全国各地中考数学解析汇编21反比例函数
2012年全国各地中考数学解析汇编21 反比例函数
（2011江苏省无锡市，4，3′）若双曲线与直线一个交点的横坐标为－1，则k的值为（ ）
A．－1. B. 1 C.－2 D.2
【解析】双曲线与直线的交点坐标适合两者的解析式，利用可以求出交点坐标为（－1，－1），进而求出k=1
【答案】B
【点评】本题主要考查学生对坐标与解析式之间的关系的理解，适合解析式的点在图象上，图象上的点适合解析式。
（2012浙江省温州市，16，5分）如图，已知动点A在函数的图象上，轴于点B，轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交轴于点P，Q。当时，图中阴影部分的面积等于_______
【解析】本题是一道难度较大的反比例函数综合题，可构造相似三角形，利用相似计算求解。
【答案】
(2012四川省南充市，6，3分) 矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（ ）
解析：由矩形的面积知xy =9，可知它的长x与宽y之间的函数关系式为y=9 x （x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选C．
点评：由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质确定图象的形状及所处象限．注意实际问题中的函数问题需要注意自变量x的取值范围。
（2012山东省荷泽市，6，3）反比例函数图象上的两上点为（x1,y1）,(x2,y2)，且x1
y2 B.y1y2，故先D.
【答案】D
【点评】首先确定反比例函数所在的象限，注意反比例函数图象在每个象限的变化规律，当比较两函数值的大小时，一定要分为在两个象限或在同一个象限两种情况.
（2012广州市，10， 3分）如图3，正比例函数y1=kx和反比例函数y2=的图像交于A（-1,2）、（1,-2）两点，若y1 ＜y2，则x的取值范围是（ ）
A.x＜-1或x＞1 B. x＜-1或0＜x＜1
C. -1＜x＜0或 0＜x＜1 D. -1＜x＜0或x＞1
【解析】根据图像观察一次函数的图像在反比例函数图像的下方自变量的取值范围。
【答案】从图像观察可知一次函数图像在下面的取值范围可知答案为D。
【点评】本题考查同学们用函数的图像解不等式。
（2012福州，10，4分，）
如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、B两点，若反比例函数（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤9 B. 2≤k≤8 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8
解析：当点C （1,2）在反比例函数上时，则k=2,由则，
当时，直线与双曲线有且一个交点，即k=9，因此反比例函数（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤9。
答案：A
点评：本题通过对问题的特殊化，考察了学生解题思维的灵活性，通过数形结合，考查了建立方程模型解决问题的能力。
(2012山东省临沂市，12，3分）如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数（x＞0）和（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（ ）
A.∠POQ不可能等于900 B.
C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. △POQ的面积是
【解析】当P、Q两点的横纵坐标的绝对值相等时,△POM和△QOM是等腰直角三角形,即∠POQ=900，A不正确；PM、QM是线段的长，比值是正数，K1，K2符号不同,比值为负, B不正确；只有当|K1|=|K2|时，两个公式图象关于x轴对称, C不正确；S△POQ=S△POM+S△QOM=+=，故D正确.
【答案】选D.
【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．
（2012浙江省衢州，12，4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 .
【解析】图象位于第二、四象限的反比例函数的比例系数k＜0.
【答案】答案不唯一，如y＝－
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2012四川内江，3，3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（1，－2），则k的值为
A． 2 B．－ C．1 D．－2
【解析】反比例函数y＝的图象经过点（1，－2），表明在解析式y＝中，当x＝1时，y＝－2，所以k＝xy＝1×(－2)＝－2．
【答案】D
【点评】点在曲线上，则点的坐标满足曲线解析式，反之亦然．
（2012贵州铜仁，5，4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象经过点A，则k 的值是（ ）
5题图
A．2 B．-2
C．4 D．-4
【解析】∵正方形ABOC的边长为2
∴A的坐标（-2,2）
∴把A点坐标代入y=得：2=
∴ k=-4
【解答】D.
【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，一般方法是求出一个点的坐标，代入即可.简单方法是反比例函数上的点与两坐标轴围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.
