2020年贵州省铜仁市中考数学试卷(含解析)

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2020年贵州省铜仁市中考数学试卷(含解析)

‎2020年贵州省铜仁市中考数学试卷 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案,其中只有一个是正确的,请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 ‎1.(4分)﹣3的绝对值是(  )‎ A.﹣3 B.3 C.‎1‎‎3‎ D.‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎2.(4分)我国高铁通车总里程居世界第一,预计到2020年底,高铁总里程大约39000千米,39000用科学记数法表示为(  )‎ A.39×103 B.3.9×104 C.3.9×10﹣4 D.39×10﹣3‎ ‎3.(4分)如图,直线AB∥CD,∠3=70°,则∠1=(  )‎ A.70° B.100° C.110° D.120°‎ ‎4.(4分)一组数据4,10,12,14,则这组数据的平均数是(  )‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ ‎5.(4分)已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为(  )‎ A.3 B.2 C.4 D.5‎ ‎6.(4分)实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是(  )‎ A.a>b B.﹣a<b C.a>﹣b D.﹣a>b ‎7.(4分)已知等边三角形一边上的高为2‎3‎,则它的边长为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.4‎‎3‎ ‎8.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D,设点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是(  )‎ 第21页(共21页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.(4分)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2=0的两个根,则k的值等于(  )‎ A.7 B.7或6 C.6或﹣7 D.6‎ ‎10.(4分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,BE=1,∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF‎=‎‎2‎,过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论:①△ECF的面积为‎17‎‎2‎;②△AEG的周长为8;③EG2=DG2+BE2;其中正确的是(  )‎ A.①②③ B.①③ C.①② D.②③‎ 二、填空题:(本题共8个小题,每小题4分,共32分)‎ 第21页(共21页)‎ ‎11.(4分)因式分解:a2+ab﹣a=   .‎ ‎12.(4分)方程2x+10=0的解是   .‎ ‎13.(4分)已知点(2,﹣2)在反比例函数y‎=‎kx的图象上,则这个反比例函数的表达式是   .‎ ‎14.(4分)函数y‎=‎‎2x-4‎中,自变量x的取值范围是   .‎ ‎15.(4分)从﹣2,﹣1,2三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第三象限的概率等于   .‎ ‎16.(4分)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离等于   cm.‎ ‎17.(4分)系统找不到该试题 ‎18.(4分)观察下列等式:‎ ‎2+22=23﹣2;‎ ‎2+22+23=24﹣2;‎ ‎2+22+23+24=25﹣2;‎ ‎2+22+23+24+25=26﹣2;‎ ‎…‎ 已知按一定规律排列的一组数:220,221,222,223,224,…,238,239,240,若220=m,则220+221+222+223+224+…+238+239+240=   (结果用含m的代数式表示).‎ 三、解答题:(本题共4个小题,第19题每小题10分,第20,21,22题每小题10分,共40分,要有解题的主要过程)‎ ‎19.(10分)(1)计算:2‎÷‎1‎‎2‎-‎(﹣1)2020‎-‎4‎-‎(‎5‎‎-‎‎3‎)0.‎ ‎(2)先化简,再求值:(a‎+‎‎3-‎a‎2‎a-3‎)÷(a‎2‎‎-1‎a-3‎),自选一个a值代入求值.‎ ‎20.(10分)如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.‎ ‎21.(10分)某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组,要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组,为了了解学生对四个课外小组的选择情 第21页(共21页)‎ 况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据给出的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求该校参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);‎ ‎(2)m=   ,n=   ;‎ ‎(3)若该校共有2000名学生,试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人?‎ ‎22.