北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明PPT

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第七章 平行线的证明 1 为什么要证明 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展推理意识. （重点） 2 . 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等. （难点） 新课导入 以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结 论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受 几个！ (1) 图 1 中两条线段 a , b 的长度相等吗？图 2 中的四边形是正方 形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论 . 图 1 图 2 (2) 如图 3, 把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长 l m 的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间 的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想、 象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一 致，并与同伴进行交流 . 图 3 新课导入 新课讲解 知识点 1 证明的必要性 议一议 许多猜想的结论，数学上的一些结论以及数学之外的其他事实，应当追其缘由，推理证明是非常必要的吗？ (1) 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明． (2) 没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏着错误 . (3) 对一个结论要肯定其是正确的，必须通过一步一步推理， 论证才能下结论． 新课讲解 结论 (1) 直觉有时会产生错误，不是永远可信的； (2) 图形的性质并不都是通过测量得出的； (3) 对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论， 并不能保证一般情况下都成立； (4) 只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本 质． 新课讲解 例 典例分析 1. 一个两位数，它的十位数字为 a ，个位数字为 b ，若把它的 十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两 个数的和能被 11 整除吗？我们可验证一下：比如 23 ，把它 的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数 32 ，而 23 ＋ 32 ＝ 55 ，因此我们断定，这两个数的和能被 11 整除．问： 上述说法正确吗？ 解：上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确 性，可作如下推理：原两位数为 10 a ＋ b ，得到的新 两位数为 10 b ＋ a ， (10 a ＋ b ) ＋ (10 b ＋ a ) ＝ 11( a ＋ b ) ， 因为 11( a ＋ b ) 是 11 的整数倍，所以这两个数的 和能被 11 整除． 新课讲解 做一做 新课讲解 知识点 2 检验数学结论的常用方法 (1) 代数式 n 2 － n +11 的值是质数吗？取 n =0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 试一试，你能否由此得到结论：对于所有自然数 n ， n 2 － n +11 的值都是质数？与同伴进行交流 . 新课讲解 (2) 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， 连接 DE ， DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？ 请你先猜一猜，再设法检验你的猜想 . 你能肯定你的 结论对所有的△ ABC 都成立吗？与同伴进行交流 . 　主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是 最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一 般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不 一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们 要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进 行严格的推理证明才能得出．检验数学结论的具体过程： 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论． 