江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期一调考试数学(理)试卷

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江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期一调考试数学(理)试卷

江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期 一调考试数学(理)试卷 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、 选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)‎ ‎1.已知全集,集合,集合,则阴影部分所示集合为( )‎ A. ‎ B. ‎ C. D.‎ ‎2. 复数(其中,为虚数单位),若复数的共轭复数的虚部为,则复数在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.若,,,则的大小关系为 A. B. C. D.‎ ‎4.函数图象的大致形状是 A. B.C. D.‎ ‎5.吸烟有害健康,小明为了帮助爸爸戒烟,在爸爸包里放一个小盒子,里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”,并且和爸爸约定,每次想吸烟时,从盒子里任取一支,若取到口香糖则吃一支口香糖,不吸烟;若取到香烟,则吸一支烟,不吃口香糖,假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同,则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知△ABC外接圆的圆心为O,若AB=3,AC=5,则的值是(  )‎ A.2 B.4 C.8 D.16‎ ‎7.给出下列五个命题:‎ ‎①若为真命题,则为真命题;‎ ‎②命题“,有”的否定为“,有”;‎ ‎③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”;‎ ‎④在锐角三角形中,必有;‎ ‎⑤为等差数列,若,则 其中正确命题的个数为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎8.已知定义在上的函数,恒为正数的符合,则的取值范围为( )‎ A. B. C.() D.‎ ‎9.已知点,抛物线:的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.定义为个正数、、…、的“均倒数”,若已知正整数列的前项的“均倒数”为,又,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.对于任意的实数,总存在三个不同的实数,使得成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,在正方体中,平面,垂足为H,给出下面结论:‎ ‎①直线与该正方体各棱所成角相等;‎ ‎②直线与该正方体各面所成角相等;‎ ‎③过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形;‎ ‎④垂直于直线的平面截该正方体,所得截面可能为五边形,‎ 其中正确结论的序号为(  )‎ A.①③ B.②④ C.①②④ D.①②③‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二 、填空题:(本大题共4小题,每题5分,共20分)‎ ‎13.有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点的距离都大于1的概率为___.‎ ‎14.在数列{an}中,若函数f(x)=sin2x+2cos2x的最大值是a1,且an=(an+1﹣an﹣2)n﹣2n2,则an=_____.‎ ‎15.秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之,自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之为实一为从隅,开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是,共中a、b、c是△ABC的内角A,B,C的对边。若,且,2,成等差数列,则面积S的最大值为____‎ ‎16.过曲线的左焦点作曲线的切线,设切点为延长交曲线于点其中有一个共同的焦点,若则曲线 的离心率为   .‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)‎ ‎17.如图,在中,内角,,的对边分别为,,,已知,,,,分别为线段上的点,且,.‎ ‎(1)求线段的长;‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎18.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,点为棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.‎ ‎19.如图,为椭圆的左顶点,过的直线交抛物线于、两点,是的中点.‎ ‎(1)求证:点的横坐标是定值,并求出该定值;‎ ‎(2)若直线过点,且倾斜角和直线的倾斜角互补,交椭圆于、两点,求的值,使得的面积最大.‎ ‎20.某共享单车经营企业欲向甲市投放单车,为制定适宜的经营策略,该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段,A,B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回;在整理分析阶段,两个调查小组从所获取的有效问卷中,针对15至45岁的人群,按比例随机抽取了300份,进行了数据统计,具体情况如表:‎ 组别 年龄 A组统计结果 B组统计结果 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车 ‎[15,25)‎ ‎27人 ‎13人 ‎40人 ‎20人 ‎[25,35)‎ ‎23人 ‎17人 ‎35人 ‎25人 ‎[35,45)‎ ‎20人 ‎20人 ‎35人 ‎25人 ‎(1)先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本,再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.