(10分)如图,一艘船由西向东航行,在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C,再向东继续航行60km到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°方向上,已知在灯塔C的周围47km内有暗礁,问这艘船继续向东航行是否安全?‎ 四、(本大题满分12分)‎ ‎23.(12分)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%,用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个.‎ ‎(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元?‎ ‎(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个,且排球个数不低于篮球个数的3倍,篮球的售价定为每一个100元,排球的售价定为每一个90元.若该批篮球、排球都能卖完,问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少?‎ 第21页(共21页)‎ 五、(本大题满分12分)‎ ‎24.(12分)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接AC,CE⊥AB于点E,D是直径AB延长线上一点,且∠BCE=∠BCD.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AD=8,BECE‎=‎‎1‎‎2‎,求CD的长.‎ 六、(本大题满分14分)‎ ‎25.(14分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(﹣1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的交点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;‎ ‎(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.‎ 第21页(共21页)‎ ‎2020年贵州省铜仁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案,其中只有一个是正确的,请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 ‎1.(4分)﹣3的绝对值是(  )‎ A.﹣3 B.3 C.‎1‎‎3‎ D.‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解:﹣3的绝对值是:3.‎ 故选:B.‎ ‎2.(4分)我国高铁通车总里程居世界第一,预计到2020年底,高铁总里程大约39000千米,39000用科学记数法表示为(  )‎ A.39×103 B.3.9×104 C.3.9×10﹣4 D.39×10﹣3‎ ‎【解答】解:39000=3.9×104.‎ 故选:B.‎ ‎3.(4分)如图,直线AB∥CD,∠3=70°,则∠1=(  )‎ A.70° B.100° C.110° D.120°‎ ‎【解答】解:∵直线AB∥CD,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵∠3=70°,‎ ‎∴∠1=∠2=180°﹣70°=110°.‎ 故选:C.‎ ‎4.(4分)一组数据4,10,12,14,则这组数据的平均数是(  )‎ A.9 B.10 C.11 D.12‎ ‎【解答】解:这组数据的平均数为‎1‎‎4‎‎×‎(4+10+12+14)=10,‎ 故选:B.‎ ‎5.(4分)已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为(  )‎ 第21页(共21页)‎ A.3 B.2 C.4 D.5‎ ‎【解答】解:∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15,‎ ‎∴△FHB和△EAD的周长比为2:1,‎ ‎∵△FHB∽△EAD,‎ ‎∴FHEA‎=‎2,即‎6‎EA‎=‎2,‎ 解得,EA=3,‎ 故选:A.‎ ‎6.(4分)实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是(  )‎ A.a>b B.﹣a<b C.a>﹣b D.﹣a>b ‎【解答】解:根据数轴可得:a<0,b>0,且|a|>|b|,‎ 则a<b,﹣a>b,a<﹣b,﹣a>b.‎ 故选:D.‎ ‎7.(4分)已知等边三角形一边上的高为2‎3‎,则它的边长为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.4‎‎3‎ ‎【解答】解:根据等边三角形:三线合一,‎ 设它的边长为x,可得:x‎2‎‎=(x‎2‎‎)‎‎2‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎,‎ 解得:x=4,x=﹣4(舍去),‎ 故选:C.‎ ‎8.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D,设点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是(  )‎ 第21页(共21页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:由题意当0≤x≤4时,‎ y‎=‎1‎‎2‎×‎AD×AB‎=‎1‎‎2‎×‎3×4=6,‎ 当4<x<7时,‎ y‎=‎1‎‎2‎×‎PD×AD‎=‎1‎‎2‎×‎(7﹣x)×4=14﹣2x.‎ 故选:D.‎ ‎9.