‎∴4cos∠AGB===,故D选项结论错误.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,设出边长为1可使求解过程更容易理解.‎ ‎ ‎ 二、认真填一填(本题共6个小题,每小题4分,共24分)‎ ‎11.(4分)(2014•杭州)2012年末统计,杭州市常住人口是880.2万人,用科学记数法表示为 8.802×106 人.‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答:‎ 解:880.2万=880 2000=8.802×106,‎ 故答案为:8.802×106.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2014•杭州)已知直线a∥b,若∠1=40°50′,则∠2= 139°10′ .‎ 考点:‎ 平行线的性质;度分秒的换算.菁优网版权所有 分析:‎ 根据对顶角相等可得∠3=∠1,再根据两直线平行,同旁内角互补列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:∠3=∠1=40°50′,‎ ‎∵a∥b,‎ ‎∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°50′=139°10′.‎ 故答案为:139°10′.‎ 点评:‎ 本题考查了平行线的性质,对顶角相等的性质,度分秒的换算,要注意度、分、秒是60进制.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2014•杭州)设实数x、y满足方程组,则x+y= 8 .‎ 考点:‎ 解二元一次方程组.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 方程组利用加减消元法求出解得到x与y的值,即可确定出x+y的值.‎ 解答:‎ 解:,‎ ‎①+②得:x=6,即x=9;‎ ‎①﹣②得:﹣2y=2,即y=﹣1,‎ ‎∴方程组的解为,‎ 则x+y=9﹣1=8.‎ 故答案为:8‎ 点评:‎ 此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2014•杭州)已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图,则这六个整点时气温的中位数是 15.6 ℃.‎ 考点:‎ 折线统计图;中位数.菁优网版权所有 分析:‎ 根据中位数的定义解答.将这组数据从小到大重新排列,求出最中间两个数的平均数即可.‎ 解答:‎ 解:把这些数从小到大排列为:4.5,10.5,15.3,15.9,19.6,20.1,‎ 最中间的两个数的平均数是(15.3+15.9)÷2=15.6(℃),‎ 则这六个整点时气温的中位数是15.6℃;‎ 故答案为:15.6.‎ 点评:‎ 此题考查了折线统计图和中位数,掌握中位数的定义是本题的关键,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2014•杭州)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为 y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2 .‎ 考点:‎ 二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式.菁优网版权所有 分析:‎ 根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式,然后设出抛物线解析式,再把点A、B的坐标代入求解即可.‎ 解答:‎ 解:∵点C在直线x=2上,且到抛物线的对称轴的距离等于1,‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3,‎ 当对称轴为直线x=1时,设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+k,‎ 则,‎ 解得,‎ 所以,y=(x﹣1)2+=x2﹣x+2,‎ 当对称轴为直线x=3时,设抛物线解析式为y=a(x﹣3)2+k,‎ 则,‎ 解得,‎ 所以,y=﹣(x﹣3)2+=﹣x2+x+2,‎ 综上所述,抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2.‎ 故答案为:y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2014•杭州)点A,B,C都在半径为r的圆上,直线AD⊥直线BC,垂足为D,直线BE⊥直线AC,垂足为E,直线AD与BE相交于点H.若BH=AC,则∠ABC所对的弧长等于 πr或r (长度单位).‎ 考点:‎ 弧长的计算;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有 专题:‎ 分类讨论.