- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
版高考数学理数列求和及综合应用二轮考点专练
考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 1. (2013·新课标Ⅰ高考理科·T12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则( ) A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【解析】选B.因为,,,所以, ,注意到,所以. 于是中,边长为定值,另两边的长度之和为为定值. 因为, 所以,当时,有,即,于是的边的高随增大而增大,于是其面积为递增数列. 二、填空题 2.(2013·新课标Ⅰ高考理科·T14)若数列的前项和,则的通项公式是_________ 【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an. 【解析】由,解得,又,所以,得 ,所以数列是首项为1,公比为 的等比数列.故数列的通项公式 【答案】 3. (2013·湖南高考理科·T15) 设为数列的前n项和,则 (1)_____; (2)___________. 【解题指南】(1) 令,代入 即可得到答案. (2)通过整理可发现当当为偶数时有,于是代入第(2)问的展开式即可得到答案. 【解析】(1)因为,所以, ①, ,即 ②, 把②代入①得. (2)因为当时,,整理得,所以,当为偶数时,, 当为奇数时,,所以, 所以,所以当为偶数时,, 所以 . 【答案】(1) (2) 4. (2013·重庆高考理科·T12)已知是等差数列,,公差,为其前 项和,若、、成等比数列,则 【解题指南】先根据、、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出. 【解析】因为、、成等1比数列, 所以,化简得 因为,所以,故 【答案】 三、解答题 5.(2013·大纲版全国卷高考理科·T22)已知函数 (I)若; (II)设数列 【解析】(I), 令,即,解得或 若,则时, ,所以. 若,则时,,,所以. 综上的最小值为. (II)令,由(I)知,时,. 即. 取,则. 于是. 所以 6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求d,an. (2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an. (2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解. 【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2, d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6. (2)设数列{an}前n项和为Sn, 因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则 n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n; n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-n +110. 综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|= 7. (2013·重庆高考文科·T16)设数列满足:,,. (Ⅰ)求的通项公式及前项和; (Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,,求. 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前项和,再利用题目中所给条件求解. 【解析】(Ⅰ)由题设知是首项为公比为的等比数列,所以, (Ⅱ)所以公差, 故. 8.(2013·上海高考理科·T23)给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f(an),n∈N*. (1)若a1=-c-2,求a2及a3. (2)求证:对任意n∈N*,an+1-an≥c. (3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)= 当an≥-c时,an+1-an=c+8>c. 当-c-4≤an<-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c; 所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c. (3)由(2),结合c>0,得an+1>an,即{an}为无穷递增数列, 又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c, 从而an+1=f(an)=an+c+8, 由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8. ①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8, 又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8, 即a1=-c-8,从而a2=0, 当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8, 而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求. ②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8, 又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去. ③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8, 从而{an}为无穷等差数列,符合要求. 综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞). 9.(2013·上海高考文科·T22)已知函数,无穷数列满足an+1=f(an),n∈N* (1)若a1=0,求a2,a3,a4; (2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值. (3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an…成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2. (2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|. ①当0查看更多
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