黑龙江省大庆铁人中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题
铁人中学2017级高三学年上学期期中考试
数学试题
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）
1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈N，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A 9 B 8 C 7 D 6
2．设,则“ ”是“ ”的( )
A充分不必要条件 B必要不充分条件
C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
3．设z＝＋2i（i是虚数单位），则|z|＝( )
A 0 B C 1 D
4．在平面直角坐标系中，向量a＝(1，2)，a－b＝(2，1)，c＝(x，y)，若(2a＋b)∥c，(a＋c)⊥b，则x+y＝( )
A B C D
5．已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 019＝( )
A 3 B 4 C 1 D 0
6．为了得到函数y＝2sin(2x－)的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A 向右平移个单位长度 B 向右平移个单位长度
C 向左平移个单位长度 D 向左平移个单位长度
7．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是( )
8．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A B C D
9．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
10．已知函数，若对都有成立，则实数的取值范围是( )
A B C D
11．已知函数，如果对任意的n∈N*，定义，那么( )
A 0 B 1 C 2 D 2020
12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A f(－25)
0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹁q)”是假命题；③命题“(﹁p)∨q”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．
三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）
17、(10分)已知为等差数列，其前项和为，是首项为2且单调递增的等比数列，其前项和为，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和．
18、(12分) 的内角的对边分别为，.
A
B
C
D
E
F
(1)求角；
(2)若，的面积.求.
19、(12分)已知四面体ABCD中AB⊥面BCD，BC⊥DC，BE⊥AD垂足为E，
F为CD中点，AB=BD=2,CD=1
（1）求证：AC∥面BEF；
（2）求点B到面ACD的距离．
A组 B组
8 5 6 7
5 4 3 7 5 7
6 5 0 8 5 5 8 9
9 5 9 0 5 9
20、某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成
右图茎叶图，其中A组学生每天学习数学时间不足1个
小时，B组学生每天学习数学时间达到一个小时。学校
规定90分及90分以上记为优秀，75分及75分以上记
为达标，75分以下记为未达标．
（1）分别求出A、B两组学生的平均分、并估计
全班的数学平均分；
（2）现在从成绩优秀的学生中任意抽取2人，求这两人恰好都来自B组的概率；
（3）根据成绩得到如下列联表：
达标
未达标
总计
A组
a
b
a+b
B组
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
n
①直接写出表中a、b、c、d的值；
②判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关．
参考公式与临界值表：K2＝.
P(K2≥k0)
0.50
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
0.455
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
21、(12分)已知抛物线E：的焦点F恰好是椭圆C:的右焦点
（1）求实数的值及抛物线E的准线方程；
（2）过点F任作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A、B和M、N点，求两条弦的弦长之和的最小值．
22、(12分)已知函数.
（1）当时，求f(x)的单调区间；
（2）若对[，e]，使成立，求实数的取值范围 (其中e是自然对数的底数)．
铁人中学2017级高三学年上学期期中考试
数学试题参考答案
一、1D2A3C4C5B6A7A8B9B10B11C12D
二、13、－；14、6；15、2；16、②③
17、【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q
由已知得b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0
又因为，解得q＝2，所以bn＝2n
由b3＝a4－2a1，可得3d－＝8
由，可得＋5d＝16
解得＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n
（2）由（1）得，，
所以
所以
18、【解】（1）因为,，
由已知和正弦定理得：
，
又因为，所以，
，，
（2）由面积公式得，
由余弦定理得
19、（1）【证明】：因为BE⊥AD，AB=BD所以E为AD中点
又因为F是CD中点，所以AC∥EF
而AC面BEF，EF面BEF，所以AC∥面BEF
（2）【解】由已知得BC=，AD=，AC=，
所以三角形ACD为直角三角形其面积，三角形BCD的面积
设点B到面ACD的距离为
因为即
解得
所以点B到面ACD的距离为
另法：作BH⊥AC于H，
因为AB⊥面BCD所以AB⊥DC，又因为BC⊥DC，所以DC⊥面ABC,所以DC⊥BH,而BH⊥AC
所以BH⊥面ACD
在直角三角形ABC中，ABBC=ACBH，解得BH=
20、【解】（1）A组学生的平均分
B两组学生的平均分
估计全班的数学平均分
（2）设这两人恰好都来自B组为事件E
由题意该概型符合古典概型，
成绩优秀的共计5人，A组2人设为A1、A2，B组3人设为B1、B2、B3，从5人中抽取两人有如下情况：A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、 B1B2、B1B3、B2B3
共计包含基本事件10个，事件E包含基本事件3个
两人恰好都来自B组的概率为P（E）=
（3）①通过茎叶图知a=6、b=4、c=9、d=1；
②由公式K2＝=
P(K2≥3.841)=0.05，而K2
所以没有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关。
21、【解】（1）由已知椭圆C整理得
所以焦点F的坐标为
所以
所以抛物线E的准线方程为：
（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零
设直线AB的斜率为，方程为，则MN的斜率为，方程为
设A、B
由得
因为，所以，
所以
同理得
所以
当且仅当即时取“等号”
所以两条弦的弦长之和的最小值为
22、【解】 (1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x，
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－＝，
f′(x)＞0⇒0
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