‎ 分析:‎ 作出图形,根据同角的余角相等求出∠H=∠C,再根据两角对应相等,两三角形相似求出△ACD和△BHD相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出,再利用锐角三角函数求出∠ABC,然后根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ABC所对的弧长所对的圆心角,然后利用弧长公式列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:如图1,∵AD⊥BC,BE⊥AC,‎ ‎∴∠H+∠DBH=90°,‎ ‎∠C+∠DBH=90°,‎ ‎∴∠H=∠C,‎ 又∵∠BDH=∠ADC=90°,‎ ‎∴△ACD∽△BHD,‎ ‎∴=,‎ ‎∵BH=AC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠ABC=30°,‎ ‎∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2=60°,‎ ‎∴∠ABC所对的弧长==πr.‎ 如图2,∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°,‎ ‎∴∠ABC所对的弧长==πr.‎ 故答案为:πr或r.‎ 点评:‎ 本题考查了弧长的计算,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值,判断出相似三角形是解题的关键,作出图形更形象直观.‎ ‎ ‎ 三、全面答一答(本题共7小题,共66分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.‎ ‎17.(6分)(2014•杭州)一个布袋中装有只有颜色不同的a(a>12)个球,分别是2个白球,4个黑球,6个红球和b个黄球,从中任意摸出一个球,把摸出白球,黑球,红球的概率绘制成统计图(未绘制完整).请补全该统计图并求出的值.‎ 考点:‎ 条形统计图;概率公式.菁优网版权所有 分析:‎ 首先根据黑球数÷总数=摸出黑球的频率,再计算出摸出白球,黑球,红球的概率可得答案.‎ 解答:‎ 解:球的总数:4÷0.2=20(个),‎ ‎2+4+6+b=20,‎ 解得:b=8,‎ 摸出白球频率:2÷20=0.1,‎ 摸出红球的概率:6÷20=0.3,‎ ‎===0.4.‎ 点评:‎ 此题主要考查了概率和条形统计图,关键是掌握概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.‎ ‎ ‎ ‎18.(8分)(2014•杭州)在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.菁优网版权所有 分析:‎ 可证明△ABF≌△ACE,则BF=CE,再证明△BEP≌△CFP,则PB=PC,从而可得出PE=PF,BE=CF.‎ 解答:‎ 解:在△ABF和△ACE中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABF≌△ACE(SAS),‎ ‎∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等),‎ ‎∴BF=CE(全等三角形的对应边相等),‎ ‎∵AB=AC,AE=AF,‎ ‎∴BE=BF,‎ 在△BEP和△CFP中,‎ ‎,‎ ‎∴△BEP≌△CFP(AAS),‎ ‎∴PB=PC,‎ ‎∵BF=CE,‎ ‎∴PE=PF,‎ ‎∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF.‎ 点评:‎ 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质,是基础题,难度不大.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2014•杭州)设y=kx,是否存在实数k,使得代数式(x2﹣y2)(4x2﹣y2)+3x2(4x2﹣y2)能化简为x4?若能,请求出所有满足条件的k的值;若不能,请说明理由.‎ 考点:‎ 因式分解的应用.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 先利用因式分解得到原式=(4x2﹣y2)(x2﹣y2+3x2)=(4x2﹣y2)2,再把当y=kx代入得到原式=(4x2﹣k2x2)2=(4﹣k2)x4,所以当4﹣k2=1满足条件,然后解关于k的方程即可.‎ 解答:‎ 解:能.‎ ‎(x2﹣y2)(4x2﹣y2)+3x2(4x2﹣y2)‎ ‎=(4x2﹣y2)(x2﹣y2+3x2)‎ ‎=(4x2﹣y2)2,‎ 当y=kx,原式=(4x2﹣k2x2)2=(4﹣k2)2x4,‎ 令(4﹣k2)2=1,解得k=±或±,‎ 即当k=±或±时,原代数式可化简为x4.‎ 点评:‎ 本题考查了因式分解的运用:利用因式分解解决求值问题;利用因式分解解决证明问题;利用因式分解简化计算问题.‎ ‎ ‎ ‎20.(10分)(2014•杭州)把一条12个单位长度的线段分成三条线段,其中一条线段成为4个单位长度,另两条线段长都是单位长度的整数倍.‎ ‎(1)不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形?