(2012山东德州中考,8,3,)如图，两个反比例函数和的图象分别是和．设点P在上，PC⊥x轴，垂足为C，交于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交于点B，则三角形PAB的面积为（ ）
（A）3 （B）4 （C） （D）5
x
y
A
P
B
D
C
O
【解析】可设P（a， ），∵P和A的纵坐标相同，又A在上，可得A点的纵坐标为，∴PA=．P点和B点的纵坐标相同，同理可得B点横坐标为-2a，即PB=3a，所以三角形PAB的面积为=．故选C．
【答案】C．
【点评】结合反比例函数的图象表示出点P、A、B的坐标是解题的关键，然后根据直角三角形的面积公式求出结论．
（2012湖南湘潭，16，3分）近视眼镜的度数(度)与镜片焦距()成反比例(即)，已知度近视眼镜的镜片焦距为,则与之间的函数关系式是 .
【解析】将=0.5，=200代入得K=100，则与之间的函数关系式是。
【答案】。
【点评】此题考查函数关系式的求法。将已知数代入反比例函数关系式(即)中，确定系数K的值。
（2012江苏盐城，14，3分）若反比例函数的图像经过点P（-1,4），则它的函数关系是 .
【解析】本题考查了反比例函数的定义.掌握定义中K的确定方法是关键.本题考查点在函数图像上与函数解析式的关系，常规方法是直接代入计算.
【答案】将图象上的点坐标P（-1，4）代入反比例函数解析式y=即可求出k=-4，所以y=-.
【点评】此题是对反比例函数考查.已知函数图象上的点坐标，求函数解析式，往往是将坐标代入解析式，经过简单解方程（或方程组），这样求出待求系数.中考中，常以选择题、填空题、简答题方式出现.
（2012连云港，13，3分）已知反比例函数y=的图像经过点A（m，1）,则m的值为 。
【解析】把点A的坐标代入反比例函数解析式，得到关于m的方程即可求得m的值。
【答案】由题意得1=，得到m=2.
【点评】图像经过点或点在图像上说明点的坐标适合函数解析式。列出相应方程求未知字母的值。
（2012连云港，16，3分）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=交于Ａ、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x ＜+b的解集是 。
【解析】不等式k1x ＜+b，即为k1x －b＜。把y=k1x+b的图像向下平移2b个单位，找出双曲线与新直线y=k1x－b中，直线在双曲线下侧的自变量的取值范围即可。
【答案】－5＜x＜－1或x＞0
【点评】易错点：容易漏掉第一象限的部分，本题取值范围有两部分。
（2012江西，19，8分）如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知、、，反比例函数的图象经过点C．
（1）求C点坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD向上平移个单位后，
使点B恰好落在双曲线上，求的值．
解析：（1）在平面直角坐标系中，由等腰梯形ABCD的性质及、、三点的坐标，可求得C点坐标，再用待定系数法求得反比例函数的解析式，（2）等腰梯形ABCD向上平移个单位后的点B′的坐标为B′（6，m），代入反比例函数的解析式即可．
答案：解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，DO=CE，
∴△AOD≌△BCE，∴AO=BE=2，
∵BO=6，∴DC=OE=4，
∴C（4，3）；
设反比例函数的解析式，
根据题意得：，
解得；
∴反比例函数的解析式；
(2) 将等腰梯形ABCD向上平移个单位后得到梯形A′B′C′D′，
∴点B′（6，m）
∵点B′（6，m）恰好落在双曲线上，
∴当时，,即．
点评：本题主要考查了平面直角坐标中点的坐标的求法、反比例函数及平移知识，
设点P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）m个单位（m＞0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）．
（2012湖北襄阳，22，7分）如图9，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝相交于
A（1，2），B（m，－1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x＋b＞的解集．
图9
【解析】（1）先将A（1，2）代入y＝求得k2，再将B（m，－1）代入求得m值，接着运用待定系数法求得直线解析式．（2）（3）两问可借助图象直接观察求解．
【答案】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（1，2），∴k2＝2．
∴双曲线的解析式为：y＝．
∵点B(m，－1)在双曲线y＝上，∴m＝－2，则B（－2，－1）．
由点A（1，2），B（－2，－1）在直线y＝k1x＋b上，得
解得
∴直线的解析式为：y＝x＋1．
（2）y2＜y1＜y3．
（3）x＞1或－2＜x＜0．
【点评】一般情况下，一次函数与反比例函数的交点已知时，要先确定反比例函数解析式，因为反比例函数解析式中只有一个待定系数，而一次函数有两个待定系数．象第（2）题这样的问题，往往从图象上直接观察容易得解，不要通过死记反比例函数的增减性解答．而象第（3）题这样的问题，需注意理解位于上方的函数图像的函数值较大.整题充分体现了数形结合的数学思想．
（2012浙江省衢州，16，4分）如图，已知函数y＝2x和函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是 .