新课讲解 方法 检验数学结论常用的三种方法的应用： 实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举 出反例法多用于验证某结论是不是正确的；推理证明主 要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确 的，也可以验证某结论是不正确的． 新课讲解 应用 新课讲解 例 典例分析 2. 我们知道： 2×2 ＝ 4 ， 2 ＋ 2 ＝ 4. 试问：对于任意数 a 与 b ， 是否一定有结论 a × b ＝ a ＋ b ? 分析：通过举反例，找出使 a × b ＝ a ＋ b 不成立的 a ， b 的值，就可以得出答案． 解： 3×2 ＝ 6 ，而 3 ＋ 2 ＝ 5 ，因为 6≠5 ，所以不是对于任意数 a 与 b ，都有结论 a × b ＝ a ＋ b . 课堂小结 为什么要证明 证明的必要性 检验数学结论的常用方法 当堂小练 1. 观察图， (1) 中间的圆圈大还是 (2) 中间的圆圈大？ 解：一样大． 当堂小练 2. 下列推理正确的是 ( 　　 ) A ．若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c B ．若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ⊥ c C ．因为∠ AOB ＝∠ BOC ，所以两角是对顶角 D ．因为两角的和是 180° ，所以两角互为邻补角 A 当堂小练 3. 下列推理正确的是 ( 　　 ) A ．弟弟今年 13 岁，哥哥比弟弟大 6 岁，到了明年， 哥哥比弟弟只大 5 岁了，因为弟弟明年比今年长 大了 1 岁 B ．如果 a > b ， b > c ，那么 a > c C ．∠ A 与∠ B 相等，原因是它们看起来大小差不多 D ．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对 顶角 B 拓展与延伸 1. 要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观 察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有 据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的 证据． 2. 证明的常用方法：验证法、举反例、推理论证 等． 第七章 平行线的证明 2 定义与命题 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义. （重点） 2 . 会区分命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法，通过实例感受证明的过程. （重点、难点） 新课导入 请阅读以下几句话： （ 1 ）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 . （ 2 ）无限不循环小数称为无理数 . （ 3 ）今天要下雨 . （ 4 ）我们要充满梦想，执着地飞翔 . 新课讲解 知识点 1 定义的概念 概念 1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定， 也就是给出它们的定义． 2. 定义是证明的重要依据，它既可以作为性质应用， 又可以作为判定方法应用． 新课讲解 例 典例分析 1. 下列语句属于定义的是 ( 　　 ) A ．两点确定一条直线 B ．两直线平行，同位角相等 C ．等角的补角相等 D ．三条边都相等的三角形叫做等边三边形 D 议一议 新课讲解 知识点 2 命题的概念 下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？ 与同伴进行交流 . （ 1 ）任何一个三角形一定有一个角是直角； （ 2 ）对顶角相等； （ 3 ）无论 n 为怎样的自然数，式子 n 2 － n +11 的值都是质数； （ 4 ）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行； （ 5 ）作线段 AB = CD . 定义 新课讲解 判断一件事情的句子，叫做命题． 新课讲解 例 典例分析 2. 下列语句： (1) 时间都去哪儿了？ (2) 画一条直线的平行线； (3) 长 方形的四个角都是直角； (4)4 不是偶数．其中命题共有 ( 　　 ) 个． A ． 1 　　　 B ． 2 　　　 C ． 3 　　　 D ． 4 分析：紧扣命题的定义进行判断： (1) 是一个疑问句，没有 作出判断，所以不是命题； (2) 没有包含判断的意思， 所以不是命题； (3) 对一件事情作出了肯定的判断， 所以是命题； (4) 对事情作出了否定的判断，所以是 命题 . B 新课讲解 知识点 3 命题的构成 命题由 条件和结论 两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项． 定义 呈现方法：命题通常可以写成“如果 …… 那么 ……” 的 形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出 的部分是结论． 新课讲解 知识点 4 真命题、假命题、反例的概念 做一做 指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错 误的？你是如何判断的？与同伴进行交流. （ 1 ）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （ 2 ）如果 a ≠ b ， b ≠ c , 那么 a ≠ c ； （ 3 ）全等三角形的面积相等； （ 4 ）如果室外气温低于 0 ° c , 那么地面上的水一定会结 冰 . 