华师版数学九年级下册课件-第27章 圆- 复习课

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HS九(下) 教学课件 第27章 圆 复习课 · 一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连结圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧. 6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. 注意：(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. · 9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依 次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接 正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆. 10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形 的外心. 注意：(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的. 11.三角形的内切圆 内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的 内心. 注意：(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的. 12.正多边形的相关概念 (1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆 心，称其为正多边形的中心. (2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边 形的边心距. (4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有 点P在圆内；d＜r 点P在圆上；d=r 点P在圆外.d＞r 注意：点与圆的位置关 系可以转化为点到圆心 的距离与半径之间的关 系；反过来，也可以通 过这种数量关系判断点 与圆的位置关系． 2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 直线与圆的 位置关系 图形 d与r的关系 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 割线 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 d＞r d=r d＜r 三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直 线都是它的对称轴. 直径 2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等. (2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等. (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于 这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 四、 有关定理及其推论 1.垂径定理 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的　 　. 注意:①条件中的“弦”可以是直径；②结论中 的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 两条弧 2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. 注意:“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. 3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条 切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角. 五、 圆中的计算问题 1.弧长公式 半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.180 n R 2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________. 2 360 n R 1 2 lR或 3.弓形面积公式 OO 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 (3)圆锥的侧面积为　 　. 注意：圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等 于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长． (4)圆锥的全面积为　 　. lr 2lr r  4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个　 　. (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这 个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 　. 扇形 l 2 r 5.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 360 n  (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 2 2 2( ) .2 aR r  (3)边长a，边心距r的正n边形的面积为 1 1 .2 2S nar lr  其中l为正n边形的周长. 圆周角定理 例1 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°, 则∠BAD的度数是 （ ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 ° A B C D B 考点1 135° 1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的 度数是 . C D B A P O 图a 针对训练 2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线 于点E,则∠E等于 . O C A B E D 图b 50° 垂径定理 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm. 8mm A B 8 C D O 解析：设圆心为O，连接AO,作出 过点O的弓形高CD，垂足为D,可知 AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 进行计算，AD=4mm，所以 AB=8mm. 考点2 例2 2 A O B C E F 3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2, 连结AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为 E,F，连结EF，则EF的长度等于 . （ 针对训练 图a 3 A B C D P O 图b D’ P 4.如图b, AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆 上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °， 动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值 是 . （ （ 与圆有关的位置关系 B 北 60 ° 30 ° A C 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁， 一艘鱼轮在B处测得灯塔A在北偏东600的方向，向东 航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东300的 方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有 触礁的危险？请通过计算说明理由. （参考数据 =1.732）3 例3 考点3 解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆 心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁， 关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系. B 北 60 ° 30 ° A C B 北 60 ° 30 ° A C D 解：如图，作AD垂直于BC于D， 根据题意，得BC=8.设AD为x. ∵∠ABC=30°，∴AB=2x. BD= x. ∵∠ACD=90°-30°=60°， ∴ AD=CD×tan60°， CD= . BC=BD-CD= =8. 解得 x= 3 3 3 x 2 3 3 x 4 3 4 1.732 6.928 7.   ＜ 即渔船继续往东行驶，有触礁的危险. 5. ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关 系是 （ ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上 解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的 两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 ☉O的关系. D 针对训练 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心， OA长为半径的☉O与BC相切于点M. (1)求证：CD与☉O相切； A B C D O M 证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM ∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °, ∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上. ∴AC是∠BCD的角平分线， ∴ON=OM， ∴ CD与☉O相切. N 例4 A B C D O M 解: ∵正方形ABCD的边长为1, AC= . 设☉O的半径为r,则OC= 又易知△OMC是等腰直角三角形， ∴OC= 因此有 ，解得 . 2 2 . r 2 .r 2 2r r  2 2r   （2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径. （1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法 是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程. 方法归纳 6.（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且 与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的 方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.4或8 解析：根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面 与直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切. A B D C P P2P1 E 针对训练 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点， 过 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数； AB 解:连结OA、OB、OC， ∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，∴OA⊥PA， OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE， ∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC. ∴∠DOE＝ ∠AOB. ∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°. 1 2 例5 解：∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ∴AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm) (2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长． 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为 圆心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形 OEF的面积？ 解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上 2120 1= 360 3S扇形OEF p p创 = 圆中的计算问题考点4 例6 7.（1）一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径 为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 . （2）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面 积为______. 40cm 24 3 针对训练 8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分 的面积等于_______． 2 3 p 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其 中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10， 求图中阴影部分的面积. 例7 解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中，得 2 2 2 2= ' + ' = 16 +8 =8 5AC AC CC ∴正方形ABCD外接圆的半径为 4 5 ∴正方形ABCD的边长为 = 4 10 2 ACAB 2 2= 4 5 4 10 =80 160S     阴影 （ ） （ ） 当图中出现圆的直径时，一般方法是作出 直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆 周角等于 ”构造出直角三角形，为进一步利 用勾股定理或锐角三角函数提供了条件. 90 方法总结 9. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O， 四边形EFGH是正方形． ⑴求正方形EFGH的面积； 解：∵正六边形的边长与其半径相等， ∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF=5， ∴正方形EFGH的面积是25. 针对训练 解：∵正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE=600. ∴正方形的内角是900， ∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500. 由⑴得OF=FG， ∴∠OGF= （1800-∠OFG） = （1800-1500）=150. 1 2 1 2 ⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数． 与圆有关的作图 · a b c d a 如何解决“破镜重圆”的问题： O· 考点5 例8 如何作圆内接正五边形怎么作？ ·O E72°B A DC （1）用量角器作72°的中心角， 得圆的五等分点； （2）依次连接各等分点，得圆 的内接正五边形. 例9 圆的综合 解析：连结BD，则在Rt△BCD 中，BE＝DE，利用角的互余 证明∠C＝∠EDC. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为 直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E. （1）求证：BC=2DE. 考点6 例10 解：（1）证明：连结BD， ∵AB为直径，∠ABC=90°， ∴BE切☉O于点B. 又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE， ∴∠EBD=∠EDB. ∵∠ADB=90°， ∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠C=∠CDE，DE=CE. ∴BC=BE+CE=2DE. 解：∵DE=2，∴BC=2DE=4. 在Rt△ABC中，tan ,ABC BC  ∴AB=BC• =5 2 2 5 在Rt△ABC中， 2 2 2 2(2 5) 4 6.    AC AB BC 又∵△ABD∽△ACB， = ,AD AB AB AC ∴ 即 D 2 5= ,62 5 A 10= .3AD∴ （2）若tanC= ,DE=2，求AD的长.5 2 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径 的☉O交AC于点D，连接BD. 针对训练 解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°. ∵AD=3，BD=4，∴AB=5. ∵∠CDB=∠ABC， ∠A=∠A， ∴△ADB∽△ABC， ∵ 即 ∴BC== ,AD DB AB BC 3 4= ,5 BC 20.3 （1）若AD=3，BD=4，求边BC的长. 又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠D=90°， ∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE. ∵AB是直径，∴∠ADB=90°， ∴∠BDC=90°， 即∠BDE+∠CDE=90°. ∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°. ∴ED与☉O相切. 证明：连结OD，在Rt△BDC中， ∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE. 又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD. （2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切. 圆 圆 的 性 质 与圆有关的 位置关系 弧长与扇形面积的计算 圆的对称性 圆是中心对称图形 垂径定理 四边形的内接圆、三角形的外接圆 直线与圆的位 置的关系 切线长定理 圆 的 概 念 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系 圆是轴对称图形，任意一条直 径所在直线都是它的对称轴 切线 三角形的内切圆 正多边形与圆 作图