全国各地中考数学压轴题精选及答案整理版

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全国各地中考数学压轴题精选 1、（黄石市 2011 年）（本小题满分 9 分）已知⊙ 1O 与⊙ 2O 相交于 A 、B 两点，点 1O 在⊙ 2O 上，C 为⊙ 2O 上一点（不与 A ， B ， 1O 重合），直线 CB 与⊙ 1O 交于另一 点 D 。 （1）如图（8），若 AC 是⊙ 2O 的直径，求证： AC CD ； （2）如图(9)，若 C 是⊙ 1O 外一点，求证： 1O C AD ； （3）如图（10），若 C 是⊙ 1O 内一点，判断（2）中的结论是否成立。 2、（黄石市 2011 年）（本小题满分 10 分）已知二次函数 2 2 4 8y x mx m    （1）当 2x  时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。 （2）以抛物线 2 2 4 8y x mx m    的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接 正三角形 AMN （ M ， N 两点在抛物线上），请问：△ AMN 的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （3）若抛物线 2 2 4 8y x mx m    与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值。 A O C B D x y 26题备用图 A O C B D x y 26题图 3、（2011 年广东茂名市）如图，⊙P 与 y 轴相切于坐标原点 O（0，0），与 x 轴相交于 点 A（5，0），过点 A 的直线 AB 与 y 轴的正半轴交于点 B，与⊙P 交于点 C． （1）已知 AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若 AC= a , D 是 OＢ的中点．问：点 O、P、C、D 四点是否在同一圆上？请说明 理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 1O ，函数 x ky  的图象经过 点 1O ，求 k 的值（用含 a 的代数式表示）． 4、庆市潼南县 2011 年）如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 2y x bx c   经过 A，B 两点，抛物 线的顶点为 D． （1）求 b,c 的值； （2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作 x 轴的 垂线 交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛 物线上是否存在一点 P，使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在， 求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 第 3 题图 χ y G F E D C B A （第 6 题） （第 5 题） 5、苏省宿迁市 2011 年）（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， P 是反比例函数 y＝ x 6 （x＞0）图象上的任意一点，以 P 为圆心，PO 为半径的圆与 x、 y 轴分别交于点 A、B． （1）判断 P 是否在线段 AB 上，并说明理由； （2）求△AOB 的面积； （3）Q 是反比例函数 y＝ x 6 （x＞0）图象上异于点 P 的另一点，请以 Q 为圆心， QO 半径画圆与 x、y 轴分别交于点 M、N，连接 AN、MB．求证：AN∥MB． 6、苏省宿迁市 2011 年）（本题满分 12 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝1， BC＝ 2 1 ，以点 C 为圆心，CB 为半径的弧交 CA 于点 D；以点 A 为圆心，AD 为半 径的弧交 AB 于点 E． （1）求 AE 的长度； （2）分别以点 A、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于 点 F（F 与 C 在 AB 两侧），连接 AF、EF，设 EF 交弧 DE 所 在的圆于点 G，连接 AG，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由． 题 7 图（1） A1 B C D A F E B C D A F E B C D A F E B1 C1 F1 D1 E1 A1 B1 C1 F1 D1 E1A2 B2 C2 F2 D2 E2 题 7 图（2） 题 7 图（3） 题 8 图(1) B H FA（D） G C E C（E） B F A（D） 题 8 图(2) 7、（11 年广东省）10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDCE， 它的面积为 1；取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如 图 (2) 中 阴 影 部 分 ； 取 △ A1B1C1 和 △ D1E1F1 各 边 中 点 ， 连 接 成 正 六 角 星 形 A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面 积为_________________． 8、{1 年广东省）21．如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合， AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF(或 它们的延长线)分别交 BC(或它的延长线) 于 G，H 点，如图(2) （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ； （2）设 CG=x，BH=y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形. 