【精品】人教版 九年级下册数学 27

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第 1 页 共 7 页 27.2.1 相似三角形的判定 第 2 课时 三边成比例的两个三角形相似 学习目标：1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点) 自主学习 一、知识链接 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这 些方法是否有其缺点和局限性？ 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获证明三角形相似的启发吗？ 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？ 合作探究 一、要点探究 探究点 1：三边成比例的两个三角形相似 操作 任意画 一个△ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的 各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？ 第 2 页 共 7 页 发现 通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应 成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 证明 下面我们用前面所学得定理证明该结论. 【要点归纳】利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：∵ CA AC CB BC BA AB  ，∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 【典例精析】 例 1 根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由. AB=4 cm ，BC =6 cm ，AC =8 cm， A′B′=12 cm ，B′C′=18 cm ，A′C′=24 cm. 【针对训练】已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似. (1) AB =3，BC =4，AC＝6， DE＝6，EF＝8，DF＝9； (2) AB=4，BC =8，AC＝10， DE＝20，EF＝16，DF＝8. 例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 第 3 页 共 7 页 【方法总结】判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别 算出三条对应边的比值，看是否相等. 【注意】计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 例 3 如 图 ， 在 Rt △ ABC 与 Rt △ A ′ B ′ C ′ 中 ， ∠ C = ∠ C ′ = 90 ° ， 且 2 1 AC CA AB BA ，求证：△ A′B′C′∽△ABC. 【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有 2 组边成比例和 90°的角，那么可以 通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解 例 4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， AE AC DE BC AD AB  ,∠BAD=20°，求∠CAE 的度 数. 二、课堂小结 第 4 页 共 7 页 当堂检测 1. 根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由 AB=5 cm ，BC =7 cm ，AC =8 cm， A′B′=15 cm ，B′C′=21 cm ，A′C′=23 cm. 2.如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由. 3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，求证： △ABC∽△DBA. 4. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． 第 5 页 共 7 页 5. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米， BD = 21 千米，DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由. 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：仅形状不同的两个三角形是相似三角形，相似的判定定义有：对应角相等，对应边成 比例，也有平行线判断相似. 2. 解：三角形全等判定有：边边边、角边角、角角边、边角边、斜边直角边. 3. 解：能. 合作探究 一、要点探究 探究点 1：三边成比例的两个三角形相似 【典例精析】 例 1 解：相似.理由如下： ∵ 3 1 12 4 BA AB ， 3 1 18 6 CB BC ， 3 1 24 8 CA AC , ∴ CA AC CB BC BA AB  ∴△ABC∽△A′B′C′. 【针对训练】解：（1）不相似；（2）相似. 第 6 页 共 7 页 例 2 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF 中， DE > EF > FD. ∵ 6.04 4.2  AB DE ， 6.05.3 1.2  BC EF ， 6.03 8.1  CA FD ， ∴ CA FD BC EF AB DE  . ∴ △ABC ∽ △DEF. 例 3 【分析】要运用三边成比例判断相似，目前题目只有 2 组边成比例和 90°的角，那 么可以通过“勾股定理”得到第三组边成比例，进而求解 证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′， ∴ BC = AB ² － AC ² = ( 2 A ′ B ′ ) ² － ( 2 A ′ C ′ ) ² = 4 （ A ′ B ′ ） ² － 4（ A′C′） ² = 4 (（ A′B′） ²－（A′C′ ）² ) = 4（B′C′） ²= ( 2 B′C′ )². ∴ BC=2B′C′， AC CA AB BA BC CB  2 1 ∴ △ A′B′C′∽△ABC. 例 4 解：∵ AE AC DE BC AD AB  ，∴ △ABC ∽△ADE (三边成 比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE，∠BAC －∠DAC= ∠DAE －∠DAC，即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°. 当堂检测 1. 解：不相似.理由如下： ∵ 3 1 15 5 BA AB ， 3 1 21 7 CB BC ， 23 8CA AC ， ∴△ABC 与△A′B′C′的三边不成比例，∴不相似. 2.解：相似， 图①中的三角形三边分别为 2 ，2 ， 10 ； 图②中的三角形三边分别为 2，2 2 ，2 5 . 则 52 10 22 2 2 2  ，所以这两个三角形相似. 3. 证明：∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD=1，∴AB= 2 ，AC= 5 ，AD= 10 . ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA. 4. 证明：∵△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴DE= 2 1 AC，DF= 2 1 BC，EF= 2 1 AB， ∴ 2 1 AB EF BC DF AC DE ，∴ △ABC∽△EFD. 5. 解：公路 AB 与 CD 平行.∴ 3 2 DC BD BC AD BD AB ， ∴ △ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC. 第 7 页 共 7 页