1. 正确的命题称为 真命题 ，不正确的命题称为 假命题 . 2. 要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子， 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种 例子称为 反例 . 新课讲解 新课讲解 例 典例分析 3. 指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题 还是假命题． (1) 互为补角的两个角相等； (2) 若 a ＝ b ，则 a ＋ c ＝ b ＋ c ； (3) 如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等． 新课讲解 解： (1) 条件：两个角互为补角；结论：这两个角相等 . 假命题． (2) 条件： a ＝ b ；结论： a ＋ c ＝ b ＋ c . 真命题． (3) 条件：两个长方形的周长相等；结论：这两个 长方形的面积相等．假命题． 新课讲解 知识点 5 公理、证明、定理 定义 公认的真命题为 公理 演绎推理的过程称为 证明 ，经过证明的真命题称为 定理 . 每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明. 定义、命题、基本事实 ( 公理 ) 、定理之间的区别与联系： (1) 联系：这四者都是命题． (2) 区别：定义、基本事实、定理都是真命题， 都可以作为进一步判断其他命题真假的依据， 只不过基本事实是最原始的依据；而命题不 一定是真命题，因而不 能作为进一步判断其 他命题真假的依据 . 新课讲解 新课讲解 例 典例分析 4. 已知：如图 , 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O , ∠ AOC 与 ∠ BOD 是对顶角 . 求证： ∠ AOC = ∠ BOD . 证明：∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O , ∴ ∠ AOB 和 ∠ COD 都是平角 ( 平角的定义 ). ∴ ∠ AOC 和 ∠ BOD 都是 ∠ AOD 的补角 ( 补角的定义 ). ∴ ∠ AOC = ∠ BOD ( 同角的补角相等 ). 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 : 对顶角相等 . 课堂小结 定理与命题 定义 定理 真假命题 公理 证明 当堂小练 1. 下列语句属于定义的有 ( 　　 ) ① 含有未知数的等式称为方程； ②等式 ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 称为两数和的完全平方公式； ③如果 a ， b 为实数，那么 ( a － b ) 2 ＝ a 2 － 2 ab ＋ b 2 ； ④三角形内角和等于 180°. A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 B 当堂小练 2. 下列说法错误的是 ( 　　 ) A ．命题是判断一件事情的句子 B ．基本事实的正确性必须得到证明 C ．证明假命题举一个反例即可 D ．推理的过程叫做证明 B 3. 在每一步推理后面 的括号内填上理由． 证明： (1) 如图①，因为 AB ∥ CD ， EF ∥ CD ，所以 AB ∥ EF (________________________________) ． (2) 如图②，因为 AB ∥ CD ，过点 F 画 EF ∥ AB ( _ ___________________________________________) ， 所以 EF ∥ CD (______________________________) ． 平行于同一条直线的两直线平行 平行于同一条直线的两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 当堂小练 拓展与延伸 古希腊数学家欧几里得 (Eyclid, 公元前 300 前后 ). 公理 : 公认的真命题称为公理 . 原名 : 某些数学名词称为原名 . 证明 : 除了公理外 , 其它真命题的正确性都通过推理的方法证实 . 推理的过程称为证明 . 定理 : 经过证明的真命题称为定理 . 第七章 平行线的证明 3 平行线的判定 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 初步了解证明的基本步骤和书写格式. （重点） 2 . 会根据基本事实 “ 同位角相等，两直线平行 ” 来证明 “ 内错角相等，两直线平行 ” . （重点） 3. 在证明过程，发展初步的演绎推理能力 . （重点） 新课导入 1 、什么是平行线？ 2 、判定两条直线平行的基本事实是什么？ 新课讲解 知识点 1 与平行线有关的基本事实 1. 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位 角相等，那么这两条直线平行． 简述： 同位角相等，两直线平行． 2. 平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据． 3. 表达方式： 如图：因为∠ 1 ＝∠ 2( 已知 ) ， 所以 a ∥ b ( 同位角相等，两直线平行 ). 新课讲解 例 典例分析 1. 