图 3 图 1 图 2 9、11 年凉山州）如图，抛物线与 x 轴交于 A（ 1x ，0）、B（ 2x ，0）两点，且 1 2x x ， 与 y 轴交于点  0, 4C  ，其中 1 2x x， 是方程 2 4 12 0x x   的两个根。 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，连 接 CM ，当 CMN△ 的面积最大时，求点 M 的坐标； （3）点  4,D k 在（1）中抛物线上，点 E 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使以 A D E F、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足 条件的点 F 的坐标，若不存在，请说明理由。 10、市二○一一年）27．（本题满分 12 分）情境观察 将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图 1 所示. 将△A′C′D 的顶点 A′与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、A(A′)、B 在同一条直线上，如图 2 所示． 观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °． 问题探究 如图 3，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向 △ABC 外作等腰 Rt△ABE 和等腰 Rt△ACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别 为 P、Q. 试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论. 图 4 （备用图） 拓展延伸 如图 4，△ABC 中，AG⊥BC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向△ABC 外作 矩形 ABME 和矩形 ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC= k AF，试探 究 HE 与 HF 之间的数量关系，并说明理由. 11、市二○一一年）28．（本题满分 12 分）如图，已知一次函数 y = - x +7 与正比例 函数 y = 4 3 x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B. （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以 每秒 1 个单位长的速度，沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线 段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在 运动过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒. ①当 t 为何值时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8？ ②是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值； 若不存在，请说明理由． M A y N B D P x C 第 12 题O C 图 1 图 12、{11 济宁）如图，第一象限内半径为 2 的⊙C 与 y 轴相切于点 A，作直径 AD，过 点 D 作⊙C 的切线 l 交 x 轴于点 B，P 为直线 l 上一动点，已知直线 PA 的解析式为： y=kx+3。 (1) 设点 P 的纵坐标为 p，写出 p 随变化的函数关系式。 (2)设⊙C 与 PA 交于点 M，与 AB 交于点 N，则不论动点 P 处于直线 l 上（除点 B 以外） 的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似 给予证明； (3)是否存在使△AMN 的面积等于 25 32 的 k 值？若存在，请求出符合的 k 值；若不存在， 请说明理由。 13、市 2011 年）（本题满分 10 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一 起研究某条抛物线 2 ( 0)y ax a  的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面 直角坐标系的原点 O ，两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点，请解答以下问题： （1）若测得 2 2OA OB  （如图 1），求 a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF x 轴于点 F ，测得 1OF  ，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横． 坐标．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 14、如图①，P 为△ABC 内一点，连接 PA、PB、PC，在△PAB、△PBC 和△PAC 中， 如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称 P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD 是 AB 上的中线， 过点 B 作 BE⊥CD，垂足为 E，试说明 E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A＜∠B＜∠C． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点 P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 15、题 问题情境 已知矩形的面积为 a（a 为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小 值是多少？ 数 学 模 型 设 该 矩 形 的 长 为 x ， 周 长 为 y ， 则 y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 2( )( 0)ay x xx   ＞ ． 探索研究 ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索 函数 1 ( 0)y x xx   ＞ 的图象性质． 1 填写下表，画出函数的图象： x …… 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 …… y …… …… ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时， 除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求 函数 1y x x   (x＞0)的最小值． AB C D K E F O 2l 1l y x 解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 16、2011 年初中毕业生学业考试(衢州卷) 已知两直线 1l ， 2l 分别经过点 A(1，0)，点 B )03( ， ， 并且当两直线同时相交于 y 正半轴的点 C 时，恰好有 21 ll  ，经过点 A、B、C 的抛物线的对称轴与直线 2l 交于点 K，如图所示。 (1)求点 C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式； (2)抛物线的对称轴被直线 1l ，抛物线，直线 2l 和 x 轴依次截得三条线段，问这三条线 段有何数量关系？请说明理由。 (3)当直线 2l 绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，请找出使△MCK 为等腰三 角形的点 M，简述理由，并写出点 M 的坐标。 17、（11 凉山州）如图，抛物线与 x 轴交于 A（ 1x ，0）、B（ 2x ，0）两点，且 1 2x x ， 与 y 轴 交 于 点  0, 4C  ， 其 中 1 2x x， 是 方 程 2 4 12 0x x   的两个根。 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 是线段 AB 上的一个动点，过点 M 作 MN ∥ BC ，交 AC 于点 N ，连接 CM ，当 CMN△ 的 面积最大时，求点 M 的坐标； （3）点  4,D k 在（1）中抛物线上，点 E 为抛物线 上 一 动 点 ， 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 F ， 使 以 A D E F、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，如果 存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标，若不存在，请说明理由。 第 19 题图（1） A B M CFD N W P Q 第 19 题图（2） A B CD F M N WP Q 18、 （题满分 14 分)平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐 标分别为(0，3)、( 1 ，0)，将此平行四边形绕点 0 顺时针旋转 90°，得到平行四边 形 ' ' 'A B OC 。 (1)若抛物线过点 C，A， A' ，求此抛物线的解析式； (2)求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ' ' 'A B OC 重叠部分△ 'OC D 的周长； (3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，间：点 M 在何处时△ AMA' 的面积最大?最 大面积是多少?并求出此时点 M 的坐标。 19（2011 年广东省如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2。动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的 方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同 时停止运动。连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW。设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒。试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时间段）。试问 x 为何值时，△PQW 为直角三 角形？当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值。 20、（2011 年桂林市）（本题满分 12 分）已知二次函数 21 3 4 2y x x   的图象如图. （1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标； （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x 轴， y 轴的交点分别 为 A、B、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径，D 为圆心作⊙D，试判断 直线 CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由. 21、（达州市 2011 年） (10 分)如图，已知抛物线与 x 轴交于 A(1，0)，B（ 3 ，0） 两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，抛物线的顶点为 P，连结 AC． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线上找一点 D，使得 DC 与 AC 垂直，且直线 DC 与 x 轴交于点 Q，求点 D 的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在一点 M，使得 S△MAP=2S△ACP，若存在，求出 M 点坐标；若 不存在，请说明理由． E G Q P O y x C BA 22、如图 1，把一个边长为 2 2 的正方形 ABCD 放在平面直角坐标系中，点 A 在坐标 原点，点 C 在 y 轴的正半轴上，经过 B、C、D 三点的抛物线 c1 交 x 轴于点 M、N(M 在 N 的左边). (1)求抛物线 c1 的解析式及点 M、N 的坐标； (2)如图 2，另一个边长为 2 2 的正方形 //// DCBA 的中心 G 在点 M 上， /B 、 /D 在 x 轴的负半轴上( /D 在 /B 的左边)，点 /A 在第三象限，当点 G 沿着抛物线 c1 从点 M 移到点 N，正方形 //// DCBA 随之移动，移动中 // DB 始终与 x 轴平行. ①直接写出点 C’、D’移动路线形成的抛物线 C(C’)、Ｃ（Ｄ’）的函数关系式； ②如图3，当正方形 //// DCBA 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时， 求点 G 的坐标． 23、（本题满分 12 分）如图，二次函数 21 22y x   与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 从 A 点出发，以 1 个单位每秒的速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点 出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同 时停止运动。设 PQ 交直线 AC 于点 G。 （1）求直线 AC 的解析式； （2）设△PQC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式； （3）在 y 轴上找一点 M，使△MAC 和△MBC 都是等 腰三角形。直接写出所有满足条件的M 点的坐标； （4）过点 P 作 PE⊥AC，垂足为 E，当 P 点运动时， 线段 EG 的长度是否发生改变，请说明理由。 图 1 图 2 图 3 O QE P B C D A x y （第 22 题） 图 1 O 10 20 28 t S 图 2 24、．如图 1，正方形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点 C，D 在第一象限.点 P 从点 A 出发，沿正方形按逆时针方 向运动，同时，点 Q 从点 E（4，0） 出发，沿 x 轴正方向以相同速度运动.当点 P 到达点 C 时，P，Q 两点同时停止运动.设 运动时间为 t(s). （1）求正方形 ABCD 的边长. （2）当点 P 在 AB 边上运动时，△OPQ 的面积 S（平方单位）与时间 t(s)之间的函数 图像为抛物线的一部分（如图 2 所示），求 P，Q 两点的运动速度. （3）求（2）中面积 S（平方单位）与时间 t(s)的函数解析式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标. （4）若点 P,Q 保持（ 2）中的速度不变，则点 P 沿着 AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着 时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小.当点 P 沿着这两边运动时，能使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点 P 的个数；若不 能，直接写不能. B O A C x y B O A C x y 25. 已知 ABC ，以 AC 为边在 ABC 外作等腰 ACD ，其中 AC AD 。 (1)如图 1，若 2DAC ABC   ， AC BC ，四边形 ABCD 是平行四边形，则 ABC  ______； (2)如图 2，若 30ABC  ， ACD 是等边三角形， 3AB  ， 4BC  。求 BD 的长； (3)如图 3，若 ACD 为锐角，作 AH BC 于 H。当 2 2 24BD AH BC  时， 2DAC ABC   是否成立？若不 成立， 请说明 你的理 由 ； 若 成 立，证 明 你 的 结论。 27、 26.（本题满分 12 分）如图，Rt△AOB 中，∠A＝90°，以 O 为坐标原点建立直角坐标 系，使点 A 在 x 轴正半轴上，OA＝2，AB＝8，点 C 为 AB 边的中点，抛物线的顶点是 原点 O，且经过 C 点． （1）填空：直线 OC 的解析式为 ； 抛物线的解析式为 ； （2） 现将该抛物线沿着线段 OC 移动，使其顶点 M 始终在线段 OC 上（包括端点 O、C），抛物线与 y 轴的交点为 D，与 AB 边的交点为 E； ①是否存在这样的点 D，使四边形 BDOC 为平行四边形？如存在，求出此时 抛物线的解析式；如不存在，说明理由； ②设△BOE 的面积为 S，求 S 的取值范围． A B C O 甲槽 乙槽 图 1 y（厘米） 19 14 12 2 O 4 6 B C D A E x（分钟） 图 2 27.（本题满分 12 分）等腰直角△ABC 和⊙O 如图放置，已知 AB=BC=1，∠ABC=90°， ⊙O 的半径为 1，圆心 O 与直线 AB 的距离为 5．