人教版高中数学选修2-3练习：第一章1-1第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理word版含解析

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第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知集合 A {1，2，3}，且 A 中至少有一个奇数，则这样的 集合 A 有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 解析：满足题意的集合 A 分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}， {1，2}，{3，2}共 4 个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有 4＋1 ＝5(个)． 答案：D 2．现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤，如果一条长 裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有( ) A．7 种 B．12 种 C．64 种 D．81 种 解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从 4 件中任选一 件，有 4 种不同的选法；第二步，选长裤，从 3 条长裤中任选一条， 有 3 种不同选法．故不同取法共有 4×3＝12(种)． 答案：B 3．如图所示，一条电路从 A 处到 B 处接通时，可构成的通路有 ( ) A．8 条 B．6 条 C．5 条 D．3 条 解析：依题意，可构成的通路有 2×3＝6(条)． 答案：B 4．已知集合，M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集 合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表 示第一、二象限内不同的点的个数是( ) A．18 B．17 C．16 D．10 解析：分两类：第 1 类，M 中的元素作横坐标，N 中的元素作纵 坐标，则在第一、第二象限内的点有 3×3＝9(个)；第 2 类，N 中的元 素作横坐标，M 中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有 4×2 ＝8(个)．由分类加法计数原理，在第一、第二象限内的点共有 9＋8＝ 17(个)． 答案：B 5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数 a，b 组成复数 a＋bi，其中虚数有( ) A．30 个 B．42 个 C．36 个 D．35 个 解析：要完成这件事可分两步，第一步确定 b(b≠0)有 6 种方法， 第二步确定 a 有 6 种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数 6×6＝ 36(个)． 答案：C 二、填空题 6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有 5 人，第二道工序有 6 人，第三道工序有 4 人，从中选 3 人每人做一道工序，则选法有 ________种． 解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为 5，6，4， 由分步乘法计数原理知，选法总数为 N＝5×6×4＝120(种)． 答案：120 7．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的 选法有________种． 解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有 N＝2×2×2＝23＝ 8(种)． 答案：8 8．一学习小组有 4 名男生、3 名女生，任选一名学生当数学课代 表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有 ________种不同选法． 解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有 4 种选法；另一类是从女生中选，有 3 种选法．根据分类加法计数原理， 不同选法共有 4＋3＝7(种)． 若选男女生各一名当组长，需分两步：第 1 步，从男生中选一名， 有 4 种选法；第 2 步，从女生中选一名，有 3 种选法．根据分步乘法 计数原理，不同选法共有 4×3＝12(种)． 答案：7 12 三、解答题 9．若 x，y∈N*，且 x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． 解：按 x 的取值进行分类： x＝1 时，y＝1，2，…，5，共构成 5 个有序自然数对； x＝2 时，y＝1，2，…，4，共构成 4 个有序自然数对； …… x＝5 时，y＝1，共构成 1 个有序自然数对． 根据分类加法计数原理，有序自然数对共有 N＝5＋4＋3＋2＋1＝ 15(个)． 10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域 的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有 6 种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？ 操 场 窗舍区 餐厅 教学区 解：操场可从 6 种颜色中任选 1 种着色；餐厅可从剩下的 5 种颜 色中任选 1 种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩 下的 4 种颜色中任选 1 种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能 相同，故可从剩下的 4 种颜色中任选 1 种着色．根据分步乘法计数原 理知，着色方案共有 6×5×4×4＝480(种)． B 级 能力提升 1．某班小张等 4 位同学报名参加 A、B、C 三个课外活动小组， 每位同学限报其中一个小组，且小张不能报 A 小组，则不同的报名方 法有( ) A．27 种 B．36 种 C．54 种 D．81 种 解析：除小张外，每位同学都有 3 种选择，小张只有 2 种选择， 所以不同的报名方法有 3×3×3×2＝54(种)． 答案：C 2．有三个车队分别有 4 辆、5 辆、5 辆车，现欲从其中两个车队 各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为 n，则 n 的值为 ________． 解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分 3 类．甲、乙各 一辆共 4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共 4×5＝20(种)；乙、丙各一辆 共 5×5＝25(种)，所以共有 20＋20＋25＝65(种)． 答案：65 3．乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员中选 2 名安排 在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种． 解：按出场位置顺序逐一安排： 第一位置有 3 种安排方法； 第二位置有 7 种安排方法； 第三位置有 2 种安排方法； 第四位置有 6 种安排方法； 第五位置有 1 种安排方法． 由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有 3×7×2×6×1 ＝252(种)．