江苏省南通市2020届高三下学期第三次高考全真冲刺模拟数学试题 Word版含解析

江苏省南通市2020届高三下学期第三次高考全真冲刺模拟数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届江苏省南通市高三年级第三次高考全真经典冲刺模拟卷 数学试题 一､填空题 ‎1.设集合，，若，则______ .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，所以，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，集合，，‎ 因为，所以，故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题.‎ ‎2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出z1﹣i，由此能求出复数z-i的模．‎ ‎【详解】∵复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），‎ ‎∴z1﹣i，‎ ‎∴复数z-i=1﹣2i, 故 的模为：．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为 - 28 -‎ ‎，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的为一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图计算一等品和二等品的频率，求三等品的频率，根据频数=样本容量频率，计算样本中三等品的件数.‎ ‎【详解】由频率分布直方图可知一等品的频率是，二等品的频率是，所以样品中三等品的频率是，‎ 所以样品中三等品的件数是.‎ 故答案为：50‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中频率，频数的计算，属于基础题型.‎ ‎4.幂函数的单调增区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数的性质可知函数在在是减函数，并且根据偶函数的性质可知单调递减区间.‎ ‎【详解】因为幂函数在是减函数，又因为函数是偶函数，所以函数在是增函数.‎ - 28 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的性质，偶函数与单调性的关系，属于基础题型.‎ ‎5.根据图中所示的伪代码，可知输出的结果S为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序语言的运行过程知该程序运行后输出S＝3+4+5．‎ ‎【详解】模拟程序的运行过程如下，‎ S＝0，I＝2，满足条件；‎ I＝3时，S＝0+3＝3，满足条件；‎ I＝4时，S＝3+4＝7，满足条件；‎ I＝5时，S＝7+5＝12，不满足条件；‎ ‎∴该程序运行后输出S＝12．‎ 故答案为12．‎ ‎【点睛】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题．‎ ‎6.设实数满足则的最大值为________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，则直线过点C时取最大值3‎ - 28 -‎ ‎ ‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程.‎ ‎【详解】因为一条渐近线与平行，所以，‎ 又因为双曲线的焦点为，且直线过点，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 所以双曲线的方程为：.‎ - 28 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数、根据的值求解双曲线的方程，难度一般.当直线过标准形式椭圆或者双曲线的焦点时，此时焦点一定为直线与坐标轴的交点.‎ ‎8.已知双曲线的左､右顶点为､，焦点在轴上的椭圆以､为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由已知求得椭圆方程，设，利用中点坐标公式表示，将两点坐标分别代入椭圆和双曲线方程，求得的值，并表示斜率.‎ ‎【详解】对于椭圆，显然，，所以椭圆方程为，设，则由得.因为点在双曲线上，点在椭圆上，所以，，解得，，，‎ 所以 , ‎ 故直线的斜率.‎ 故答案为：‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查椭圆，双曲线方程，直线与椭圆和双曲线的位置关系，点与椭圆和双曲线的位置关系，属于基础题型.‎ ‎9.已知函数，若，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方法一：首先化简，由条件求出的值，然后利用诱导公式求值.‎ 方法二：首先化简函数，再根据条件求出，再将展开，计算求值.‎ ‎【详解】方法一 ‎ ，因为，所以，所以.‎ 方法二，‎ ‎ ‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ - 28 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变形，重点考查转化与化归，变形，计算，属于基础题型.‎ ‎10.已知函数，，则的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先去掉绝对值，写成分段函数，并判断分段函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式.