如图 ，若∠ 1 ＝∠ 2 ，能否确定 l 1 ∥ l 2 ？为什么？能否确定 l 3 ∥ l 4 ？为什么？ 分析：利用平行线的判定公理来判定两直线平行的关键是弄清同 位角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的． 解：能确定 l 1 ∥ l 2 ，理由：同位角相等，两直线平行．不能确定 l 3 ∥ l 4 ，因为∠ 1 和∠ 2 不是直线 l 3 ， l 4 被第三条直线所截形 成的同位角． 新课讲解 新课讲解 知识点 2 平行线的判定定理 1 证明 已知：如图, ∠ 1 和 ∠ 2 是直线 a ， b 被直线 c 截出的内错角， 且∠ 1=∠2. 求证： a // b . 证明：∵ ∠1=∠2 （已知）， ∠1=∠3 （对顶角相等）， ∴∠3=∠2 （等量代换） . ∴ a // b （同位角相等，两直线平行） . 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述： 内错角相等，两直线平行. 判定定理 1 新课讲解 新课讲解 知识点 3 平行线的判定定理 2 小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ （ 1 ）已知：如图，∠ 1 和∠ 2 是直线 a , b 被直线 c 截出的同旁内角， 且∠ 1 与∠ 2 互补 . 求证： a // b . 证明 新课讲解 证明：∵∠ 1 与∠ 2 互补（已知）， ∴ ∠ 1+ ∠ 2=180° （互补的定义） . ∴ ∠ 1=180°- ∠ 2 （等式的性质） . ∵ ∠ 3+ ∠ 2=180° （平角的定义）， ∴ ∠ 3=180°- ∠ 2 （等式的性质） . ∴ ∠ 1= ∠ 3 （等量代换） . ∴ a // b （同位角相等，两直线平行） . 新课讲解 新课讲解 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互 补，那么这两条直线平行.简述为： 同旁内角互补，两直线平行. 判定定理 2 新课讲解 例 典例分析 2. 如图 ，已知∠ ADE ＝ 60° ， DF 平分∠ ADE ，∠ 1 ＝ 30° ，试说明： DF ∥ BE . 分析：要想说明 DF ∥ BE ，可通过说明∠ 1 ＝∠ EDF 来实现，由于∠ 1 ＝ 30° ，所以只需求出 ∠ EDF ＝ 30° ，而这个结论可通过 DF 是 ∠ ADE 的平分线来得到． 新课讲解 解：因为 DF 平分∠ ADE ( 已知 ) ， 所以∠ EDF ＝ 又因为∠ ADE ＝ 60° ， 所以∠ EDF ＝ 30°. 又因为∠ 1 ＝ 30°( 已知 ) ， 所以∠ EDF ＝∠ 1 ， 所以 DF ∥ EB ( 内错角相等，两直线平行 ) ． 课堂小结 平行线的判定 两同位角相等，两直线的平行 同旁内角互补，两直线平行 内错角相等，两直线平行 当堂小练 1. 如图，给出下面的推理，其中正确的是 ( 　　 ) ① 因为∠ B ＝∠ BEF ，所以 AB ∥ EF ； ②因为∠ B ＝∠ CDE ，所以 AB ∥ CD ； ③因为∠ B ＋∠ BEC ＝ 180° ，所以 AB ∥ EF ； ④因为 AB ∥ CD ， CD ∥ EF ，所以 AB ∥ EF . A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ B 当堂小练 2. 如图，下列条件中，不能判定 AB ∥ CD 的是 ( 　　 ) A ． AB ∥ EF ， CD ∥ EF 　 B ．∠ 1 ＝∠ A C ．∠ ABC ＋∠ BCD ＝ 180° 　 D ．∠ 3 ＝∠ 2 D 当堂小练 3. 证明：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 1 2 3 a b c 已知：∠ 1 和∠ 2 是直线 a 、 b 被直线 c 截出的内错角，且∠ 1=∠2 ． 求证： a ∥ b 当堂小练 1 2 3 a b c 证明：∵∠ 1=∠2 （已知）， ∠ 1+∠3=180° （平角定义） ∴∠ 2+∠3=180° （等量代换） ∴∠ 2 与∠ 3 互补（互补的定义） ∴ a ∥ b （同旁内角互补，两直线平行） 拓展与延伸 蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个 四边形的形状如图所示，其中∠ α=109°28′, ∠ β=70 °32′, 试确定这三个四边形的形状。 第七章 平行线的证明 4 平行线的性质 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 掌握平行线的性质定理，会证明 “ 两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补） ” ；了解平行于同一条直线的两条直线平行. （重点、难点） 2 . 了解性质定理与判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程. （重点） 3. 进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力 . （重点） 新课导入 1 、什么叫做平行线？ 2 、平行线的判定方法有哪些？ 新课讲解 知识点 1 平行线的性质定理 性质 1 ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等． 简称：两直线平行，同位角相等． 