【解析】根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系|k|=4，求出k的值为8，然后结合函数y＝2x和函数y＝可求出点A(2，4)，再根据平行四边形的性质可求得P点坐标．
【答案】P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)(对一个得2分，对二个得3分，对三个得4分.)
【点评】反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
（2012浙江丽水8分，21题）（本题8分）如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=（k>0）经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4.
（1）求该双曲线所表示的函数解析式；
（2）求等边△AEF的边长.
【解析】：（1）过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出点C的坐标，进而利用待定系数求出反比例函数解析式；（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，用a的代数式表示点D的坐标，代入反比例函数关系中，得到关于a的一元二次方程，解之即可求出a的值，进而可求出等边△AEF的边长.
解：（1）过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°.
∴OC=2，CG=，
∴点C的坐标是（1，），由=，得k=.
∴该双曲线所表示的函数解析式为y=.
（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=a.
∴点D的坐标为（4+a，a）.
∵点D是双曲线y=上的点，由xy=，
得a（4+a）=，即a2+4a-1=0.
解得a1=-2，a2=--2（舍去），
∴AD=2AH=2-4，
∴等边△AEF的边长是（4-8）.
【点评】：本题将等边三角形放置于直角坐标系中，与反比例函数有机结合，即考查了等边三角形的性质、反比例函数解析式的确定、直角三角形的性质，又考查了一元二次方程，是一道较好的中考题.难度中等.
（湖南株洲市3,8）如图，直线与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则的面积为
A．3 B． C． D．不能确定
【解析】因为直线与反比例函数的图象分别交于B（t,）、C(t,),所以BC=，所以。
【答案】C
【点评】在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，就是借助坐标轴或平行于坐标轴直线上的某一条线段作为三角形的底边的长，第三个点横坐标或纵坐标为三角形的高.
（2011山东省潍坊市，题号14，分值3）14、点P在反比例函数的图像上，点Q（2,4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为
考点：反比例函数的关系式的计算和关于y轴对称的点的坐标特点。
解答：因为 点Q（2,4）与点P关于y轴对称， 所以点P坐标为.
因为点P在反比例函数的图像上，所以所以所以
点评：计算反比例函数的函数解析式，仅需要一个点的坐标。本题的关键是根据已知条件“点Q（2,4）与点P关于y轴对称”计算出点P的坐标，从而求解。
( 2012年浙江省宁波市,21,6)如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于A(-4,-2)和B(a,4)
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值？
【解析】(1)设反比例函数的解析式是y=,点A(-4,-2)在此反比例函数图象上，-2=，∴k=8, 反比例函数的解析式为y=，又点B（a,4）在此反比例函数图象上，∴4=,a=2, 点B的坐标(2,4).(2)观察图象知x＞2或-4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值。
【答案】（1）B(2,4) (2)x＞2或-4＜x＜0
【点评】
（2012浙江省衢州，12，4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式 .
【解析】图象位于第二、四象限的反比例函数的比例系数k＜0.
【答案】答案不唯一，如y＝－
【点评】主要考查了反比例函数的图象性质：反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2012湖南益阳，13，4分）反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点是(1，
)，则反比例函数的解析式是 ．
【解析】由交点是(1，)代入可得，，所以
【答案】
【点评】此题考查考生交点即是两条线上的点，把点的坐标代入已知函数，等式成立，从而求出值的解题思路
(2012湖北随州，10，4分) 如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC=(m-1):1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为（ ）
A． B． C． D．
解析：过点A、B分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N.则⊿CBN∽⊿CAM，
∴.设BN=h，则AM=mh.由点A、B在反比例函数的图象上，∴，.∴S⊿OAB= S四边形OABN- S⊿OAM= S四边形OABN- S⊿OBN= S梯形AMNB=.
答案：B
点评：本题是反比例函数与几何图形面积的综合应用.需运用反比例函数的比例系数的几何意义，几何图形间的位置关系，将三角形的面积转化为梯形的面积来解决.难度较大.
(2012山东省聊城，17，3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行. 点P(3a,a)是反比例函数的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积为9，则这个反比例函数的解析式为 ..
解析：如图，根据正方形是以点O为中心对称图形，
将第三象限部分绕点O顺时针旋转180º,恰好与第
一象限重合.所以正方形的面积为9×4=36，所以正
方形边长为6. 正方形又是轴对称图形，P(3a,a)是
反比例函数的图象的点，所以正方形
边长为3a×2=6a，于是a=1.所以k=3×1=3.反比
例函数解析式为.
