北京市西城区十五中学2020届高三下学期模拟（一）数学试题

北京市西城区十五中学2020届高三下学期模拟（一）数学试题

‎2020年高考模拟高考数学模拟试卷（一）‎ 一、选择题 ‎1．若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}‎ ‎2．已知a，b∈R，且a＞b，则（　　）‎ A． B．sina＞sinb ‎ C． D．a2＞b2‎ ‎3．已知直线x+y+2＝0与圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0没有公共点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，2）‎ ‎4．设是单位向量，是非零向量，则“⊥”是“•（+）＝‎1”‎的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．若m⊥α，m⊥n，则 n∥α B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n ‎ C．若n∥α，m⊥n，则m⊥α D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n ‎6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（　　）‎ A． B． C．6 D．‎ ‎7．数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a5＝b5，则（　　）‎ A．a3+a7＞b4+b6 B．a3+a7≥b4+b6 ‎ C．a3+a7＜b4+b6< D．a3+a7＝b4+b6‎ ‎8．A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比（与2017年6月比较）增长率如表：‎ A品牌车型 A1‎ A2‎ A3‎ 环比增长率 ‎﹣7.29%‎ ‎10.47%‎ ‎14.70%‎ B品牌车型 B1‎ B2‎ B3‎ 环比增长率 ‎﹣8.49%‎ ‎﹣28.06%‎ ‎13.25%‎ 根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论：‎ ‎①A1车型销量比B1车型销量多；‎ ‎②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；‎ ‎③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；‎ ‎④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎9．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为 （　　）‎ A． B．2π C．4π D．π ‎10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1‎ 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．‎ 表1田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 ‎100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分 跳高 以‎1.2米得60分为标准，每多‎0.02米加2分，每少‎0.02米扣2分 掷实心球 以‎11.5米得60分为标准，每多‎0.1米加5分，每少‎0.1米扣5分 表2某队模拟成绩明细 姓名 ‎100米跑（秒）‎ 跳高（米）‎ 掷实心球（米）‎ 甲 ‎13.3‎ ‎1.24‎ ‎11.8‎ 乙 ‎12.6‎ ‎1.3‎ ‎11.4‎ 丙 ‎12.9‎ ‎1.26‎ ‎11.7‎ 丁 ‎13.1‎ ‎1.22‎ ‎11.6‎ 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、填空题（共5小题）‎ ‎11．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝　 　．‎ ‎12．已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为　 　；若双曲线（a＞0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是　 　．‎ ‎13．已知展开式中x5的系数为21，则实数a的值为　 　．‎ ‎14．已知函数f（x）＝sinx若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最大值是　 　．‎ ‎15．已知函数其中a＞0，且a≠1．‎ ‎（i）当a＝2时，若f（x）＜f（2），则实数x的取值范围是　 　；‎ ‎（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎16．若△ABC的面积为，，且∠A为锐角．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎17．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV＝2，M，N分别为VA，VB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB∥平面CMN；‎ ‎（Ⅱ）求证：AB⊥VC；‎ ‎（Ⅲ）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．‎ ‎18．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：‎ 汽车型号 I II III IV V 回访客户（人数）‎ ‎250‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎700‎ ‎350‎ 满意率 ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．‎ 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．