‎ ‎【详解】，‎ 所以在上单调递增，在上为常数函数，则，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查函数绝对值函数，解抽象不等式，重点考查判断函数的单调性，属于中档题型.本题的关键是将函数写成分段函数，并判断函数的单调性.‎ ‎11.定义在上的函数的值恒非负，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知恒成立，即，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值.‎ ‎【详解】由题意可知，所以是减函数，‎ 所以函数的最小值是 ‎ 因为恒成立，所以，即 ，‎ - 28 -‎ 即，所以的最大值是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，最值，恒成立问题，属于中档题型，本题的关键是将恒成立问题转化为.‎ ‎12.在中，若，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设，利用向量数量积和余弦定理求得，再代入余弦定理求值.‎ ‎【详解】设，所以所以 即 所以 ‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积和余弦定理的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是将已知条件设为.‎ ‎13.若中，，45°，为所在平面内一点且满足 ‎ - 28 -‎ ‎，则长度的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，‎ 求得，令，解得，进而利用二次函数的性质，求得取得最小值.‎ ‎【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，‎ 设，所以，‎ ‎ 所以，‎ 即，令，则，所以，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 当且仅当时，取得最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用问题，其中建立适当的直角坐标系，利用向量的数量积的运算，得到，利用表示出关于的二次函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.‎ ‎14.已知偶函数满足，且在时，‎ - 28 -‎ ‎，若存在满足，且，则最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由条件可知函数的最小正周期为4的偶函数，并且函数的值域是，对任意都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，然后得到的最小值.‎ ‎【详解】因为偶函数满足，所以，所以函数是最小正周期为的偶函数，且在时，，所以函数的值域为，对任意都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最值点，且，，，因为，且，根据，相应的的最小值为.‎ 故答案为：1009‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，考查函数的周期性，有界性，考查了分析问题和解决问题的能力，考查转化与化归的思想，属于中档题型.‎ 二､解答题 ‎15.已知函数的最小值是－2，其图象经过点．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）已知，且，，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ - 28 -‎ 试题分析：（1）求三角函数解析式，一般是根据待定系数法求解：根据最小值是－2，确定A＝2．根据图象经过点，可得，解得（2）由已知得，求，利用同角三角函数关系得，代入化简得的值 试题解析：（1）因为的最小值是－2，所以A＝2．又由的图象经过点，可得，，所以或，又，所以，故，即．‎ ‎（2）由（1）知，又，，故，即，又因为，所以，所以．‎ 考点：三角函数解析式，给值求值 ‎16.如图，在四棱锥中，，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，求证：平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，得平面，由此能证明平面平面；‎ ‎（2）取中点，连结，，推导出平面，平面,‎ - 28 -‎ 从而平面平面，由此能证明平面．‎ ‎【详解】（1），．，且平面,‎ 平面，‎ 平面，平面平面．‎ ‎（2）取中点，连结，，为的中点，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 四边形是平行四边形，，‎ ‎∵平面，平面,‎ 所以平面，同理平面 ‎，平面 ‎ 平面平面，‎ 平面，平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．‎ ‎17.有一块以点为圆心，半径为百米的圆形草坪，草坪内距离点百米的点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点修一条笔直小路交草坪圆周于两点，为了方便居民散步，同时修建小路，其中小路的宽度忽略不计.‎ - 28 -‎ ‎（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；‎ ‎（2）若要在区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和)‎ ‎【答案】（1）(百米).