宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考数学（理）试题 Word版含解析

宁夏吴忠市2020届高三下学期高考模拟联考数学（理）试题 Word版含解析

吴忠市2020届高考模拟联考试题 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答業标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合,再求得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的并集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.已知，其中是虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法运算计算得到，根据模长定义可求得结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数除法运算计算得到复数，属于基础题.‎ ‎3.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数和对数函数的单调性可确定临界值，从而比较出大小.‎ ‎【详解】，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查比较指数和对数的大小关系的问题，关键是熟练应用指数函数和对数函数的单调性确定临界值，属于基础题.‎ ‎4.已知向量，且与夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出，根据夹角的范围知 - 25 -‎ ‎，由此构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，，‎ ‎，‎ 设与夹角为，则，‎ ‎，，即，‎ ‎，解得：且，即的取值范围为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查根据向量夹角的范围求解参数范围的问题，关键是熟练应用向量的坐标运算和向量夹角公式；注意本题两个向量所成角的范围为锐角.‎ ‎5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列和总赔偿数，可构造方程分别求得羊主人和牛主人赔偿的斗数，进而得到结果.‎ ‎【详解】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为，设羊主人赔偿粟，‎ - 25 -‎ 则，解得：；‎ 羊主人赔偿粟，牛主人赔偿粟，牛主人比羊主人多赔偿粟.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的实际应用，属于基础题.‎ ‎6.以双曲线的一个焦点为圆心，为半径的圆与的渐近线相切，则的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以为圆心，以为半径的圆与渐近线相切可得，整理化简即可得结果．‎ ‎【详解】由已知双曲线的渐近线为，选取其中一条计算，即，‎ 由点到渐近线的距离得，‎ 故有，解得 ‎ 即离心率，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，关键是要找到之间的等量关系，是基础题.‎ ‎7.已知直线a、b，平面、，且，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. ‎ - 25 -‎ 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行、线面垂直和面面垂直的性质和判定定理，结合充分必要条件的定义，即可得出结论.‎ ‎【详解】若，如果，则不成立；‎ 若，过做一平面，且，‎ 则.‎ 所以当时，是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及到空间线、面位置关系，熟记有关判定和性质定理是解题的关键，属于基础题.‎ ‎8.2021年俱乐部世界杯(简称“世俱杯”)在中国上海､天津､广州､武汉､沈阳､济南､杭州､大连八个城市举行，我市将派9名小记者前往采访，每个举办城市至少安排一名记者，则不同的安排种数共有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将派9名小记者分配到八个城市，每个举办城市至少安排一名记者，从9人中选出2人作为一组，在将8个元素全排列，即可求得答案．‎ ‎【详解】将9名小记者分配到八个城市，每个城市至少安排一名记者 - 25 -‎ 第一步：从9人中选出2人作为一组，选法有：，则现在有8个元素 第二步：将8个元素全排列，排法有：‎ 不同的安排种数：‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用，解题关键是掌握分步计数原理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎9.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，且的图像关于点对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，根据题意得，，可得选项.‎ ‎【详解】由题得，‎ 因为的图象关于点对称，所以，，所以，‎ 因为，所以=.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.‎ ‎10.已知数列的前n项和为，满足，且数列的前6项和等于321，则m的值等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 根据已知，时，求出，由，得出数列的递推关系，进而求出的通项公式，结合已知建立的方程，求解即可.‎ ‎【详解】依题意，当时，，‎ 当，，‎ 若，则数列的前6项和等于，不合题意，‎ ‎，所以数列是以为首项，‎ 公比为的等比数列，，‎ 数列的前6项和为 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系，注意对参数的的分类讨论，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎11.已知直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，则为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线方程与抛物线方程联立，根据根与系数关系，得到两点纵坐标关系，结合抛物线方程得出横坐标关系，进而求出，即可得出结论.‎ - 25 -‎ ‎【详解】直线与抛物线相交于A，B两点，‎ 所以，将直线方程化为，‎ 联立，消去，得，‎ ‎，设，‎ ‎，‎ 所以为钝角，故钝角三角形.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，并利用向量数量积的正负判断角的类型，要注意抛物线二级结论的总结，如直线过点与抛物线交于两点，则有，而直线过定点是在的左侧，则有为钝角，即刻得出结论，提高解题效率，属于中档题.‎ ‎12.定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则和的图象所有交点横坐标之和等于（ ）‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，函数和的图象都关于直线对称，据此画出它们的图象即可求出答案．