‎ ‎（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；‎ ‎（Ⅱ）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；‎ ‎（Ⅲ）用“η1＝‎1”‎，“η2＝‎1”‎，“η3＝‎1”‎，“η4＝‎1”‎，“η5＝‎1”‎分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1＝‎0”‎，“η2＝‎0”‎，“η3＝‎0”‎，“η4＝‎0”‎，“η5＝‎0”‎分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．写出方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系．‎ ‎19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+2ax．‎ ‎（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x＝2上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．‎ ‎21．设有限数列，定义集合M＝{ai+aj|1≤i＜j≤n}为数列A的伴随集合．‎ ‎（Ⅰ）已知有限数列P：﹣1，0，1，2和数列Q：1，3，9，27．分别写出P和Q的伴随集合；‎ ‎（Ⅱ）已知有限等比数列A：2，22，…，2n（n∈N*），求A的伴随集合M中各元素之和S；‎ ‎（Ⅲ）已知有限等差数列A：a1，a2，…，a2019，判断是否能同时属于A的伴随集合M，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（ ）‎ A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}‎ 解：A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x＜﹣1，或x＞1}；‎ ‎∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．‎ 故选：A．‎ ‎2．已知a，b∈R，且a＞b，则（ ）‎ A． B．sina＞sinb ‎ C． D．a2＞b2‎ 解：设，由指数函数的性质知，函数为R上的减函数，‎ 又a＞b，故．‎ 故选：C．‎ ‎3．已知直线x+y+2＝0与圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，2）‎ 解：依题意可知，直线与圆相离．‎ 圆x2+y2+2x﹣2y+a＝0即为（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣a．‎ 由＞＞0，解得0＜a＜2．‎ ‎∴实数a的取值范围为（0，2）．‎ 故选：C．‎ ‎4．设是单位向量，是非零向量，则“⊥”是“•（+）＝‎1”‎的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：是单位向量，是非零向量，则•（+）＝1⇔2+＝1⇔＝0⇔⊥，‎ 故“⊥”是“•（+）＝‎1”‎的充分必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎5．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．若m⊥α，m⊥n，则 n∥α B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n ‎ C．若n∥α，m⊥n，则m⊥α D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 解：对于A，垂直于同一直线的直线和平面可能平行，也有可能是n⊂α，所以A错误；‎ 对于B，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故B正确．‎ 对于C，若n∥α，m⊥n，则m⊥α或m∥n，故C错误；‎ 对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或异面，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C．6 D．‎ 解：由三视图可得，该几何体为三棱锥，直观图为侧棱垂直于底面，侧棱长为4，底面为底边长，为4，高为4的等腰三角形，‎ ‎∴多面体的最长的棱长为＝6．‎ 故选：C．‎ ‎7．数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a5＝b5，则（ ）‎ A．a3+a7＞b4+b6 B．a3+a7≥b4+b6 ‎ C．a3+a7＜b4+b6< D．a3+a7＝b4+b6‎ 解：数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，‎ 由a3+a7＝‎2a5＝2b5，‎ b4+b6≥2＝2b5，‎ a3+a7≤b4+b6，‎ 由于q＞1可得a3+a7＜b4+b6，‎ 故选：C．‎ ‎8．A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比（与2017年6月比较）增长率如表：‎ A品牌车型 A1‎ A2‎ A3‎ 环比增长率 ‎﹣7.29%‎ ‎10.47%‎ ‎14.70%‎ ‎ ‎ B品牌车型 B1‎ B2‎ B3‎ 环比增长率 ‎﹣8.49%‎ ‎﹣28.06%‎ ‎13.25%‎ 根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论：‎ ‎①A1车型销量比B1车型销量多；‎ ‎②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；‎ ‎③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；‎ ‎④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率．