用直尺和圆规作这些三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹);‎ ‎(2)求出(1)中所作三角形外接圆的周长.‎ 考点:‎ 作图—应用与设计作图.菁优网版权所有 分析:‎ ‎(1)利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可;‎ ‎(2)利用三角形外接圆作法,首先作出任意两边的垂直平分线,即可得出圆心位置,进而得出其外接圆.‎ 解答:‎ 解:(1)由题意得:三角形的三边长分别为:4,4,4;3,4,5;‎ 即不同分段得到的三条线段能组成2个不全等的三角形,如图所示:‎ ‎(2)如图所示:‎ 当三边的单位长度分别为3,4,5,可知三角形为直角三角形,此时外接圆的半径为2.5;‎ 当三边的单位长度分别为4,4,4.三角形为等边三角形,此时外接圆的半径为,‎ ‎∴当三条线段分别为3,4,5时其外接圆周长为:2π×2.5=5π; ‎ 当三条线段分别为4,4,4时其外接圆周长为:2π×=π.‎ 点评:‎ 此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识,得出符合题意的三角形是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)(2014•杭州)在直角坐标系中,设x轴为直线l,函数y=﹣x,y=x的图象分别是直线l1,l2,圆P(以点P为圆心,1为半径)与直线l,l1,l2中的两条相切.例如(,1)是其中一个圆P的圆心坐标.‎ ‎(1)写出其余满足条件的圆P的圆心坐标;‎ ‎(2)在图中标出所有圆心,并用线段依次连接各圆心,求所得几何图形的周长.‎ 考点:‎ 圆的综合题;切线长定理;轴对称图形;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;作图题.‎ 分析:‎ ‎(1)对圆P与直线l和l2都相切、圆P与直线l和l1都相切、圆P与直线l1和l2都相切三种情况分别考虑,利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点P的坐标.‎ ‎(2)由图可知:该几何图形既轴对称图形,又是中心对称图形,它的所有的边都相等.只需求出其中的一条边就可以求出它的周长.‎ 解答:‎ 解:(1)①若圆P与直线l和l2都相切,‎ 当点P在第四象限时,‎ 过点P作PH⊥x轴,垂足为H,连接OP,如图1所示.‎ 设y=x的图象与x轴的夹角为α.‎ 当x=1时,y=.‎ ‎∴tanα=.‎ ‎∴α=60°.‎ ‎∴由切线长定理得:∠POH=(180°﹣60°)=60°.‎ ‎∵PH=1,‎ ‎∴tan∠POH===.‎ ‎∴OH=.‎ ‎∴点P的坐标为(,﹣1).‎ 同理可得:‎ 当点P在第二象限时,点P的坐标为(﹣,1);‎ 当点P在第三象限时,点P的坐标为(﹣,﹣1);‎ ‎②若圆P与直线l和l1都相切,如图2所示.‎ 同理可得:当点P在第一象限时,点P的坐标为(,1);‎ 当点P在第二象限时,点P的坐标为(﹣,1);‎ 当点P在第三象限时,点P的坐标为(﹣,﹣1);‎ 当点P在第四象限时,点P的坐标为(,﹣1).‎ ‎③若圆P与直线l1和l2都相切,如图3所示.‎ 同理可得:‎ 当点P在x轴的正半轴上时,点P的坐标为(,0);‎ 当点P在x轴的负半轴上时,点P的坐标为(﹣,0);‎ 当点P在y轴的正半轴上时,点P的坐标为(0,2);‎ 当点P在y轴的负半轴上时,点P的坐标为(0,﹣2).‎ 综上所述:其余满足条件的圆P的圆心坐标有:‎ ‎(,﹣1)、(﹣,1)、(﹣,﹣1)、‎ ‎(,1)、(﹣,1)、(﹣,﹣1)、(,﹣1)、‎ ‎(,0)、(﹣,0)、(0,2)、(0,﹣2).‎ ‎(2)用线段依次连接各圆心,所得几何图形,如图4所示.‎ 由图可知:该几何图形既轴对称图形,又是中心对称图形,‎ 由对称性可得:该几何图形的所有的边都相等.‎ ‎∴该图形的周长=12×(﹣)=8.‎ 点评:‎ 本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识,考查了作图的能力,培养了学生的审美意识,是一道好题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2014•杭州)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=4,BD=4,动点P在线段BD上从点B向点D运动,PF⊥AB于点F,四边形PFBG关于BD对称,四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1,未被盖住部分的面积为S2,BP=x.‎ ‎(1)用含x的代数式分别表示S1,S2;‎ ‎(2)若S1=S2,求x的值.‎ 考点:‎ 四边形综合题;菱形的性质;轴对称的性质;轴对称图形;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;动点型;分类讨论.‎ 分析:‎ ‎(1)根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上,由于点P在BO上与点P在OD上求S1和S2的方法不同,因此需分情况讨论.