【数学】2020届一轮复习北师大版直线与平面垂直的性质作业

【数学】2020届一轮复习北师大版直线与平面垂直的性质作业

‎2020届一轮复习北师大版 直线与平面垂直的性质 作业 ‎ (25分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于AD和BC,则l与m的位置关系是　(　　)‎ A.相交　 B.平行　‎ C.异面 D.不确定 ‎【解析】选D.因为AD∥BC,‎ 所以梯形ABCD确定一个平面α.‎ 因为l⊥AB,l⊥CD,AB和CD相交.‎ 所以l⊥α.由于AD∥BC,m⊥AD,m⊥BC,‎ 则m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交,‎ 则l∥m或l与m异面或l与m相交.‎ ‎【补偿训练】(2018·枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是　(　　)‎ A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定 ‎【解析】选B.因为直线l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α,同理直线m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.‎ ‎2.已知直线l,m,平面α,β,l⊥α,m⊥β,α∥β,则直线l与m的位置关系是 ‎　(　　)‎ A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 ‎【解析】选C.l⊥α,α∥β,所以l⊥β,‎ 又m⊥β,所以l∥m.‎ ‎3.(2018·福州高一检测)已知m,n是两条不重合的直线,α,β是不重合的平面,下面四个命题中正确的是　(　　)‎ A.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β B.若m∥α,m⊥n,则n⊥α C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β D.若m⊥n,m⊥β,则n∥β ‎【解析】选C.对于A,如图所示,m⊂α,n⊂β,m⊥n,但α∥β,故A错误;对于B,D1C1∥平面ABB1A1,D1C1⊥CC1,但CC1∥平面ABB1A1,故B错误;对于D,D1C1⊥CC1,D1C1⊥平面BB1C1C,但CC1⊂平面BB1C1C,故D错误;由排除法,可知C正确.‎ ‎4.设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题中正确的个数是 ‎　(　　)‎ ‎①若l⊥α,则l与α相交;②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】选C.①、③、④正确,②不正确.‎ ‎5.(2018·阜阳高一检测)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是　(　　)‎ A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1‎ C.AE⊥B1C1‎ D.A1C1∥平面AB1E ‎【解析】选C.因为△ABC是等边三角形,E是BC中点,所以AE⊥BC,‎ 因为AA1⊥底面A1B1C1,‎ 平面ABC∥平面A1B1C1,‎ 所以AA1⊥平面ABC,因为AA1∥BB1,‎ 所以BB1⊥平面ABC,因为AE⊂平面ABC,‎ 所以BB1⊥AE,又因为BB1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BB1∩BC=B,‎ 所以AE⊥平面BCC1B1,‎ 因为B1C1⊂平面BCC1B1,所以AE⊥B1C1.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.a,b是异面直线,直线l⊥a,l⊥b,直线m⊥a,m⊥b,则l与m的位置关系是________.‎ ‎【解析】在a上取一点O,过O作b′∥b,‎ 则b′与a确定平面α.‎ 则由题意l⊥α,m⊥α,所以l∥m.‎ 答案:l∥m ‎7.线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为________.　‎ ‎【解析】如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直的性质可知,‎ AA1∥MM1∥BB1,‎ 四边形AA1B1B为直角梯形,‎ AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,‎ 所以MM1=4.‎ 答案:4‎ ‎【补偿训练】△ABC的三个顶点A,B,C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为________.‎ ‎【解析】如图,设A,B,C在平面α上的射影分别为A′,B′,C′,‎ ‎△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,‎ 又设E,G在平面α上的射影分别为E′,G′,‎ 则E′∈A′B′,G′∈C′E′,EE′=(A′A+B′B)=cm,CC′=4cm,CG∶GE=2∶1,在直角梯形EE′C′C中,可求得GG′=3cm.‎ 答案:3cm ‎8.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°‎ ‎,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则=________.　‎ ‎【解题指南】先证明EF⊥底面ABC,再根据PA⊥底面ABC证明PA∥EF.‎ ‎【解析】在三棱锥P-ABC中,‎ 因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,‎ 所以AB⊥平面APC.‎ 因为EF⊂平面PAC,所以EF⊥AB,‎ 因为EF⊥BC,BC∩AB=B,‎ 所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,‎ 因为F是AC的中点,E是PC上的点,‎ 所以E是PC的中点,所以=1.‎ 答案:1‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.‎ 求证:=.　‎ ‎【证明】因为PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,‎ 所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.‎ 又PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.‎ 又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,‎ 所以EF∥BD,所以=.‎ ‎【补偿训练】已知α∩β=AB,PQ⊥α于点Q,PO⊥β于点O,OR⊥α于点R.‎ 求证:QR⊥AB.‎ ‎【解题指南】先证AB与QR所在的平面垂直,再根据线面垂直的定义,即可证明QR⊥AB.‎ ‎【证明】如图所示,因为α∩β=AB,PO⊥β于点O,所以PO⊥AB.‎ 因为PQ⊥α于点Q,所以PQ⊥AB.‎ 因为PO∩PQ=P,‎ 所以AB⊥平面PQO.‎ 因为OR⊥α于点R,所以PQ∥OR.‎ 又因为O∈平面PQO,所以OR⊂平面PQO,‎ 所以QR⊂平面PQO,AB⊥平面PQO,‎ 所以AB⊥QR.‎ ‎10.如图,AA1,BB1为圆柱的母线,BC是底面圆的直径,D,E分别是BB1,A1C的中点.　‎ ‎(1)证明:DE∥平面ABC.‎ ‎(2)证明:A1B1⊥平面A1AC.‎ ‎【证明】(1)如图,取AA1的中点F,连接DF,EF.‎ 因为D,E分别是BB1,A1C的中点,‎ 所以DF∥AB,EF∥AC.‎ 所以DF∥平面ABC,EF∥平面ABC.‎ 又DF∩EF=F,‎ 所以平面DEF∥平面ABC.‎ 又DE⊂平面DEF,所以DE∥平面ABC.‎ ‎(2)因为AA1,BB1为圆柱的母线,‎ 所以AB∥A1B1.‎ 因为AA1垂直于底面圆所在的平面,‎ 所以AA1⊥AB.‎ 又BC是底面圆的直径,所以AB⊥AC.‎ 又AC∩AA1=A,所以AB⊥平面A1AC,‎ 又A1B1∥AB,所以A1B1⊥平面A1AC.‎ ‎(20分钟　40分)‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于 ‎△ABC所在平面,那么　(　　)‎ A.PA=PB>PC B.PA=PB

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