‎ 其中正确结论的个数是（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ 解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：‎ 对于①，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误；‎ 对于②，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%，‎ 所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，②错误；‎ 对于③，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%，‎ 所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确；‎ 对于④，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率，‎ 也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，④正确；‎ 综上所述，其中正确的结论序号是③④．‎ 故选：B．‎ ‎9．设函数f（x）＝sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为 （ ）‎ A． B．2π C．4π D．π 解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，‎ ‎∴﹣≤＝＝，即≤，∴0＜ω≤3．‎ ‎∵f（）＝f（）＝﹣f（），‎ ‎∴x＝＝，为f（x）＝sin（ωx+φ）的一条对称轴，‎ 且（，0）即（，0）为f（x）＝sin（ωx+φ）的一个对称中心，‎ ‎∴＝•＝﹣＝，解得ω＝2∈（0，3]，∴T＝＝π，‎ 故选：D．‎ ‎10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1‎ 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．‎ 表1田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 ‎100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分 跳高 以‎1.2米得60分为标准，每多‎0.02米加2分，每少‎0.02米扣2分 掷实心球 以‎11.5米得60分为标准，每多‎0.1米加5分，每少‎0.1米扣5分 表2某队模拟成绩明细 姓名 ‎100米跑（秒）‎ 跳高（米）‎ 掷实心球（米）‎ 甲 ‎13.3‎ ‎1.24‎ ‎11.8‎ 乙 ‎12.6‎ ‎1.3‎ ‎11.4‎ 丙 ‎12.9‎ ‎1.26‎ ‎11.7‎ 丁 ‎13.1‎ ‎1.22‎ ‎11.6‎ 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解：由题意知，四名运动员的各项得分成绩如下； ‎ 姓名 ‎100米跑（秒）‎ 跳高（米）‎ 掷实心球（米）‎ 合计 甲 ‎45‎ ‎64‎ ‎75‎ ‎184‎ 乙 ‎80‎ ‎70‎ ‎55‎ ‎205‎ 丙 ‎65‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎201‎ 丁 ‎55‎ ‎62‎ ‎65‎ ‎182‎ 由表中数据知，乙的综合得分最高，应选乙参加比赛．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎11．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝ ﹣1﹣i ．‎ 解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，‎ ‎∴．‎ 故答案为：﹣1﹣i．‎ ‎12．已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为 （2，0） ；若双曲线（a＞0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是 y＝±x ．‎ 解：点F为抛物线y2＝8x的焦点，2p＝8，即p＝4，‎ 由焦点坐标（，0），即有F（2，0），‎ 双曲线（a＞0）的一个焦点与点F（2，0）重合，‎ 可得a2+2＝4，可得a＝，‎ 即有双曲线的方程为x2﹣y2＝2，‎ 可得渐近线方程为y＝±x．‎ 故答案为：（2，0），y＝±x．‎ ‎13．已知展开式中x5的系数为21，则实数a的值为 ﹣3 ．‎ 解：展开式中的通项公式Tr+1＝＝（﹣a）rx7﹣2r，‎ 令7﹣2r＝5，解得r＝1．‎ ‎∴﹣a•＝21，解得a＝﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎14．已知函数f（x）＝sinx若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最大值是 ．‎ 解：由f（x）＝sinα，则f（α）∈（﹣，），存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0‎ 即f（β）＝k，k∈（，）有且仅有一个解，‎ 作函数图象y＝f（β）与直线x＝k，k∈（，），‎ 当两图象只有一个交点时，由图知，＜m，‎ 故实数m的最大值是，‎ 故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎15．已知函数其中a＞0，且a≠1．‎ ‎（i）当a＝2时，若f（x）＜f（2），则实数x的取值范围是 （﹣∞，2） ；‎ ‎（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是 （0，1）∪（1，2） ．‎ 解：（1）当a＝2时，f（x）＝，‎ 则f（2）＝22＝4，‎ ‎①当x＞1时，解不等式2x＜4，解得：1＜x＜2，‎ ‎②当x≤1时，解不等式x+1＜4，解得：x≤1，‎ 综合①②得：‎ 实数x的取值范围是：（﹣∞，2），‎ ‎（2）①当0＜a＜1时，由图一知，‎ 存在直线y＝m与y＝f（x）有两个交点，‎ 即0＜a＜1满足题意，‎ ‎②当a≥1时，由图二知，当a时，‎ 存在直线y＝m与y＝f（x）有两个交点，‎ 即a即1＜a＜2‎ 综合①②得：‎ 实数a的取值范围是为：0＜a＜1或1＜a＜2，‎ 故答案为：（﹣∞，2），（0，1）∪（1，2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎16．