(4分)已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2=0的两个根,则k的值等于(  )‎ A.7 B.7或6 C.6或﹣7 D.6‎ ‎【解答】解:当m=4或n=4时,即x=4,‎ ‎∴方程为42﹣6×4+k+2=0,‎ 解得:k=6,‎ 当m=n时,即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0,‎ 解得:k=7,‎ 综上所述,k的值等于6或7,‎ 故选:B.‎ ‎10.(4分)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边AB上,BE=1,∠DAM=45‎ 第21页(共21页)‎ ‎°,点F在射线AM上,且AF‎=‎‎2‎,过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H,CF与AD相交于点G,连接EC、EG、EF.下列结论:①△ECF的面积为‎17‎‎2‎;②△AEG的周长为8;③EG2=DG2+BE2;其中正确的是(  )‎ A.①②③ B.①③ C.①② D.②③‎ ‎【解答】解:如图,在正方形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD=4,∠B=∠BAD=90°,‎ ‎∴∠HAD=90°,‎ ‎∵HF∥AD,‎ ‎∴∠H=90°,‎ ‎∵∠HAF=90°﹣∠DAM=45°,‎ ‎∴∠AFH=∠HAF.‎ ‎∵AF‎=‎‎2‎,‎ ‎∴AH=HF=1=BE.‎ ‎∴EH=AE+AH=AB﹣BE+AH=4=BC,‎ ‎∴△EHF≌△CBE(SAS),‎ ‎∴EF=EC,∠HEF=∠BCE,‎ ‎∵∠BCE+∠BEC=90°,‎ ‎∴HEF+∠BEC=90°,‎ ‎∴∠FEC=90°,‎ ‎∴△CEF是等腰直角三角形,‎ 在Rt△CBE中,BE=1,BC=4,‎ ‎∴EC2=BE2+BC2=17,‎ 第21页(共21页)‎ ‎∴S△ECF‎=‎‎1‎‎2‎EF•EC‎=‎‎1‎‎2‎EC2‎=‎‎17‎‎2‎,故①正确;‎ 过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,‎ ‎∴∠APF=90°=∠H=∠HAD,‎ ‎∴四边形APFH是矩形,‎ ‎∵AH=HF,‎ ‎∴矩形AHFP是正方形,‎ ‎∴AP=PH=AH=1,‎ 同理:四边形ABQP是矩形,‎ ‎∴PQ=AB=4,BQ=AP1,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC﹣BQ=3,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△FPG∽△FQC,‎ ‎∴FPFQ‎=‎PGCQ,‎ ‎∴‎1‎‎5‎‎=‎PG‎3‎,‎ ‎∴PG‎=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴AG=AP+PG‎=‎‎8‎‎5‎,‎ 在Rt△EAG中,根据勾股定理得,EG‎=AG‎2‎+AE‎2‎=‎‎17‎‎5‎,‎ ‎∴△AEG的周长为AG+EG+AE‎=‎8‎‎5‎+‎17‎‎5‎+‎3=8,故②正确;‎ ‎∵AD=4,‎ ‎∴DG=AD﹣AG‎=‎‎12‎‎5‎,‎ ‎∴DG2+BE2‎=‎144‎‎25‎+‎1‎=‎‎169‎‎25‎,‎ ‎∵EG2=(‎17‎‎5‎)2‎=‎289‎‎25‎≠‎‎169‎‎25‎,‎ ‎∴EG2≠DG2+BE2,故③错误,‎ ‎∴正确的有①②,‎ 故选:C.‎ 第21页(共21页)‎ 二、填空题:(本题共8个小题,每小题4分,共32分)‎ ‎11.(4分)因式分解:a2+ab﹣a= a(a+b﹣1) .‎ ‎【解答】解:原式=a(a+b﹣1).‎ 故答案为:a(a+b﹣1).‎ ‎12.(4分)方程2x+10=0的解是 x=﹣5 .‎ ‎【解答】解:方程2x+10=0,‎ 移项得:2x=﹣10,‎ 解得:x=﹣5.‎ 故答案为:x=﹣5.‎ ‎13.(4分)已知点(2,﹣2)在反比例函数y‎=‎kx的图象上,则这个反比例函数的表达式是 y‎=-‎‎4‎x .‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y‎=‎kx(k≠0)的图象上一点的坐标为(2,﹣2),‎ ‎∴k=﹣2×2=﹣4,‎ ‎∴反比例函数解析式为y‎=-‎‎4‎x,‎ 故答案为:y‎=-‎‎4‎x.‎ ‎14.(4分)函数y‎=‎‎2x-4‎中,自变量x的取值范围是 x≥2 .‎ ‎【解答】解:2x﹣4≥0‎ 解得x≥2.‎ ‎15.(4分)从﹣2,﹣1,2三个数中任取两个不同的数,作为点的坐标,则该点在第三象限的概率等于 ‎1‎‎3‎ .‎ ‎【解答】解:画树状图如下 第21页(共21页)‎ 共有6种等可能情况,该点在第三象限的情况数有(﹣2,﹣1)和(﹣1,﹣2)这2种结果,‎ ‎∴该点在第三象限的概率等于‎2‎‎6‎‎=‎‎1‎‎3‎,‎ 故答案为:‎1‎‎3‎.‎ ‎16.(4分)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离等于 7或17 cm.‎ ‎【解答】解:分两种情况:‎ ‎①当EF在AB,CD之间时,如图:‎ ‎∵AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,‎ ‎∴EF与AB的距离为12﹣5=7(cm).‎ ‎②当EF在AB,CD同侧时,如图:‎ ‎∵AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,‎ ‎∴EF与AB的距离为12+5=17(cm).‎ 综上所述,EF与AB的距离为7cm或17cm.‎ 故答案为:7或17.‎ ‎17.(4分)系统找不到该试题 ‎18.(4分)观察下列等式:‎ ‎2+22=23﹣2;‎ 第21页(共21页)‎ ‎2+22+23=24﹣2;‎ ‎2+22+23+24=25﹣2;‎ ‎2+22+23+24+25=26﹣2;‎ ‎…‎ 已知按一定规律排列的一组数:220,221,222,223,224,…,238,239,240,若220=m,则220+221+222+223+224+…+238+239+240= m(2m﹣1) (结果用含m的代数式表示).