（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要使最短，只需要最小即可，根据弦长公式可知当时，弦最小；‎ ‎（2）当广场所在的圆与内切时，面积最大，由弦长公式可得，再由三角形面积公式表示半径，再通过构造函数，利用导数求函数的最值.‎ ‎【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则.‎ ‎（1）小路的长度为，因为长为定值，故只需要最小即可.‎ 作于，记，则，‎ - 28 -‎ 又，故，‎ 此时点为中点.‎ 故小路的最短长度为(百米).‎ ‎（2）显然，当广场所在的圆与内切时，‎ 面积最大，设的内切圆的半径为，‎ 则的面积为，‎ 由弦长公式可得，所以，‎ 设，则，‎ 所以，‎ 又因为，即，所以，‎ 所以，所以，‎ 即的内切圆的面积最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数的应用，重点考查数形结合分析问题的能力，抽象概括能力，以及计算能力，属于重点题型，第二问是本题的难点，需要表示三角形面积和弦长公式，转化求半径.‎ ‎18.如图，点分别为椭圆的左､右顶点和右焦点，过点的直线交椭圆于点.‎ - 28 -‎ ‎（1）若，点与椭圆左准线的距离为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线的斜率是直线斜率的倍.‎ ‎①求椭圆的离心率；‎ ‎②若椭圆的焦距为，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）.（2）①；②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所给条件列出关于的式子，求出椭圆方程；（2）①方法一，首先利用点在椭圆上，求得，再利用直线方程与椭圆方程联立，求得，再利用的关系，求得椭圆离心率；方法二，利用的关系，分别设直线的方程为，直线的方程为，与椭圆方程联立，解出点的坐标，利用点三点共线，求得离心率.②首先求得椭圆方程，并表示面积，由①方法一，代入根与系数的关系，求面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）∵，点与椭圆左准线的距离为，‎ ‎∴解得 ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）①法一：显然，，，设，，‎ 则∵点在椭圆上，∴，‎ ‎∴(i)，‎ - 28 -‎ 设直线，‎ 与椭圆联立方程组消去得：‎ ‎，其两根为，‎ ‎∴(*)‎ ‎∴‎ ‎，‎ 将(*)代入上式化简得：(ii)‎ 又（iii）‎ 由（i）（ii）（iii）得：，‎ ‎∴，即，解得或，‎ 又，∴，即椭圆的离心率为.‎ 法二：显然，，，‎ ‎∵，∴设直线的方程为，直线的方程为.‎ 由得，‎ 注意到其一根为，∴另一根为，‎ - 28 -‎ ‎∴，即，‎ 同理由得.‎ 由三点共线得，‎ ‎∴，‎ 化简得：，∴，‎ ‎∴，即椭圆的离心率为.‎ ‎②由①，又椭圆的焦距为，∴，∴，∴，‎ 由①方法一得 ‎∴面积 ‎，‎ 令，，则，，‎ ‎∵，∴在为减函数，‎ ‎∴，即时，，即面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系的综合应用，重点考查转化，变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键是直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系转化坐标表示的几何关系，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎19.已知数列的首项，其前项和为，设.‎ ‎（1）若，，且数列是公差为的等差数列，求；‎ - 28 -‎ ‎（2）设数列的前项和为，满足.‎ ‎①求数列通项公式；‎ ‎②若对，且，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）①；②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件知，即，从而判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为，利用公式，求和；‎ ‎（2）首先求得数列的通项公式，，再利用构造可得，求得数列为等比数列，且公比为，从而求得数列的通项公式；②‎ 不等式等价为，利用①的结果，讨论为奇数和为偶数两种情况，讨论求的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由条件知，即，‎ 所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为.‎ 由，，所以，即，‎ 所以，.‎ 所以.‎ ‎（2）①由，得，‎ 由于符合上式，所以，‎ 所以.‎ 所以，即，‎ - 28 -‎ 所以数列为等比数列，且公比为，‎ 因为，所以.‎ ‎②不等式即为，‎ 由于，所以不等式即为.‎ 当是奇数时，，，‎ 所以，‎ 即对，且恒成立，‎ 所以，解得.‎ 当为偶数时，，，‎ 由，得对，且恒成立，‎ 所以，解得，‎ 因为，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查递推公式求通项公式，数列的函数关系，重点考查转化与化归，分类讨论的思想，函数与不等式的关系，属于难题.