‎ ‎(2)由S1=S2和S1+S2=8可以求出S1=S2=4.然后在两种情况下分别建立关于x的方程,解方程,结合不同情况下x的范围确定x的值.‎ 解答:‎ 解:(1)①当点P在BO上时,如图1所示.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=4,‎ ‎∴AC⊥BD,BO=BD=2,AO=AC=2,‎ 且S菱形ABCD=BD•AC=8.‎ ‎∴tan∠ABO==.‎ ‎∴∠ABO=60°.‎ 在Rt△BFP中,‎ ‎∵∠BFP=90°,∠FBP=60°,BP=x,‎ ‎∴sin∠FBP===sin60°=.‎ ‎∴FP=x.‎ ‎∴BF=.‎ ‎∵四边形PFBG关于BD对称,‎ 四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,‎ ‎∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ.‎ ‎∴S1=4S△BFP ‎=4××x•‎ ‎=.‎ ‎∴S2=8﹣.‎ ‎②当点P在OD上时,如图2所示.‎ ‎∵AB=4,BF=,‎ ‎∴AF=AB﹣BF=4﹣.‎ 在Rt△AFM中,‎ ‎∵∠AFM=90°,∠FAM=30°,AF=4﹣.‎ ‎∴tan∠FAM==tan30°=.‎ ‎∴FM=(4﹣).‎ ‎∴S△AFM=AF•FM ‎=(4﹣)•(4﹣)‎ ‎=(4﹣)2.‎ ‎∵四边形PFBG关于BD对称,‎ 四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,‎ ‎∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN.‎ ‎∴S2=4S△AFM ‎=4×(4﹣)2‎ ‎=(x﹣8)2.‎ ‎∴S1=8﹣S2=8﹣(x﹣8)2.‎ 综上所述:‎ 当点P在BO上时,S1=,S2=8﹣;‎ 当点P在OD上时,S1=8﹣(x﹣8)2,S2=(x﹣8)2.‎ ‎(2)①当点P在BO上时,0<x≤2.‎ ‎∵S1=S2,S1+S2=8,‎ ‎∴S1=4.‎ ‎∴S1==4.‎ 解得:x1=2,x2=﹣2.‎ ‎∵2>2,﹣2<0,‎ ‎∴当点P在BO上时,S1=S2的情况不存在.‎ ‎②当点P在OD上时,2<x≤4.‎ ‎∵S1=S2,S1+S2=8,‎ ‎∴S2=4.‎ ‎∴S2=(x﹣8)2=4.‎ 解得:x1=8+2,x2=8﹣2.‎ ‎∵8+2>4,2<8﹣2<4,‎ ‎∴x=8﹣2.‎ 综上所述:若S1=S2,则x的值为8﹣2.‎ 点评:‎ 本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识,考查了菱形的性质、特殊角的三角函数值等知识,还考查了分类讨论的思想.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)(2014•杭州)复习课中,教师给出关于x的函数y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是实数).‎ 教师:请独立思考,并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.‎ 学生思考后,黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员,又补充一些结论,并从中选出以下四条:‎ ‎①存在函数,其图象经过(1,0)点;‎ ‎②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;‎ ‎③当x>1时,不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;‎ ‎④若函数有最大值,则最大值比为正数,若函数有最小值,则最小值比为负数.‎ 教师:请你分别判断四条结论的真假,并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.‎ 考点:‎ 二次函数综合题.菁优网版权所有 分析:‎ ‎①将(1,0)点代入函数,解出k的值即可作出判断;‎ ‎②首先考虑,函数为一次函数的情况,从而可判断为假;‎ ‎③根据二次函数的增减性,即可作出判断;‎ ‎④当k=0时,函数为一次函数,无最大之和最小值,当k≠0时,函数为抛物线,求出顶点的纵坐标表达式,即可作出判断.‎ 解答:‎ 解:①真,将(1,0)代入可得:2k﹣(4k+1)﹣k+1=0,‎ 解得:k=0.‎ 运用方程思想;‎ ‎②假,反例:k=0时,只有两个交点.运用举反例的方法;‎ ‎③假,如k=1,﹣=,当x>1时,先减后增;运用举反例的方法;‎ ‎④真,当k=0时,函数无最大、最小值;‎ k≠0时,y最==﹣,‎ ‎∴当k>0时,有最小值,最小值为负;‎ 当k<0时,有最大值,最大值为正.运用分类讨论思想.‎ 点评:‎ 本题考查了二次函数的综合,立意新颖,结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法,同学们注意思考、理解,难度一般.‎ ‎ ‎
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