现△ABC 以每秒 2 个单位的速度向右移 动，同时△ABC 的边长 AB、BC 又以每秒 0.5 个单位沿 BA、BC 方向增大． ⑴ 当△ABC 的边(BC 边除外)与圆第一次相切时，点 B 移动了多少距离？ ⑵ 若在△ABC 移动的同时，⊙O 也以每秒 1 个单位的速度向右移动，则△ABC 从开始 移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？ ⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ABC 与⊙O 的公共部分等于⊙O 的面积？若 存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由． 28、(扬州市 2011 年) （本题满分 12 分）如图 1 是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示 意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现 将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 y （厘米）与注水时间 x （分 钟）之间的关系如图 2 所示．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图 2 中折线 ABC 表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段 DE 表示 _______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点 B 的 纵坐标表示的实际意义是________________________________； （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为 36 平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积； （4）若乙槽中铁块的体积为 112 立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结 果） 备用图 A B P N Q C M A B C N M 图 1 图 2（备用图） 29、（本题满分 12 分）在 ABC△ 中， 90BAC AB AC M  °， ， 是 BC 边 的中点， MN BC⊥ 交 AC 于点 N ．动点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以每秒 3 厘 米的速度运动．同时，动点 Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动，且始终保持 MQ MP⊥ ． 设运动时间为 t 秒（ 0t  ）． （1） PBM△ 与 QNM△ 相似吗？以图１为例说明理由； （2）若 60 4 3ABC AB  °， 厘米． ①求动点Q 的运动速度； ②设 APQ△ 的面积为 S （平方厘米），求 S 与t 的函数关系式； （3）探求 2 2BP PQ CQ2、 、 三者之间的数量关系，以图１为例说明理由． 1、 答案：（9 分）证明：（1）如图（一），连接 ， ∵ 为 ⊙ 的直径 ∴ ∴ 为⊙ 的直径 ∴ 在 上 又 ， 为 的中点 ∴△ 是以 为底边的等腰三角形 ∴ （3 分） （2）如图（二），连接 ，并延长 交⊙ 与点 ，连 ∵四边形 内接于⊙ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又 为⊙ 的直径 ∴ ∴ （3 分） （3）如图（三），连接 ，并延长 交⊙ 与点 ，连 ∵ 又 ∴ ∴ 又 ∴ （3 分） 2、答案：解：（1）∵ ∴由题意得， （3 分） （2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知 轴，设抛物线的对称 轴 与 交 于 点 ， 则 。 设 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ， ∴ 定值 （3 分） （3）令 ，即 时，有 由题意， 为完全平方数，令 即 ∵ 为整数， ∴ 的奇偶性相同 ∴ 或 解 得 或 综 合 得 3、解：本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） （1）解法一：连接 OC，∵OA 是⊙P 的直径，∴OC⊥AB， 在 Rt△AOC 中， ，1 分 在 Rt△AOC 和 Rt△ABO 中，∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO， ∴ ，即 ， ··3 分 ∴ ， ∴ ···4 分 解法二：连接 OC，因为 OA 是⊙P 的直径， ∴∠ ACO=90° 在 Rt △ AOC 中 ， AO=5 ， AC=3 ， ∴ OC=4， ······1 分 过 C 作 CE ⊥ OA 于 点 E ， 则 ： ， 即 ，∴ ，·····2 分 ∴ ∴ 设经过 A、C 两点的直线解析式为： ．把点 A（5，0）、 代入上式得： ， 解得： ， ∴ ， ∴点 ．·4 分 （2）点 O、P、C、D 四点在同一个圆上，理由如下：连接 CP、CD、DP， ∵OC⊥AB，D 为 OB 上的中点， ∴ ，∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3= ∠2+∠4=90°， ∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO 和 Rt△PDC 是同以 PD 为斜边的直角 三角形， ∴PD 上的中点到点 O、P、C、D 四点的距离相等， ∴点 O、P、C、D 在以 DP 为直径的同一个圆上； 由上可知，经过点 O、P、 C、D 的圆心 是 DP 的中点，圆心 ，由（1）知：Rt△AOC ∽Rt△ABO，∴ ，求得： AB= ，在 Rt△ABO 中， ，OD= ， ∴ ，点 在函数 的图象上，∴ ， ∴ ． 