答案：
点评:本题借助正方形、反比例函数均为中心对称图象特点，化零为整的思想，把复杂问题巧妙地解决，是一道较新颖创新题.
（2012贵州贵阳，22，10分）已知一次函数y=x+2的图象分别与坐标轴相交于A,B两点（如图所示），与反比例函数y=（k>0）的图象相交于C点.
（1）写出A,B两点的坐标；（4分）
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数y=（k>0）的关系式.
D
O
C
B
A
y
x
第22题图
解析： （1）令y=0,得x+2，解得x=-3，所以A点坐标为（-3，0）； 令x=0,得y=2，所以B点坐标为（0，2）；（2）抓住“OB是△ACD的中位线”
的条件，运用三角形的中位线的性质求出OD,CD的长，进而求出C点坐标，求出反比例函数y=（k>0）的关系式.
解：（1）A（-3，0）；B（0，2）；
（2）由（1）得，OA=3,OB=2.
∵OB是△ACD的中位线，∴OD=OA=3,CD=2OB=6.
∴C点坐标为（2,6）. ∴k=xy=2×6=12,即反比例函数是y=.
点评：反比例函数是初中阶段的三个重要函数之一，它与一次函数的联合是中考的常见题型，这类问题常常考查待定系数法、数形结合思想，解题时应该先由点的坐标求出相关线段的长，再充分运用几何的相关知识进行推理运算，得到其他线段的长，并由此求出关键点的坐标，进而得函数关系式.
（2012浙江省湖州市，19，6分）如图，已知反比例函数（k≠0）的图象过点A（-2,8）。
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若（2，y1）,(4,y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1,y2的大小，并说明理由。
【解析】（1）由函数图象的，函数经过点（-2,8），应用待定系数法，设反比例函数解析式，将点A（-2,8）代入解析式，可直接求；
（2）根据反比例函数的性质：k＜0时，y随x的增大而增大，k＞0时，y随x的增大而减小，来做出判断。
【答案】（1）将点A（-2,8）代入，求得k=-16，即；
（2）∵k=-16＜0, 且2＜4，即y随x的增大而增大，∴y1＜y2.
【点评】本题考查的是反比例函数解析式的确定方法及比例系数k的几何意义，
反比例系数k的几何意义：①k＜0时，y随x的增大而增大，②k＞0时，y随x的增大而减小。是基础题。
（2012四川省资阳市，19，8分）已知：一次函数的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．
（1）(3分)求该反比例函数的解析式；
（2）(3分)将一次函数的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数的图象绕点旋转一定角度得到；
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．
【解析】（1）把代入，得
设反比例函数的解析式为，把，代入得， %p.com]
∴该反比例函数的解析式为
（2）平移后的图象对应的解析式为 ww&.zz~*st#ep.com@]
解方程组 ，得 或
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为(,3)和(－1, －1) （3）
(结论开放，常数项为－2，一次项系数小于－1的一次函数均可)
【答案】（1）
（2） (,3)和(－1, －1)
（3）(结论开放，常数项为－2，一次项系数小于－1的一次函数均可)
【点评】本题综合考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式的求法、直线平移旋转的性质、两函数图象交点坐标的求法（联立方程组求解即为图象交点坐标）等，是反比例函数与一次函数借助平移、旋转的动态形式来求交点坐标.难度中等.
（2012四川成都，18，8分）如图，一次函数(为常数)的图象与反比例函数(为常数，且≠0)的图象交于A，B两点，且点A的坐标为(，4)．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点B的坐标．
解析：本题首先用待定系数法求出两个函数的解析式，然后采用解方程组的方法求函数的另一个交点的坐标。
答案：（1）∵点A(，4)在函数的图像上，
∴
∴
∴
同理可得
（2）解，得
，
可见，点B的坐标为（2，-2）
点评：已知某一个点在某个函数图象上，可得到结论：“点的坐标满足函数解析式”，这是待定系数法的基础。求两个函数图象的交点坐标的方法是：解由这两个函数解析式组成的方程组。
（2012山东泰安，25，8分）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1，
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x<0时，的解集。
【解析】（1）根据点A和点B的坐标求出一次函数的解析式．再求出C的坐标是（﹣4，1），利用待定系数法求解即可求反比例函数的解析式；（2）根据一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C，即可求出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．
【答案】（1）∵OB=2，△AOB面积为1，∴B（-2，0），OA=1，∴A（0，-1），∴，∴.∵OD=4,OD⊥x轴，∴C（-4，y）.将x=-4代入得y=1, ∴C(-4,1), ∴,∴m=-4, ∴
(2)x<-4
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到的知识点是待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，体现了数形结合的思想，关键是根据反比例函数与一次函数的交点求出不等式的解集．
（2012浙江丽水8分，21题）（本题8分）如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=（k>0）经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4.