‎ ‎①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数;‎ ‎②为听取对发展共享单车的建议,调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会,会后共有3份礼品赠送给其中3人,每人1份(其余人员仅赠送骑行优惠券).已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组,求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望;‎ ‎(2)从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄(记作m岁)有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时,为使犯错误的概率尽可能小,年龄m应取25还是35?请通过比较K2的观测值的大小加以说明.‎ 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.‎ ‎21..已知函数,其中,为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)设是函数的导函数,求函数在区间上的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若,函数在区间内有零点,求的取值范围 ‎(二)选考题,满分共10分,请考生在22.23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中,曲线与曲线关于直线对称.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线过原点且倾斜角为,设直线与曲线相交于,两点,直线与曲线相交于,两点,当变化时,求 AOB面积的最大值.‎ ‎23选修4--5:不等式选讲 已知函数 ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若,且对任意,恒成立,求的最小值.‎ 高三下一调数学参考答案 一、 选择题 BABBD CBDCA BD 二、 填空题 ‎13、 14、an=2n2+n 15. 16:‎ ‎17.(1)因为,,所以.‎ 由余弦定理得,‎ 所以,即,‎ 在中,,,‎ 所以,所以.‎ ‎(2)因为是的平分线,‎ 所以,‎ 又,所以,‎ 所以,,‎ 又因为,所以,‎ 所以.‎ ‎18.(Ⅰ)在棱上存在点,使得平面,点为棱的中点.‎ 理由如下:取的中点,连结、,由题意,且,‎ 且,故且.所以,四边形为平行四边形.‎ 所以,,又平面,平面,所以,平面.‎ ‎(Ⅱ)由题意知为正三角形,所以,亦即,‎ 又,所以,且平面平面,平面平面,‎ 所以平面,故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系,‎ 设,则由题意知,,,,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,‎ 则由得,令,则,,‎ 所以取,显然可取平面的法向量,‎ 由题意:,所以.‎ 由于平面,所以在平面内的射影为,‎ 所以为直线与平面所成的角,‎ 易知在中,,从而,‎ 所以直线与平面所成的角为.‎ ‎19.‎ ‎20.【解答】解:(1)①由分层抽样性质得:‎ 从300人中抽取60人,其中“年龄达到35岁“的人数为:100×=20人,‎ ‎”年龄达到35岁”中偶而使用单车的人数为:=9人.‎ ‎②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0,1,2,3,‎ P(X=0)==,P(X=1)==,‎ P(X=2)==,P(X=3)==,‎ ‎∴X的分布列为:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E(X)==.‎ ‎(2)按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理,得到如下列联表:‎ ‎ 经常使用单车 ‎ 偶尔使用单车 ‎ 合计 ‎ 未达到35岁 ‎ 125‎ ‎ 75‎ ‎ 200‎ ‎ 达到35岁 ‎ 55‎ ‎ 45‎ ‎ 100‎ ‎ 合计 ‎ 180‎ ‎ 120‎ ‎ 300‎ m=35时,K2的观测值:‎ k1===.‎ m=25时,按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理,得到如下列联表:‎ ‎ 经常使用单车 ‎ 偶尔使用单车 ‎ 合计 ‎ 未达到25岁 ‎ 67‎ ‎ 33‎ ‎ 100‎ ‎ 达到25岁 ‎ 113‎ ‎ 87‎ ‎ 200‎ ‎ 合计 ‎ 180‎ ‎ 120‎ ‎ 300‎ m=25时,K2的观测值:‎ k2==,‎ k2>k1,‎ 欲使犯错误的概率尽量小,需取m=25.‎ ‎21试题解答:(Ⅰ)‎ ‎①当时,,所以.‎ ‎②当时,由得.‎ 若,则;若,则.‎ 所以当时,在上单调递增,所以.‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增,所以.‎ 当时,在上单调递减,所以.‎ ‎(Ⅱ)设为在区间内的一个零点,则由可知,‎ 在区间上不可能单调递增,也不可能单调递减.‎ 则不可能恒为正,也不可能恒为负.‎ 故在区间内存在零点.‎ 同理在区间内存在零点.‎ 所以在区间内至少有两个零点.‎ 由(Ⅰ)知,当时,在上单调递增,故在内至多有一个零点.‎ 当时,在上单调递减,故在内至多有一个零点.‎ 所以.‎ 此时,在上单调递减,在上单调递增,‎ 因此,必有 ‎.‎ 由得:,有 ‎.‎ 解得.‎ 当时,在区间内有最小值.‎ 若,则,‎ 从而在区间上单调递增,这与矛盾,所以.‎ 又,‎ 故此时在和内各只有一个零点和.‎ 由此可知在上单调递增,在 上单调递减,在上单调递增.‎ 所以,,‎ 故在 内有零点.‎ 综上可知,的取值范围是.‎ ‎22.(Ⅰ)法一:由题可知,的直角坐标方程为:,‎ 设曲线上任意一点关于直线对称点为,‎ 所以 又因为,即,‎ 所以曲线的极坐标方程为:‎ 法二:由题可知,的极坐标方程为: ,‎ 设曲线上一点关于 的对称点为,‎ 所以 又因为,即,‎ 所以曲线的极坐标方程为:‎ ‎(Ⅱ)直线的极坐标方程为:,直线的极坐标方程为:‎ 设,‎ 所以解得,解得 因为:,所以 当即时,,取得最大值为:‎ ‎23.解法:原不等式等价于 或 或, ‎ 解得:或无解或, 所以,的解集为.‎ ‎(2).‎ 则 ‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增.‎ 所以当时,取得最小值,. ‎ 因为对,恒成立,‎ 所以.‎ 又因为,所以,‎ 解得 (不合题意).‎ 所以的最小值为1‎
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