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）当时，‎ ‎①若曲线与直线相切，求c的值；‎ ‎②若曲线与直线有公共点，求c的取值范围．‎ ‎（2）当时，不等式对于任意正实数x恒成立，当c取得最大值时，求a，b的值．‎ ‎【答案】（1）,（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，所以，①设切点为 - 28 -‎ ‎，列出方程组，即可求得，得到答案； ②由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根，记，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解的取值范围；‎ ‎（2）由题意得，当时，对于任意正实数恒成立，即当时，对于任意正实数恒成立， 由（1）可得，进而得到，‎ ‎ ，得到时，，进而得到 对于任意正实数恒成立，再利用二次函数的性质，即可得到结论.‎ ‎【详解】（1）解：当时，，所以．‎ ‎ ①设切点为，则 ‎ 由②③得，‎ 由①得代入④得，‎ ‎ 所以． ‎ ‎ ②由题意，得方程有正实数根，‎ 即方程有正实数根，‎ ‎ 记，令，‎ ‎ 当时，；当时，；‎ ‎ 所以在上为减函数，在上为增函数；‎ ‎ 所以． ‎ ‎ 若，则，不合；‎ ‎ 若，由①知适合；‎ ‎ 若，则，又，‎ - 28 -‎ 所以，由零点存在性定理知在上必有零点．‎ ‎ 综上，c的取值范围为． ‎ ‎（2）由题意得，当时，对于任意正实数x恒成立，‎ ‎ 所以当时，对于任意正实数x恒成立，‎ ‎ 由（1）知，，‎ ‎ 两边同时乘以x得，①， ‎ ‎ 两边同时加上得，②， ‎ ‎ 所以（*），当且仅当时取等号．‎ ‎ 对（*）式重复以上步骤①②可得，，‎ ‎ 进而可得，，，……，‎ 所以当，时，，当且仅当时取等号．‎ 所以． ‎ 当取最大值1时，对于任意正实数x恒成立，‎ 令上式中得， ，所以，‎ 所以对于任意正实数x恒成立，‎ 即对于任意正实数x恒成立，‎ 所以，所以函数的对称轴，‎ 所以，即，所以，． ‎ 又由，两边同乘以x2得，，‎ 所以当，时，也恒成立，‎ 综上，得，．‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎21.已知，点在变换:作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点．若点的坐标为，求点的坐标．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据伸缩变换以及旋转变换得，再根据对应点关系求结果.‎ ‎【详解】． ‎ 设，则由，得．‎ 所以，即．‎ ‎【点睛】本题考查伸缩变换以及旋转变换，考查基本求解能力.‎ ‎22.在极坐标系中，设为曲线：上任意一点，求点到直线：的最大距离.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线距离的最大值，求出圆心到直线距离，即可求出结论.‎ ‎【详解】曲线：化直角坐标方程为表示圆，‎ ‎，‎ - 28 -‎ 化为直角坐标方程为，‎ 圆上点到直线距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎23.已知正数满足，求的最小值．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，待求式可化，根据柯西不等式即可求解.‎ ‎【详解】由于，所以 当且仅当，即时，等号成立. ‎ ‎ 所以最小值为27.‎ ‎【点睛】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题.‎ ‎24.如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点.‎ - 28 -‎ ‎（1）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的大小的余弦值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.‎ ‎【详解】因为在直三棱柱中，，所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 则,‎ 因为是的中点，所以，‎ ‎（1）因为，设平面的法向量，‎ 则，即，取，‎ 所以平面的法向量，而，‎ - 28 -‎ 所以，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为；‎ ‎（2），，设平面的法向量，‎ 则，即，取，平面的法向量，‎ 所以，‎ 二面角的大小的余弦值．‎ 考点：利用空间向量研究线面角、二面角 ‎25.（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方法一，利用组合数公式计算，方法二，利用组合数阶乘公式计算；（2）首先按照公式化简求和和组合数公式，‎ 再根据（1）变形为，构造数列，令，得到数列是周期为6的数列，最后计算求值.‎ ‎【详解】由 - 28 -‎ ‎ ‎ 所以.‎ 法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下：‎ ‎（2）‎ 由（1）得，，，依次取，‎ 则有，，，‎ 所以，……‎ 原式……‎ 构造数列，令 则 所以 所以，即，‎ 即，所以，即数列是周期为的数列.‎ - 28 -‎ 又因为，，，，，，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查组合数证明，构造数列，数列的函数性质，重点考查公式的灵活应用，转化与化归的能力，逻辑推理能力，属于难题.‎ ‎ ‎ - 28 -‎ - 28 -‎