‎ ‎【解答】解:∵220=m,‎ ‎∴220+221+222+223+224+…+238+239+240‎ ‎=220(1+2+22+…+219+220)‎ ‎=220(1+221﹣2)‎ ‎=m(2m﹣1).‎ 故答案为:m(2m﹣1).‎ 三、解答题:(本题共4个小题,第19题每小题10分,第20,21,22题每小题10分,共40分,要有解题的主要过程)‎ ‎19.(10分)(1)计算:2‎÷‎1‎‎2‎-‎(﹣1)2020‎-‎4‎-‎(‎5‎‎-‎‎3‎)0.‎ ‎(2)先化简,再求值:(a‎+‎‎3-‎a‎2‎a-3‎)÷(a‎2‎‎-1‎a-3‎),自选一个a值代入求值.‎ ‎【解答】解:(1)原式=2×2﹣1﹣2﹣1‎ ‎=4﹣1﹣2﹣1‎ ‎=0;‎ ‎(2)原式‎=‎a(a-3)+3-‎a‎2‎a-3‎•‎a-3‎‎(a+1)(a-1)‎ ‎=‎‎-3(a-1)‎a-3‎‎•a-3‎‎(a+1)(a-1)‎ ‎ ‎=-‎‎3‎a+1‎‎,‎ 当a=0时,原式=﹣3.‎ ‎20.(10分)如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.‎ 第21页(共21页)‎ ‎【解答】证明:∵AC∥DF,‎ ‎∴∠ACB=∠DFE,‎ ‎∵BF=CE,‎ ‎∴BC=EF,‎ 在△ABC和△DEF中,‎∠B=∠EBC=EF‎∠ACB=∠DFE,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(ASA).‎ ‎21.(10分)某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组,要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组,为了了解学生对四个课外小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据给出的信息解答下列问题:‎ ‎(1)求该校参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);‎ ‎(2)m= 36 ,n= 16 ;‎ ‎(3)若该校共有2000名学生,试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人?‎ ‎【解答】解:(1)该校参加这次问卷调查的学生有:20÷20%=100(人),‎ 选择篮球的学生有:100×28%=28(人),‎ 补全的条形统计图如右图所示;‎ ‎(2)m%‎=‎36‎‎100‎×‎100%=36%,‎ 第21页(共21页)‎ n%‎=‎16‎‎100‎×‎100%=16%,‎ 故答案为:36,16;‎ ‎(3)2000×16%=320(人),‎ 答:该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人.‎ ‎22.(10分)如图,一艘船由西向东航行,在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C,再向东继续航行60km到达B处,这时测得灯塔C在北偏东30°方向上,已知在灯塔C的周围47km内有暗礁,问这艘船继续向东航行是否安全?‎ ‎【解答】解:过点C作CD⊥AB,垂足为D.如图所示:‎ 根据题意可知∠BAC=90°﹣30°=30°,∠DBC=90°﹣30°=60°,‎ ‎∵∠DBC=∠ACB+∠BAC,‎ ‎∴∠BAC=30°=∠ACB,‎ ‎∴BC=AB=60km,‎ 在Rt△BCD中,∠CDB=90°,∠BDC=60°,sin∠BCD‎=‎ADAC,‎ ‎∴sin60°‎=‎CD‎60‎,‎ ‎∴CD=60×sin60°=60‎×‎3‎‎2‎=‎30‎3‎(km)>47km,‎ ‎∴这艘船继续向东航行安全.‎ 第21页(共21页)‎ 四、(本大题满分12分)‎ ‎23.(12分)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%,用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个.‎ ‎(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元?‎ ‎(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个,且排球个数不低于篮球个数的3倍,篮球的售价定为每一个100元,排球的售价定为每一个90元.若该批篮球、排球都能卖完,问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少?‎ ‎【解答】解:(1)设每一个篮球的进价是x元,则每一个排球的进价是90%x元,依题意有 ‎3600‎x‎+‎‎10‎=‎‎3600‎‎90%x,‎ 解得x=40,‎ 经检验,x=40是原方程的解,‎ ‎90%x=90%×40=36.‎ 故每一个篮球的进价是40元,每一个排球的进价是36元;‎ ‎(2)设文体商店计划购进篮球m个,总利润y元,则 y=(100﹣40)m+(90﹣36)(100﹣m)=6m+5400,‎ 依题意有‎0<m<100‎‎100-m≥3m,‎ 解得0<m≤25且m为整数,‎ ‎∵m为整数,‎ ‎∴y随m的增大而增大,‎ ‎∴m=25时,y最大,这时y=6×25+5400=5550,‎ ‎100﹣25=75(个).‎ 故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润,最大利润是5550元.‎ 第21页(共21页)‎ 五、(本大题满分12分)‎ ‎24.(12分)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,连接AC,CE⊥AB于点E,D是直径AB延长线上一点,且∠BCE=∠BCD.