（1）求该双曲线所表示的函数解析式；
（2）求等边△AEF的边长.
【解析】：（1）过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形结合直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出点C的坐标，进而利用待定系数求出反比例函数解析式；（2）过点D作DH⊥
AF于点H，设AH=a，用a的代数式表示点D的坐标，代入反比例函数关系中，得到关于a的一元二次方程，解之即可求出a的值，进而可求出等边△AEF的边长.
解：（1）过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°.
∴OC=2，CG=，
∴点C的坐标是（1，），由=，得k=.
∴该双曲线所表示的函数解析式为y=.
（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=a.
∴点D的坐标为（4+a，a）.
∵点D是双曲线y=上的点，由xy=，
得a（4+a）=，即a2+4a-1=0.
解得a1=-2，a2=--2（舍去），
∴AD=2AH=2-4，
∴等边△AEF的边长是（4-8）.
【点评】：本题将等边三角形放置于直角坐标系中，与反比例函数有机结合，即考查了等边三角形的性质、反比例函数解析式的确定、直角三角形的性质，又考查了一元二次方程，是一道较好的中考题.难度中等.
（2012年四川省德阳市，第21题、．）．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，.已知当时，；当时，.
⑴求一次函数的解析式；
⑵已知一次函数在第一象限上有一点C到轴的距离为3，求△ABC的面积.
【解析】（1）．根据题意及图像可以确定点A坐标(1,0)．代人一次函数解析式即可求出m．
（2）．过点B作直线BD平行于x轴，交AC的延长线于D.把求△ABC的面积转化为求△ABD和△CBD的面积差．
【答案】
(1)根据题意，由图像可知点A的坐标为（1，6），代人中，得，m=5,∴ 一次函数的解析式为：（2）过点B作直线BD平行于x轴，交AC的延长线于D.
∵点C到y轴的距离为3，∴C点的横坐标为3. 又C在双曲线上，∴y=,即C（3，2）
∵直线y=x+5和双曲线交于点A, B.
∴ 解方程组得，∴B（-6，-1）
设AC的解析式为，把点A（1，6），点C（3，2）代人得，解得，,∴y=2x+8. 当y=-1时-1=-2x+8,x=4.5,即点D（4.5，-1）
∴．==21.
【点评】，本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过反比例函数的性质确定点A
的坐标，从而求出一次函数的解析式，而求和图像相关的三角形的面积往往要把它分解成边在x轴或y轴上的三角形的面积和或差，或是有平行于x、y轴边的三角形的面积和或差来解决．
27.2反比例函数的应用
（2012安徽，21，12分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“慢200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销。
（1）若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？
解：
（2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=），写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；
解：
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x（200≤x＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。
21.解析：这是关于打折销售问题，按照甲、乙商场的优惠方案计算.（1）400≤x＜600，少付200元；（2）同问题（1），少付200元，；利用反比例函数性质可知p随x的变化情况；（3）分别计算出购x（200≤x＜400）甲、乙商场的优惠额，进行比较即可.
解：（1）510－200=310（元）
（2）；∴p随x的增大而减小；
（3）购x元（200≤x＜400）在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是x－0.6x=0.4x
当0.4x＜100，即200≤x＜250时，选甲商场优惠；
当0.4x=100，即x=250时，选甲乙商场一样优惠；
当0.4x＞100，即250＜x＜4000时，选乙商场优惠；
点评：关于打折销售问题，根据优惠措施，列出有关代数式.值得注意这样的优惠一般都是有范围的，在一定的范围内适合如第（3）问.
（2012浙江省嘉兴市，21，10分）如图,一次函数＝kx+b的图象与反比例函数=的图象相交于点A(2,3)和点B,与x轴相交于点C(8,0)。
(1)求这两个函数的解析式;
(2)当x取何值时, >.
【解析】(1)用待定系数法可分别求得一次函数的解析式和反比例函数的解析式; (2)解由、联列的方程组,可求得x的取值范围.
【答案】(1)把A(2,3)代入=,得m＝6.