若△ABC的面积为，，且∠A为锐角．‎ ‎（Ⅰ）求cosA的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ 解：（Ⅰ）因为△ABC的面积为，，‎ 所以 ，‎ 所以．‎ 因为△ABC中，∠A为锐角，‎ 所以．…………‎ ‎（II）在△ABC中，由余弦定理，，‎ 所以．‎ 由正弦定理 ，‎ 所以．‎ 所以．……‎ ‎17．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV＝2，M，N分别为VA，VB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB∥平面CMN；‎ ‎（Ⅱ）求证：AB⊥VC；‎ ‎（Ⅲ）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）证明：∵M，N分别为VA，VB的中点，‎ ‎∴MN∥AB，‎ ‎∵AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，‎ ‎∴AB∥平面CMN．‎ ‎（Ⅱ）证明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，‎ AB＝BC，AC＝CV＝2，M，N分别为VA，VB的中点．‎ ‎∴AB⊥BC，VC⊥AC，‎ ‎∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴VC⊥平面ABC，‎ ‎∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥VC．‎ ‎（Ⅲ）解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，‎ V（，0，2），B（0，0，0），C（，0，0），N（，0，1），A（0，，0），M（，，1），‎ ‎＝（），＝（﹣，，1），＝（﹣，0，1），‎ 设平面CMN的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取x＝2，得＝（2，0，），‎ 设直线VB与平面CMN所成角为θ，‎ 则直线VB与平面CMN所成角的正弦值为：‎ sinθ＝＝＝．‎ ‎ ‎ ‎18．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：‎ 汽车型号 I II III IV V 回访客户（人数）‎ ‎250‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎700‎ ‎350‎ 满意率 ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ 满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．‎ 假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．‎ ‎（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；‎ ‎（Ⅱ）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；‎ ‎（Ⅲ）用“η1＝‎1”‎，“η2＝‎1”‎，“η3＝‎1”‎，“η4＝‎1”‎，“η5＝‎1”‎分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1＝‎0”‎，“η2＝‎0”‎，“η3＝‎0”‎，“η4＝‎0”‎，“η5＝‎0”‎分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．写出方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是250+100+200+700+350＝1600，‎ 满意的客户人数250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2＝555，‎ 故所求概率为． ……‎ ‎（Ⅱ）ξ＝0，1，2．‎ 设事件A为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，‎ 事件B为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件．‎ 根据题意，P（A）估计为0.5，P（B）估计为0.2．‎ 则，‎ ‎＝0.5×0.8+0.5×0.2＝0.5，‎ P（ξ＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.2＝0.1．‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.1‎ ξ的期望E（ξ）＝0×0.4+1×0.5+2×0.1＝0.7．……‎ ‎（Ⅲ）用“η1＝‎1”‎，“η2＝‎1”‎，“η3＝‎1”‎，“η4＝‎1”‎，“η5＝‎1”‎分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，‎ ‎“η1＝‎0”‎，“η2＝‎0”‎，“η3＝‎0”‎，“η4＝‎0”‎，“η5＝‎0”‎分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．‎ ‎∴方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系为：Dη1＞Dη3＞Dη2＝Dη4＞Dη5． ……‎ ‎19．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+2ax．‎ ‎（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．‎ 当a＝﹣1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x．‎ ‎∴，‎ f′（0）＝1，且f（1）＝﹣1．‎ 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝x﹣1，即x﹣y﹣2＝0．‎ ‎（ II）若f（x）≤x恒成立，即f（x）﹣x≤0恒成立．‎ 设g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣ax2+（‎2a﹣1）x．