4、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 ，· 把点 A（0，4）代入上式得： ， ， ∴抛物线的对称轴是： ． （2）由已知，可求得 P（6，4）． · 提示：由题意可知以 A、O、M、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4、OM=3， 又知点 P 的坐标中 ，所以，MP>2,AP>2；因此以 1、2、3、4 为边或 以 2、3、4、5 为边都不符合题意，所以四条边的长只能是 3、4、5、6 的 一种情况，在 Rt△AOM 中， ，因为 抛物线对称轴过点 M，所以在抛物线 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6；故以 A、O、M、 P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、4、5、6 成立， 即 P（6，4）． （注：如果考生直接写出答案 P（６，４），给满分 2 分，但考生答案错 误，解答过程分析合理可酌情给 1 分） ⑶法一：在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使△NAC 面积最大． 设 N 点的横坐标为 ，此时点 N （ ， 过点 N 作 NG∥ 轴交 AC 于 G；由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线 AC 的解析式为： ；把 代入得： ，则 G ，此时：NG= -（ ）， = ． ∴ ∴当 时，△CAN 面积的最大值为 ， 由 ， 得 ： ， ∴N（ ， -3）． 法二：提示：过点 N 作 轴的平行线交 轴于点 E，作 CF⊥EN 于点 F，则 （再设出点 N 的坐标，同样可求,余下过程略） 5、（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）----1 分 ∵二次函数 的图像经过点 A（-1，0）B(4,5) ∴ 解得：b=-2 c=-3 （2 如２６题图：∵直线 AB 经过点 A（-1，0） B(4,5) ∴直线 AB 的解析式为：y=x+1 ∵二次函数 ∴设点 E(t， t+1),则 F（t， ） -∴EF= = ∴当 时，EF 的最大值= ∴点 E 的坐标为（ ， ） （3）①如２６题图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形ＥＢＦＤ． 可求出点 F 的坐标（ ， ）,点 D 的坐标为（1，-4） S = S + S = = ② 如 ２ ６ 题 备 用 图 ： ⅰ ) 过 点 E 作 a ⊥ EF 交 抛 物 线 于 点 P, 设 点 P(m, ) 则 有 ： 解 得: , ∴ , ⅱ）过点 F 作 b⊥EF 交抛物线于 ，设 （n， ） 则有： 解得： ， （与点 F 重合，舍去）∴ 综上所述：所有点 P 的坐标： ， （ . 能使△EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形． --12 分 6、解：（1）点 P 在线段 AB 上，理由如下： ∵点 O 在⊙P 上，且∠AOB＝ 90° ∴AB 是⊙P 的直径 ∴点 P 在线段 AB 上． （2）过点 P 作 PP1⊥x 轴，PP2⊥y 轴，由题意可知 PP1、PP2 是△AOB 的中位线，故 S△AOB＝ OA×OB＝ ×2 PP1×PP2 ∵P 是反比例函数 y＝ （x＞0）图象上的任意一点 ∴S△AOB＝ OA×OB＝ ×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12． （3）如图，连接 MN，则 MN 过点 Q，且 S△MON＝S△AOB＝12． ∴OA·OB ＝OM·ON ∴ ∵∠AON＝∠MOB ∴△AON∽△MOB ∴∠ OAN＝∠OMB ∴AN∥MB． 7、解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB ∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°∴四边形 ABFM、AEQD 都是矩形 ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE 又∵PQ⊥MN ∴∠EQP ＝∠FMN 又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ∴△PEQ≌△NFM． （2）∵点 P 是边 AB 的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t ∴PA＝1， PE＝1－t，QE＝2 由勾股定理，得 PQ＝ ＝ ∵△PEQ≌△NFM ∴MN＝PQ＝ 又∵ PQ⊥MN ∴ S ＝ ＝ ＝ t2－t＋ ∵0≤t≤2 ∴当 t＝1 时，S 最小值＝2． 综上：S＝ t2－t＋ ，S 的最小值 为 2． 8、解：（1）在 Rt△ABC 中，由 AB＝1，BC＝ 得 AC＝ ＝ ∵ BC＝CD，AE＝AD ∴AE＝AC－AD＝ ． （2）∠EAG＝36°，理由如下： ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝ ∴ ＝ ∴△FAE 是黄 金三角形 ∴∠F＝36°，∠AEF＝72° ∵AE＝AG，FA＝FE ∴∠FAE＝∠FEA ＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA ∴∠EAG＝∠F＝36°． 9、 答 案 ： 10、（1）、△HAB △HGA； （2）、由△AGC∽△HAB，得 AC/HB=GC/AB，即 9/y=x/9，故 y=81/x (0

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