把A(2,3) 、C(8,0)代入＝kx+b,得,解得
∴这两个函数的解析式为; ＝x+4, =.
(2)由题意得,解得
∴当x＜0或2＜x＜6时, >
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数
（2012四川攀枝花，22，8分）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”。已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分钟）之间的关系如图8所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式级自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？
【解析】反比例函数
【答案】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，
则函数解析式为y=（x≥15），
将y=10代入解析式得，10=
x=15，
故A（15，10），
设正比例函数解析式为y=nx，
将A（15，10）代入上式即可求出n的值，
n=
则正比例函数解析式为y=x（0≤x≤15）．
（2）=2，
解之得x=75（分钟），
答：从药物释放开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
（2012贵州省毕节市，6，3分）一次函数与反比例函数的图像在同一平面直角坐标系中是（ ）
解析：根据一次函数的图象性质，y=x+m的图象必过第一、三象限，可对B、D进行判断；根据反比例函数的性质当m＜0，y=x+m与y轴的交点在x轴下方，可对A、D进行判断．
解答：解：A. 对于反比例函数图象得到m＜0，则对于y=x+m与y轴的交点在x轴下方，所以A选项不正确；B、对于y=x+m，其图象必过第一、三象限，所以B选项不正确；C、对于反比例函数图象得到m＜0，则对于y=x+m与y轴的交点在x轴下方，并且y=x+m的图象必过第一、三象限，所以C选项正确；D、对于y=x+m，其图象必过第一、三象限，所以D选项不正确．故选C．
点评：本题考查了反比例函数的图象：对于反比例函数y= （k≠0），当k＞0，反比例函数图象分布在第一、三象限；当k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的图象．
（2012黑龙江省绥化市，17，3分）如图，A、B是函数的图像上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=2 B．S=4 C．2＜S＜4 D．S＞4
【解析】解：设点A的坐标为（x,y）则xy=2，由于A、B是关于原点对称的任意两点，得点B的坐标为（-x，-y），又因为BC∥x轴，AC∥y轴，所以点C的坐标为（x，-y）；所以AC=2y，BC=2x，△ABC的面积记S=×2x×2y=2xy=4．(也可由平行得相似，再由面积比等于相似比的平方得出答案)故选B．
【答案】 B．
【点评】此题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义及关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．难度中等．
(2012贵州黔西南州，9，4分)已知一次函数y1=x－1和反比例函数y2=的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是( )．
A．x＞2 B．－1＜x＜0 C．x＞2，－1＜x＜0 D．x＜2，x＞0
【解析】解，得，．所以，两个函数的交点为(2，1)，(―1，―2)．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象(图略)，观察图象，y1＞y2，则对应一次函数的图象高于反比例函数的图象，对应x的取值范围是：x＞2或－1＜x＜2．
【答案】C．
【点评】本题综合考查函数与方程、不等式的关系，理解它们之间的关系，借助于函数图象分析，可以达到直观简洁的效果．
（2012南京市，5，2）若反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像没有交点，则k的值可以是（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析：将y=代入y=x+2中，得=x+2，由于函数y=与y=x+2的图像没有交点，则=x+2无解，得出k的值.
答案：A.
点评：判断图像的交点情况，可转化为一元二次方程根的情况，用判别式来确定，有两个交点，则判别式大于0，一个交点判别式等于0，没有交点判别式小于0.
（2012山西，10，2分）已知直线y=ax（a≠0）与双曲线的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A． （﹣2，6） B． （﹣6，﹣2） C． （﹣2，﹣6） D． （6，2）
【解析】解：∵线y=ax（a≠0）与双曲线的图象均关于原点对称，∴它们的另一个交点坐标与（2，6）关于原点对称，∴它们的另一个交点坐标为：（﹣2，﹣6）．故选C．
【答案】C
【点评】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的图象的对称性，两者均关于原点对称，故其两者的交点也关于原点对称，由此可确定答案为C，考生不熟悉此对称性可能会分别求出两函数的解析式，再联立方程组求解，而此做法将浪费考生时间．难度中等．
(2012广安中考试题第6题，3分)在平面直角坐标系xOy中，如果有点P（-2，1）与点Q（2，-1），那么：①点P与点Q关于x轴对称；②点P与点Q关于y轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在y=的图象上。前面的四种描述正确的是（ D ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
思路导引：一个点关于两条坐标轴、以及原点对称问题，有其规律，注意坐标变化；点在某个函数图象上，点的坐标适合函数解析式，反之，不适合即是不在函数图象上；
解：已知点P（-2，1）与点Q（2，-1），由于两种坐标同时改变符号，因此③点P与点Q关于原点对称；正确，点P与点Q的坐标都适合函数解析式y=，都在y=的图象上；
点评：一个点关于两条坐标轴与原点对称问题，注意对称变换后横坐标、与纵坐标的变换规律，确定函数的解析式是待定系数法，另外判断点是否在函数图像上，所用的方法即是代入法.