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AD=8,BECE‎=‎‎1‎‎2‎,求CD的长.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OC,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵CE⊥AB,‎ ‎∴∠CEB=90°,‎ ‎∴∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠CAB=90°,‎ ‎∴∠A=∠ECB,‎ ‎∵∠BCE=∠BCD,‎ ‎∴∠A=∠BCD,‎ ‎∵OC=OA,‎ ‎∴∠A=∠ACO,‎ ‎∴∠ACO=∠BCD,‎ ‎∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°,‎ ‎∴∠DCO=90°,‎ ‎∴CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵∠A=∠BCE,‎ ‎∴tanA‎=BCAC=‎tan∠BCE‎=BECE=‎‎1‎‎2‎,‎ 设BC=k,AC=2k,‎ ‎∵∠D=∠D,∠A=∠BCD,‎ 第21页(共21页)‎ ‎∴△ACD∽△CBD,‎ ‎∴BCAC‎=CDAD=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∵AD=8,‎ ‎∴CD=4.‎ 六、(本大题满分14分)‎ ‎25.(14分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(﹣1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的交点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;‎ ‎(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+6,‎ 得:a-b+6=0‎‎9a+3b+6=0‎,解得:a=-2‎b=4‎,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣2x2+4x+6.‎ ‎(2)过点P作PF∥y轴,交BC于点F,如图1所示.‎ 第21页(共21页)‎ 当x=0时,y=﹣2x2+4x+6=6,‎ ‎∴点C的坐标为(0,6).‎ 设直线BC的解析式为y=kx+c,‎ 将B(3,0)、C(0,6)代入y=kx+c,得:‎ ‎3k+c=0‎c=6‎‎,解得:k=-2‎c=6‎,‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣2x+6.‎ 设点P的坐标为(m,﹣2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,﹣2m+6),‎ ‎∴PF=﹣2m2+4m+6﹣(﹣2m+6)=﹣2m2+6m,‎ ‎∴S△PBC‎=‎‎1‎‎2‎PF•OB=﹣3m2+9m=﹣3(m‎-‎‎3‎‎2‎)2‎+‎‎27‎‎4‎,‎ ‎∴当m‎=‎‎3‎‎2‎时,△PBC面积取最大值,最大值为‎27‎‎4‎.‎ ‎∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,‎ ‎∴0<m<3.‎ ‎(3)存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似.‎ 如图2,∠CMN=90°,当点M位于点C上方,过点M作MD⊥y轴于点D,‎ 第21页(共21页)‎ ‎∵∠CDM=∠CMN=90°,∠DCM=∠NCM,‎ ‎∴△MCD∽△NCM,‎ 若△CMN与△OBC相似,则△MCD与△NCM相似,‎ 设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),‎ ‎∴DC=﹣2a2+4a,DM=a,‎ 当DMCD‎=OBOC=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎时,△COB∽△CDM∽△CMN,‎ ‎∴a‎-2a‎2‎+4a‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 解得,a=1,‎ ‎∴M(1,8),‎ 此时ND‎=‎‎1‎‎2‎DM‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴N(0,‎17‎‎2‎),‎ 当CDDM‎=OBOC=‎‎1‎‎2‎时,△COB∽△MDC∽△NMC,‎ ‎∴‎-2a‎2‎+4aa‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 解得a‎=‎‎7‎‎4‎,‎ ‎∴M(‎7‎‎4‎,‎55‎‎8‎),‎ 此时N(0,‎83‎‎8‎).‎ 如图3,当点M位于点C的下方,‎ 第21页(共21页)‎ 过点M作ME⊥y轴于点E,‎ 设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),‎ ‎∴EC=2a2﹣4a,EM=a,‎ 同理可得:‎2a‎2‎-4aa‎=‎‎1‎‎2‎或‎2a‎2‎-4aa‎=‎2,△CMN与△OBC相似,‎ 解得a‎=‎‎9‎‎4‎或a=3,‎ ‎∴M(‎9‎‎4‎,‎39‎‎8‎)或M(3,0),‎ 此时N点坐标为(0,‎3‎‎8‎)或(0,‎-‎‎3‎‎2‎).‎ 综合以上得,M(1,8),N(0,‎17‎‎2‎)或M(‎7‎‎4‎,‎55‎‎8‎),N(0,‎83‎‎8‎)或M(‎9‎‎4‎,‎39‎‎8‎),N(0,‎3‎‎8‎)或M(3,0),N(0,‎-‎‎3‎‎2‎),使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似.‎ 第21页(共21页)‎
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