只要g（x）max≤0即可；‎ g′（x）＝＝﹣．‎ ‎①当a＝0时，令g′（x）＝0，得x＝1．‎ x，g′（x），g（x）变化情况如下表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ ‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ g（x） ‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以g（x）max＝g（1）＝﹣1＜0，故满足题意．‎ ‎②当a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝﹣（舍），或x＝1；‎ x，g′（x），g（x）变化情况如下表：‎ x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ ‎ g′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ g（x） ‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以g（x）max＝g（1）＝a﹣1≤0，得0＜a≤1．‎ ‎③当a＜0时，存在，满足g（2﹣）＝ln（2﹣）＞0，所以f（x）＜0不能恒成立，所以a＜0不满足题意．‎ 综上，实数a的取值范围为[0，1]．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x＝2上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．‎ 解：（Ⅰ）依题可知B（a，0），a＝2‎ 因为，‎ 所以c＝1，‎ 故椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．‎ 则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），‎ 直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0．‎ 设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝．‎ 所以x0＝，y0＝．‎ 因为点F坐标为（1，0），‎ ‎①当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，D的坐标为（2，±2）．‎ 此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．‎ ‎②当k≠±时，则直线PF的斜率kPF＝＝．‎ 所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），即．‎ 点E到直线PF的距离 又因为|BD|＝2R＝4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 证明如下：设点P（x0，y0），则 ‎①当x0＝1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，‎ D的坐标为（2，±2）．‎ 此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．‎ ‎②当x°≠1时直线AP的方程为，‎ 点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故 直线PF的斜率为，‎ 故直线PF的方程为，即，‎ 所以点E到直线PF的距离 故以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ 综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．‎ ‎21．设有限数列，定义集合M＝{ai+aj|1≤i＜j≤n}为数列A的伴随集合．‎ ‎（Ⅰ）已知有限数列P：﹣1，0，1，2和数列Q：1，3，9，27．分别写出P和Q的伴随集合；‎ ‎（Ⅱ）已知有限等比数列A：2，22，…，2n（n∈N*），求A的伴随集合M中各元素之和S；‎ ‎（Ⅲ）已知有限等差数列A：a1，a2，…，a2019，判断是否能同时属于A的伴随集合M，并说明理由．‎ 解：（Ⅰ）由数列A的伴随集合定义可得，‎ 数列P的伴随集合为{﹣1，0，1，2，3}，‎ 数列Q的伴随集合为{4，10，12，28，30，36}；‎ ‎（Ⅱ）先证明对任意i≠k或j≠l，则ai+aj≠ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）．‎ 假设ai+aj＝ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）．‎ 当i＝k且j≠l，因为ai+aj＝ak+al，则aj＝al，即2j＝‎2l，‎ 所以j＝l，与j≠l矛盾．‎ 同理，当i≠k且j＝l时，也不成立．‎ 当i≠k且j≠l时，不妨设i＜k，因为ai+aj＝ak+al，则2i+2j＝2k+‎2l，‎ 所以1+2j﹣i＝2k﹣i+‎2l﹣i，‎ 左边为奇数，右边为偶数，所以1+2j﹣i≠2k﹣i+‎2l﹣i，‎ 综上，对任意i≠k或j≠l，则ai+aj≠ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n）‎ 所以求集合M中各元素之和时，每个ai（1≤i≤n）均出现n﹣1次，‎ 所以S＝（n﹣1）（2+22+…+2n）＝；‎ ‎（Ⅲ）假设同时属于数列A的伴随集合M．‎ 设数列A的公差为d（d≠0），‎ 则即，‎ ‎②﹣①得，，‎ ‎③﹣①得，，‎ 两式相除得，，‎ 因为，‎ 所以（i2+j2）﹣（i1+j1）＝5000k，（i3+j3）﹣（i1+j1）＝21k（k∈Z，k≠0），‎ 所以|（i2+j2）﹣（i1+j1）|≥5000．‎ 又因为1≤i1，j1，i2，j2≤2019，‎ 所以（i2+j2）﹣（i1+j1）≤（2019+2018）﹣（2+1）＝4034，‎ ‎（i2+j2）﹣（i1+j1）≥（1+2）﹣（2018+2019）＝﹣4034，‎ 所以|（i2+j2）﹣（i1+j1）|≤4034，与|（i2+j2）﹣（i1+j1）|≥5000矛盾，‎ 所以不能同时属于数列A的伴随集合M．‎ ‎ ‎