(2012贵州黔西南州，14，3分)已知反比例函数的图象经过点(m，2)和(－2，3)，则m的值为__________．
【解析】设反比例函数的解析式为y=，把点(―2，3)代入，得k=―6．所以，y=―，点(m，2)代入，得2=―，解得m=―3．
【答案】―3．
【点评】本题考查反比例函数的解析式的确定．确定一个反比例函数的解析式，只需要知道图象上一个点的的坐标，用代入法即可计算．
（2012四川泸州，19，3分）已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则k= .
解析：根据图象上的点满足函数解析式，即，所以k= -2.
答案：-2.
点评：本题考查了已知点在反比例函数图象上，求反比例系数k值.点的坐标满足k=xy.
（2012江苏省淮安市，6，3分）已知反比例函数的图象如图所示，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>1 B．m>0 C．m<1 D．m<0
【解析】先根据反比例函数的图象经过第一、三象限得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
∵双曲线的图象经过第一、三象限，∴m﹣1>0，∴m>1．
【答案】A
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数（k≠0）中，k>0时，其图象在一、三象限，反之成立．
（2012山东省青岛市，8，3）点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=的图象上，若x10时，一次函数y=ax+1的图象经过一、二、三象限，反比例函数y=的两条分支分别位于第一、三象限；当a<0时，一次函数y=ax+1的图象经过一、二、四象限，反比例函数y=的两条分支分别位于第二、四象限.观察四个象限可知，应选C.
【点评】解答这类问题应分别讨论未知数的系数和常数项的符号，利用分类讨论的方法求解.
（2012湖北荆州，14，3分）已知：多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为_▲__
【解析】因为多项式x2－kx＋1是一个完全平方式，所以，
当时，反比例函数y=的解析式为y=；
当时，反比例函数y=的解析式为y=－
【答案】y=或y=－
【点评】本题考察了完全平方式，做此类问题时，防止因为思考问题不全面而漏解。
(2012山东日照，16，4分)如图，点A在双曲线y=上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当OA＝4时，则△ABC周长为 .
解析：由OA的垂直平分线交OC于点B，得AB=OB,故AB+BC=OC，设OC=x，AC=y,则xy=6，在Rt△ABC中，OC2+AC2=OA2=16,即x2+y2=16,所以(x+y) 2-2xy=(x+y) 2-12=16, x+y==2．所以△ABC周长为AB+BC+ AC= OC+ AC= x+y=2．
解答：填2．
点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、乘法公式，解题的关键是要灵活运用相关知识，数形结合，把求△ABC周长的问题转化为求AC+OC的值的问题.
（2012年吉林省，第4题、2分．）如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC,则∠AED的度数为
(A)40°． (B)60°． (C) 80°． (D)120°．
【解析】根据两直线平行同位角相等可以求出∠ADE的度数为40°，在根据三角形内角和求出∠AED的度数．
【答案】B
【点评】本题主要考察平行线的性质和三角形内角和的有关知识．
（2012年吉林省，第5题、2分．）如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（- 3，2）．若反比例函数（x>0）的图像经过点A，则k的值为
(A) -6. (B) -3. (C) 3. (D) 6.
【解析】因为菱形的对角线OB在y轴上，所以点C和点A关于y轴对称，即点A的坐标为（3，2），代人反比例解析式.从而求出k的值．
【答案】D
【点评】求反比例函数的比例系数k，只需确定函数图像上的一个点的坐标即可，根据菱形的对称性，求出点A的坐标即可．
（2012湖南衡阳市，15，3）如图，反比例函数y=的图象经过点P，则k= ．
解析：首先根据图象写出P点坐标，再利用待定系数法把P点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值．
答案：解：根据图象可得P（3，﹣2），
把P（3，﹣2）代入反比例函数y=中得：
k=xy=﹣6，
故答案为：﹣6．
点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，凡是图象经过的点都能满足解析式．
（2012贵州省毕节市，19，5分）如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 .
