中考数学第一轮复习导学案分式方程及其应用

中考数学第一轮复习导学案分式方程及其应用

- 1 - 分式方程及其应用 ◆ 课前热身 1．方程 12 1xx 的解是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．请你给 x 选择一个合适的值，使方程 21 12xx 成立，你选择的 x ____________． 3.解方程 2 2 2 3 3 21 xx xx  时，若设 2 1 xy x  ，则方程可化为 ． 4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计 划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设 计划每天加工x套，则根据题意可得方程为 （ ） A． 18%)201( 400160  xx B． 18%)201( 160400160   xx Ｃ． 18%20 160400160  xx Ｄ． 18%)201( 160400400   xx 【参考答案】 1. C 2.3 3.2 y－ y 3 =2 4.Ｂ ◆考点聚焦 知识点: 分式方程及其应用 大纲要求: 1．了解分式方程的概念。 2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。 3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查换元法解分式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中，另一部分习 题考查完整的解题能力，习题出现在解答题中。 ◆备考兵法 （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项. - 2 - （2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为 0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程， 求出参数的值. ◆考点链接 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是 原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得 到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中， 求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（ 2）检验所求的解是否 . ◆典例精析 例 1（湖北孝感）关于 x 的方程 2 1 1 xa x    的解是正数，则 a 的取值范围是（ ） A．a＞－1 B．a＞－1 且 a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1 且 a≠－2 【分析】把分式方程化为整式方程，得 21x a x   ，解得 1xa   ，因关于 x 的方程 的解是正数，所以 0x  ，即 10a   ，∴ 1a  ，但 2a  时， 22211 x x   ，所以 2a  . 【答案】D 例2(陕西省)解方程： 4 312 2 2    xx x ． 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是── - 3 - 去分母法，并且在解此方程时必须验根． 解：去分母得：(x－2)2－(x2－4)=3． －4x＝－5． x＝ 4 5 ． 经检验，x＝ 4 5 是原方程的解． 【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式 后，找出分母的最简 公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不 要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法． 例 3（广西桂林）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲 队单独完成这项工程需要 60 天；若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合做 24 天可完 成． （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元．若该工程计 划在 70 天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还 是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 解：（1）设乙队单独完成需 x 天 根据题意，得 1 1 120 ( ) 24 160 60x     解这个方程，得 x =90 经检验， =90 是原方程的解 ∴乙队单独完成需 90 天 （2）设甲、乙合作完成需 y 天，则有 11( ) 160 90 y 解得 36y  （天） 甲单独完成需付工程款为 60×3.5=210（万元） 乙单独完成超过计划天数不符题意． 甲、乙合作完成需付工程款为 36（3.5+2）=198（万元） 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱． 【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求 x•的值是否是方程的解，再检验是 否符合题意． - 4 - ◆迎考精炼 一、选择题 1.（湖北襄樊）分式方程 1 31 xx xx  的解为（ ） A．1 B．－1 C．－2 D．－3 2.(上海)用换元法解分式方程 13 101 xx xx     时，如果设 1x yx   ，将原方程化为关于 y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A． 2 30yy   B． 2 3 1 0yy   C． 23 1 0yy   D． 23 1 0yy   3.(浙江嘉兴）解方程 xx   2 2 4 8 2 的结果是（ ） A． 2x B． 2x C． 4x D．无解 4.（安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿 者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲志愿者计划完成此 项工作的天数是（ ） A．8 B.7 C．6 D．5 5.（广西柳州）分式方程 3 2 2 1  xx 的解是（ ） A． 0x B． 1x C． 2x D． 3x 二、填空题 1.（四川宜宾）方程 xx 5 2 7  的解是 . 2.（浙江杭州）已知关于 x 的方程 32 2   x mx 的解是正数，则 m 的取值范围为______． 3.（浙江台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了 90 下，小群跳了 120 下．已知小 群每分钟比小林多跳 20 下，设小林每分钟跳 x 下，则可列关于 x 的方程为 ． 4.（山西太原）方程 25 12xx 的解是 ． 5．（黑龙江牡丹江）若关于 x 的分式方程 3 11 xa xx   无解，则 a  ． 三、解答题 1.（广东清远）解分式方程： 13 2xx - 5 - 2.（北京）解分式方程： 6 122 x xx 3．（广东省）解方程 2 21 11xx ． 4.（湖北十堰）某工厂准备加工 600 个零件，在加工了 100 个零件后，采取了新技术，使每 天的工作效率是原来的 2 倍，结果共用 7 天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？ 5．（山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用 68000 元购进第二批这种运动 服，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每套售 价至少是多少元？（利润率 100%利润 成本 ） 【参考答案】 - 6 - 一、选择题 1. D 分析：方程两边同乘  31xx，得     1 1 3x x x x    ，解得 3x  ，经检验 是原分式方程的解，故选 D。 2. A 3.D 4.B 5.B 二、填空题 1.5 2. 46  mm 或 3. xx 90 20 120  4. 5x  解析：本题考查分式方程的解法，方程两边同乘  21xx ，得 4 5 5xx，解得 5.1 或－2 三、解答题 1.解：去分母，得 36xx 解得： 3x  检验：把 3x  代入原方程得：左边=右边 所以 3x  是原方程的解 2.解：去分母，得 ( 2) 6( 2) ( 2)( 2)x x x x x      解得 1x  经检验 是原方程的解 所以原方程的解是 . 3.方程两边同时乘以  11xx， 2=  1x， 3x  ， 经检验： 是方程的解． 4.解：设该厂原来每天加工 x 个零件， 由题意得： 72 500100  xx 解得 x=50 经检验：x=50 是原分式方程的解 答：该厂原来每天加工 50 个零件。 - 7 - 5.解：（1）设商场第一次购进 x 套运动服，由题意得： 68000 32000 102xx， 解这个方程，得 200x  ． 经检验， 是所列方程的根． 2 2 200 200 600xx     ． 所以商场两次共购进这种运动服 600 套． （2）设每套运动服的售价为 y 元，由题意得： 600 32000 68000 20%32000 68000 y   ≥ ， 解这个不等式，得 200y≥ ， 所以每套运动服的售价至少是 200 元．