‎ ‎【详解】解：∵定义在上的偶函数满足，‎ ‎∴函数的图象关于直线和轴对称，‎ 而函数的图象也关于直线对称，‎ 当时，，‎ - 25 -‎ 先画出函数和在上的图象，再根据对称性得到上的图象如图，‎ 由图可知，函数和在上的图象共有2个交点，且关于直线对称，‎ ‎∴函数和的图象所有交点横坐标之和为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高．吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也日益减少．某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号（）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 盈利店铺的个数（y）‎ ‎260‎ ‎240‎ ‎215‎ ‎200‎ ‎180‎ 根据所给数据，得出y关于t的回归方程，估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归方程必过中心点，求出，再代入可求得答案.‎ ‎【详解】,,‎ - 25 -‎ 由，则，得，故，‎ 令，得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了回归方程相关知识，应用回归方程必过中心点求得回归方程是解决问题的关键.‎ ‎14.的展开式中，含项的系数为________（用数字作答）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ 的展开式的通项公式:,令, 解得.再利用的展开式的通项公式即可得出系数.‎ ‎【详解】解: 的展开式的通项公式: ,‎ 要求含项的系数,‎ 令,解得.‎ 的展开式中项的系数为：‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎15.已知函数，且，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，再根据，即可得到答案；‎ ‎【详解】，‎ - 25 -‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查对数运算法则和函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎16.如图，在边长等于2正方形中，点Q是中点，点M,N分别在线段上移动（M不与A,B重合，N不与C,D重合），且，沿着将四边形折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥体积的最大值为________；当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明是三棱锥的高，设得到，再利用二次函数求最值得解；‎ ‎（2）如图，把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球.求出球的半径即得外接球的表面积.‎ ‎【详解】（1）如图，‎ - 25 -‎ 因为二面角为直二面角，平面平面,‎ 所以平面,‎ 所以是三棱锥的高.‎ 设，‎ 所以三棱锥体积，‎ 所以当时，‎ ‎（2）如图，把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球. 点为外接球的球心，为外接球的半径.‎ 由题得,,‎ 底面等腰直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半，即.‎ 所以.‎ 所以外接球的表面积为.‎ - 25 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体体积的计算和最值的求法，考查几何体外接球的变面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.已知在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若点M为边边上一点，且，求的面积．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由条件有，利用正弦定理和二倍角公式可得，进而得到，从而得到答案. (2)根据条件可得为等腰直角三角形，则由，可求出，在直角中,可求出，从而可得三角形面积.‎ ‎【详解】（1）由有 由正弦定理有 在中, ,所以 在中, ,则，所以,则有 所以即 - 25 -‎ ‎（2）在中，,则 则为等腰直角三角形， 又，即,所以 在直角中, ,,‎ 所以,所以 所以 ‎【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角转化，解直角三角形，求三角形的面积，属于中档题.‎ ‎18.已知四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一动点，点是的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，问是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）存在，点E为的中点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面平面，，可证得平面，而 在平面内，所以；‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解 ‎【详解】（1）证明：因平面平面，，‎ 平面平面， 在平面内，‎ 所以平面，‎ 因为 在平面内，所以；‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，所以，所以,‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以平面,所以,‎ 因为， ，所以,‎ 所以,,‎ 所以，‎ 如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设，则 因为为棱上一动点在上，所以设，‎ 所以，解得，‎ - 25 -‎ 所以，,‎ 设平面的法向量为，则,‎ 所以 得，令，则，‎ 所以 设平面的法向量为，则 所以，‎ 令，则，得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以当点E在的中点时，二面角的余弦值为 - 25 -‎ ‎【点睛】此题考查证明空间中的线线垂直，利用空间向量解决二面角问题，属于中档题.‎ ‎19.近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：‎ 甲 乙 ‎7‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎11‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎13‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？‎ ‎（2）为了综合评估本地电商的销售情况，从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两天的销售数据，其中销售额不低于120万元的天数分别记为，令，求随机变量Y的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】甲电商对这种产品的销售谁更稳定. (2) 分布列见解析，数学期望为.‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先分别求出甲、乙电商连续十天的销售额的平均数，再求出其方差，从而作出判断. （2）根据意义甲电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有5天，乙电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有6天. 的所有可能取值为0,1,2，的所有可能取值为0,1,2，由，所以随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，4,然后分别求出概率得出分布列求出期望.‎ ‎【详解】（1） 设甲、乙电商连续十天的销售额的平均数分别为，方差分别为 ‎(万元)‎ ‎(万元)‎ 由，所以甲电商对这种产品的销售谁更稳定.‎ ‎(2)由题意的所有可能取值为0,1,2，的所有可能取值为0,1,2，‎ 由，所以随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，4‎ 其中甲电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有5天.‎ 乙电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有6天.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 25 -‎ 则随机变量Y的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 则随机变量Y的数学期望为 ‎【点睛】本题考查利用方差判断稳定性，考查随机变量的分布列和数学期望，弄清随机变量的取值和对应的概率是解题的关键，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，过定点的直线l与椭圆E相交于A，B两点，C为椭圆的左顶点，当直线l过点时，（O为坐标原点）的面积为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求证：当直线l不过C点时，为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）为定值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得，设，，由，得代入椭圆方程可得，进而可得椭圆的方程；‎ ‎（2）根据题意，设，，直线的方程为，联立方程，经计算可得，即可得到为定值.‎ - 25 -‎ ‎【详解】（1）由题意，设，，直线的方程为，‎ 由，即，‎ 将点代入中，得，故，‎ 又点在椭圆上，解得，‎ 因椭圆的离心率，故，，‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意，设直线的方程为，设，，‎ 联立，消去得，‎ 所以，，‎ 当直线不过时，直线的斜率，直线的斜率，‎ 所以，‎ 即直线与直线垂直，故为定值.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的判断与应用，考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了学生的化简运算能力，通过计算为解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论函数零点的个数；‎ ‎（2）若函数存在两个零点，证明：．‎ - 25 -‎ ‎【答案】（1）时，函数无零点.时，函数有1个零点. 时，函数有2个零点. （2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，得出函数的单调区间，根据的符号，函数零点的个数.‎ ‎（2）由（1）知两个零点，，，零点间关系是，变形为，引入变量，则，，，要证的不等式等价变形为，，即证，（），为此引入新函数，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．‎ ‎【详解】(1)有题意得 由得，得，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 时，取得极大值，也是最大值为，‎ 所以当，即时，函数无零点.‎ 当，即时，函数有1个零点.‎ 当，即时，‎ ‎，设，‎ 在恒成立，‎ 在单调递减，，‎ 所以，在，各有一个零点，‎ - 25 -‎ 函数有2个零点.‎ 综上所述：时，函数无零点.‎ 时，函数有1个零点.‎ 时，函数有2个零点.‎ ‎（2）由（1），即时，‎ 有两个零点，（），则，，‎ 由，得，‎ 令，则，，，‎ ‎，显然成立，‎ 要证，即证，‎ 只要证，即证，（），‎ 令，，‎ ‎，，‎ 令，则，，令，‎ ‎，，‎ 令，‎ ‎，时，是减函数，‎ 所以时，，‎ 所以是减函数，，即（），‎ - 25 -‎ 所以是减函数，，‎ 所以，在时是减函数，‎ ‎，即，‎ 所以在上是减函数，，‎ 所以，即，‎ 综上，成立．‎ ‎【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数证明有关函数零点的不等式，掌握导数与单调性的关系是解题基础．证明不等式关键在于转化与化归，如转化为研究函数的最值，研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论．在需要引入新函数时，应对不等式进行变形，使新函数越来越简单．属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.已知圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线l被圆C截得弦的长．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用消元法将参数方程化成普通方程，利用结合两角差的余弦公式，即可得到答案；‎ ‎（2）利用圆的弦长公式，即可得到答案；‎ - 25 -‎ ‎【详解】（1）（为参数），，‎ 圆C普通方程；‎ ‎，‎ 又代入上式得：.‎ 直线l的直角坐标方程.‎ ‎（2）圆的圆心坐标为，设圆心到直线的距离为，‎ ‎，‎ 弦长.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、圆的弦长公式，考查运算求解能力.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数．‎ ‎(1)若，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分绝对值中的正负去绝对值，将写成分段函数再求解即可.‎ ‎(2)根据(1)中的解析式求解的最小值，再根据恒成立问题的方法求解实数a的值范围即可.‎ - 25 -‎ ‎【详解】(1)由题，；当时，，解得；‎ 当时，恒成立，解得；‎ 当时，，解得.综上有.‎ 故实数x的取值范围为 ‎(2)因为，当时，；‎ 当时，；当时，.‎ 故的最小值为.‎ 故，即，解得.‎ 故实数a的值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，同时也考查了求函数的最值求解恒成立的问题，需要分区间去绝对值，写成分段函数再求解.属于中档题.‎ - 25 -‎