表达方式：如图，因为 a ∥ b ， ( 已知 ) 所以∠ 1 ＝∠ 2.( 两直线平行，同位角相等 ) 性质 2 ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 简称：两直线平行，内错角相等． 表达方式：如图，因为 a ∥ b ( 已知 ) ，所以∠ 1 ＝∠ 2 ( 两直线平行，内错角相等 ) . 新课讲解 定理：两直线平行，同旁内角互补 . 性质 3 ：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简称：两直线平行，同旁内角互补． 表达方式：如图，因为 a ∥ b ( 已知 ) ，所以∠ 1+ ∠ 2=180°( 两直线平行，同旁内角互补 ) . 新课讲解 新课讲解 知识点 2 平行线的性质（判定）定理 4 定理 平行于同一条直线的两条直线平行 . 新课讲解 1. 已知：如图， b // a ， c // a ， ∠1 ， ∠2 ，∠ 3 是直线 a ， b ， c 被直线 d 截出的同位角 . 求证： b // c . 例 典例分析 新课讲解 证明：∵ b // a ( 已知）， ∴ ∠2=∠1( 两直线平行，同位角相等） . ∵ c // a （已知） , ∴∠3=∠1 （两直线平行，同位角相等） . ∴∠2 = ∠ 3 （等量代换） . ∴ b // c （同位角相等，两直线平行） . 新课讲解 知识点 3 证明的一般步骤 （ 1 ）根据题意画出图形； （ 2 ）根据已知条件、结论结合图形写出已知、求证； （ 3 ）根据已有的定义、基本事实和定理进行推理论证； （ 4 ）检查证明过程是否正确。 步骤 课堂小结 平行线的判定 → ← 互逆 平行线的判定 两同位角相等，两直线的平行 同旁内角互补，两直线平行 内错角相等，两直线平行 当堂小练 1. 如图，已知 AB ∥ DE ，∠ ABC ＝ 70° ， ∠ CDE ＝ 140° ，则∠ BCD 为 ( 　　 ) A ． 20° B ． 30° C ． 40° D ． 70° 2. 如图， AB ∥ EF ， CD ⊥ EF ，∠ BAC ＝ 50° ， 则∠ ACD ＝ ( 　　 ) A ． 120° B ． 130° C ． 140° D ． 150° B C 当堂小练 3. 如图，已知∠ ABC 与∠ ECB 互补，∠ 1 ＝∠ 2 ，则∠ P 与∠ Q 一定相等吗？说说你的理由 ． 分析：如果∠ P 和∠ Q 相等，那么 PB ∥ CQ ， 所以要判断∠ P 与∠ Q 是否相等，只需判断 PB 和 CQ 是否平行．要说明 PB ∥ CQ ，可以 通过说明∠ PBC ＝∠ BCQ 来实现，由于 ∠ 1 ＝∠ 2 ，只需说明∠ ABC ＝∠ BCD 即可． 当堂小练 解：∠ P ＝∠ Q . 理由：∵∠ ABC 与∠ ECB 互补 ( 已知 ) ， ∴ AB ∥ ED ( 同旁内角互补，两直线平行 ) ． ∴∠ ABC ＝∠ BCD ( 两直线平行，内错角相等 ) ． ∵∠ 1 ＝∠ 2( 已知 ) ， ∴∠ ABC －∠ 1 ＝∠ BCD －∠ 2( 等式的性质 ) ， 即∠ PBC ＝∠ BCQ . ∴ PB ∥ CQ ( 内错角相等，两直线平行 ) ． ∴∠ P ＝∠ Q ( 两直线平行，内错角相等 ) ． 拓展与延伸 一个数学问题的构成含有四个要素：题目的 条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论， 如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结 论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就 是封闭性的数学问题． 第七章 平行线的证明 课时1 三角形的内角和 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 证明三角形内角和定理，并能运用这些定理解决简单问题。 （重点） 新课导入 我们知道，三角形内角和等于 180°. 你还记得这个结论的探索过程吗？ （ 1 ）如图，如果我们只把∠ A 移到∠ 1 的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠ A ，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？ （ 2 ）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进 行交流 . 新课讲解 知识点 1 三角形内角和定理 已知：如图，△ ABC . 求证： ∠ A +∠ B +∠ C =180°. 图 1 合作探究 新课讲解 分析：延长 BC 到 D ，过点 C 作射线 CE // BA ( 图 2) ，这样 就相当于把 ∠ A 移到了 ∠1 的位置，把 ∠ B 移了 ∠2 的位置 . 图 2 这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线. 新课讲解 证明：延长 BC 到 D ，过点 C 作射线 CE // BA ，则 ∠ 1= ∠ A （两直线平行，内错角相等）， ∠2=∠ B （两直线平行，同位角相等） . ∵ ∠ l+ ∠ 2+ ∠ ACB =180° （平角的定义）， ∴∠ A +∠ B +∠ ACB =180° （等量代换） . 三角形的内角和等于 180°. 结论 课堂小结 三角形内角和 三角形内角和定理 三角形内角和 定理 的证明 当堂小练 1. 