解析：先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB=2
求出k的值即可．
答案：解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，∵S△AOB=2，∴|k|=4，
∴k=-4，即可得双曲线的表达式为：y=，故答案为：y=.
点评：
本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
（2012湖北武汉，15，3分）如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为________．
解析：过C作CF⊥BA交BA延长线于F，连接DC，有AE＝3EC=AC，AB=AF,BD=OD,S△ADE=3,有S△ADC=4，
令S△ADB=x,则有S△ODC=S△AFC=2x，S矩形OCFB=8x,S△ADC=8x-x-2x-2x=3x=4,x=,S△ABO=2x=,故k=2×=
答案：．
点评：本题在于考察反比例函数图象与面积的联系，解题时需构建适当的矩形或三角形，根据k值与面积的关系求解，解题时需抓住几个中点与面积的关系，难度较大．
（2012·哈尔滨，题号7分值 3）如果反比例函数y=的图象经过点(-1，-2)，则k的值是( )．
(A)2 (B)-2 (C)-3 (D)3
【解析】本题考查反比例函数图象上点的坐标与常数K的关系．将（－1，－2）代入反比例函数的解析式得k-1=2,∴k=3，选D．
【答案】D
【点评】已知点在反比例函数图像上，所以点的坐标满足函数解析式，横坐标是自变量x的值，纵坐标是函数y的值，分别代人函数解析式，就能求出k的值．
（2012·湖北省恩施市，题号10 分值 3）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y =交与A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，则x1y2+ x2y1的值为（ ）
．-6 B．-9 C．0 D．9
【解析】根据对称性，当正比例函数和反比例函数相交时，交点关于原点对称，所以x1= -x2，y1= -y2，又因为x1y1=-3，x2y2=-3，因此x1y2+ x2y1= x1·（- y1）+x2·（- y2）=-6．
【答案】A
【点评】本题主要是考察反比例函数和正比例函数的交点关于原点对称的性质以及双曲线上任意点的纵横坐标的积等于k，根据二者交点的对称性将不同点坐标积转换为同一个点的坐标积是解答的关键，解决此问题还可以采用特殊值法解决．
（2012甘肃兰州，17，4分）如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，点C和点D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则矩形ABCD的面积为 。
解析：根据双曲线的图象上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S与k的关系S=|k|即可判断．过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3-1=2．
答案：2．
点评：本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
（2012甘肃兰州，20，4分）如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于D、C两点，若直线与y轴交与点A，与x轴交与点B，则AD·BC的值为 。
第20题图
解析：如图，作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y=-x+m，易得A（0，m），B（m，0），得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=，
并且CE=b，DF=a，则AD=DF=a,BC=CE=b,于是得到AD•BC=a·b=2ab=
答案：
点评：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质，难度较大。
（2012山东莱芜， 14，4分）若点Ｐ在一次函数的图象上，它关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为 .
【解析】因为点Ｐ在一次函数的图象上，所以，所以,所以点Ｐ的坐标为.又因为它关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，所以点在反比例函数的图象上，所以，所以，所以
【答案】
【点评】本题考查了已知一次函数函数关系式和函数值求自变量，考察了关于y轴对称的对称点点的坐标特征。对于反比例函数已知一个点的坐标就可以计算其函数关系式.
（2012呼和浩特，19，6分） (6分)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数（x>0）的图象交于A(m,6)、B(n,3)两点。
（1）求一次函数的解析式 ；
（2）根据图象直接写出kx+b–>0时x的取值范围.
【解析】（1）将A(m,6)、B(n,3)代入反比例函数求出A、B点的完整坐标A(1,6)、B(2,3)，然后再利用A、B坐标求一次函数解析式。
（2）把不等式kx+b–>0变形成kx+b>，根据图象中A、B两点坐标，可直接写出不等式的解集，即x的取值范围。
【答案】
解：（1）∵点A（m,6）、B（n,3）在函数的图象上
∴m=1，n=2
∴A(1,6)、B(2,3)
∴
∴
∴一次函数的解析式为y= –3x+9
(2)由图象知：10）的图象交于A(m,6)、B(n,3)两点。
（1）求一次函数的解析式 ；
（2）根据图象直接写出kx+b–>0时x的取值范围.
【解析】利用反比例函数求点的坐标，然后再利用坐标求一次函数解析式。
【答案】解：（1）∵点A（m,6）、B（n,3）在函数的图象上
∴m=1，n=2
∴A(1,6)、B(2,3)
∴
∴
∴一次函数的解析式为y= –3x+9
(2)由图象知：1
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