在 △ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 1∶2∶3 ，试判断△ ABC 的形状，并说明理由． 解： △ ABC 直角三角形，理由：∵∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 1∶2∶3 ， ∴可设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 x ° ， 2 x ° ， 3 x °. 在△ ABC 中，∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝ 180° ， ∴ x ＋ 2 x ＋ 3 x ＝ 180 ，解得 x ＝ 30. ∴∠ A ＋∠ B ＝ x ° ＋ 2 x ° ＝ 3 x ° ＝ 90°. ∴∠ C ＝ 180° － 90° ＝ 90°. ∴△ ABC 是直角三角形． 当堂小练 2. 如图， AB ∥ CD ， AE 交 CD 于点 C ， ∠ A ＝ 34° ，∠ DEC ＝ 90° ，则∠ D 的度数为 ( 　　 ) A ． 17° B ． 34° C ． 56° D ． 124° C 拓展与延伸 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若 ∠ 3 ＝ 50° ，则∠ 1 ＋∠ 2 ＝ ( 　　 ) A ． 90° B ． 100° C ． 130° D ． 180° B 第七章 平行线的证明 课时2 三角形的外角 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 学习目标 1 . 证明三角形内角和定理，掌握它的两个推论，并能运用这些定理解决简单问题。 （重点） 新课导入 三角形的内角和定理是什么？ 新课讲解 知识点 1 三角形的外角 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角．如图中的∠ ACD 的一条边是△ ABC 的边 AC ，另一条边是△ ABC 的边 BC 的延长线． 概念 新课讲解 例 典例分析 1. 在 △ ABC 中， ∠ A 等于和它相邻的外角的四分 之一，这个外角等于 ∠ B 的两倍，那么 ∠ A ＝ ______ ， ∠ B ＝ ______ ， ∠ C ＝ _____. 分析： ∠ A 和与它相邻的外角互为邻补角， ∠ A 又等于和它相邻的外角的四分之一，所以 ∠ A ＝ 36° ， ∠ A 的外角为 144 ° ，所以 ∠ B ＝ 72° ，根据三角 形内角和为 180° ，可以求得 ∠ C ＝ 72°. 　 　 36° 72° 72° 新课讲解 知识点 2 三角形内角和定理的推论 推论 1. 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 新课讲解 例 典例分析 2. 已知：如图，在△ ABC 中，∠ B =∠ C ， AD 平分外角∠ EAC . 求证： AD // BC . 分析：要证明 AD // BC ， 只需证明“同位角相等” 或“内错角相等”或 “同旁内角互补” . 新课讲解 证明：∵∠ EAC =∠ B +∠ C （三角形的一个外 角等于和它不相邻的两个内角的和 ）， ∠ B =∠ C （已知）， ∴∠ C = ∵ AD 平分∠ EAC （已知）， ∴∠ DAC = ∴∠ DAC =∠ C （等量代换） . ∴ AD // BC （内错角相等，两直线平行） . 新课讲解 知识点 3 证明的一般步骤 （ 1 ）根据题意画出图形； （ 2 ）根据已知条件、结论结合图形写出已知、求证； （ 3 ）根据已有的定义、基本事实和定理进行推理论证； （ 4 ）检查证明过程是否正确。 步骤 课堂小结 平行线的判定 → ← 互逆 平行线的判定 两同位角相等，两直线的平行 同旁内角互补，两直线平行 内错角相等，两直线平行 当堂小练 1. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝ 40° ，∠ C ＝ 30° ，延长 BA 至点 D ，则∠ CAD 的大小为 ( 　　 ) A ． 110° B ． 80° C ． 70° D ． 60° 2. 如图，△ ABC 中，∠ A ＝ 40° ，点 D 为 AB 延长线 上一点，且∠ CBD ＝ 120° ，则∠ C 等于 ( 　　 ) A ． 40° B ． 60° C ． 80° D ． 100° C C 当堂小练 3. 三角形的外角和等于 360°. 已知：∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 为△ ABC 的三个外角，如图． 求证：∠ 1+∠2+∠3=360° ． 证明： ∵∠ 1+∠ BAC =180° ，∠ 2+∠ BCA =180° ，∠ 3+∠ ABC =180° ， ∴∠ 1+∠2+∠3+ （∠ BAC +∠ BCA +∠ ABC ） =540 （等式性质） . ∵∠ BAC +∠ BCA +∠ ABC =180° （三角形内角和定理）， ∴∠ 1+∠2+∠3=360°. 拓展与延伸 如图 ，△ CEF 的外角为 ________________ ． 分析：图中△ CEF 的三边的延长线只有 EF 的延长线 FA ， CE 的延长线 EB ，延长线 FA 与边 CF 构成的角为∠ AFC ； 延长线 EB 与边 EF 构成的角为∠ BEF . 由三角形外角的 概念可以判断∠ AFC ，∠ BEF 是△ CEF 的外角． ∠ AFC ，∠ BEF