湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期月考（二）数学（文）试题

湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期月考（二）数学（文）试题

衡阳市八中2020届高三月考试题（二）‎ 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.己知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，再利用集合的交集运算律得出.‎ ‎【详解】，因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键就是交集运算律的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出不等式，得出解集，再利用集合的包含关系得出两条件的充分必要性关系.‎ ‎【详解】解不等式，得或，是的真子集，‎ 因此，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查必要条件的判定，一般转化为集合间的包含关系来判断，具体关系如下：‎ ‎（1），则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎（2），则“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎（3），则“”是“”的充要条件；‎ ‎（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件.‎ ‎3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，不合乎题意；‎ 对于B选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，且该函数在上单调递增，合乎题意；‎ 对于C选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，不合乎题意；‎ 对于D选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，由于，所以，该函数在上不可能为增函数，不合乎题意.故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查函数单调性与奇偶性定义的应用，属于中等题.‎ ‎4.设、，向量，，，且，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，利用平面向量垂直与共线向量的坐标表示列方程组解出、的值，可得出的坐标，然后利用平面向量的求模公式得出结果.‎ ‎【详解】由于，，可得，解得，，，‎ ‎，因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量模的坐标表示，将题中的条件利用坐标进行转化，是解题的关键，考查化归与转化思想，属于基础题.‎ ‎5.已知直线是曲线的一条切线，则的值为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数几何意义列式求解.‎ ‎【详解】设切点为，则因为（负值舍去），‎ 所以 ‎【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.函数的部分图象如图所示，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用函数的图象求出函数的解析式，然后由解析式结合诱导公式计算出的值.‎ ‎【详解】由图象可知，函数的最小正周期满足，则，‎ ‎，，‎ ‎，得.‎ ‎，，，，.‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，基本步骤如下：‎ ‎（1）先求振幅与：，；‎ ‎（2）求频率：；‎ ‎（3）求初相：将对称中心坐标或顶点坐标代入解析式，利用特殊值以及角的范围确定初相的值.‎ ‎7.要得到函数的图象，只需的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）‎ B. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）‎ C. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）‎ D. 向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数的解析式化为，再利用三角函数图象的变换规律得出正确选项.‎ ‎【详解】，‎ 因此，将函数的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），可得到函数的图象，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换，处理这类问题的要注意以下两个问题：‎ ‎（1）左右平移指的是在自变量上变化了多少；（2）变换时两个函数的名称要保持一致.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用排除法：‎ 由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；‎ 当时，，选项B错误，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎9.已知函数满足，且在上是连续函数，且当时,成立，即，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，判断出该函数奇偶性与单调性，由，，，并比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】，则函数为偶函数，‎ 构造函数，则函数为奇函数，‎ 当时，，‎ 则函数在上为增函数，‎ 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，‎ 由于函数在上是连续函数，则函数在上也是连续函数，‎ 由此可知，函数在上为增函数，‎ 且，，，‎ 由中间值法可知，则，‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合问题，考查函数值大小的关系，解题时要充分利用函数单调性与奇偶性之间的关系，难点在于构造新函数，考查函数思想的应用，属于中等题.‎ ‎10.已知函数若曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求出在上的值域，将问题转化为，解出该不等式可得出结果.‎ ‎【详解】，，‎ 易知，函数在上单调递减，当时，则，‎ 所以，，函数在上的值域，‎ 由于曲线上存在不同的两点、使得曲线在、处的切线垂直，‎ 所以，，整理得，解得，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直关系的转化，解题的关键就是转化为导数值域问题进行求解，考查化归与转化思想，属于难题.‎ ‎11.已知是定义在上的奇函数，满足, 且当时，,则函数在区间上的零点个数是 A. 4 B. 5‎ C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，令，则，‎ ‎∵， ∴的图像关于点对称，‎ 又是定义在上的奇函数，∴，‎ ‎∴是周期为2的函数. ‎ 当时，为增函数，‎ 画出及在上的图像如图所示，‎ 经计算，结合图像易知，函数的图像与直线 在上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知，‎ 函数在区间上的零点个数是5.‎ ‎12.若存在唯一的正整数，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知满足不等式的解中只有一个正整数，利用导数分析函数的单调性与极值，结合函数图象得出，于此可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知满足不等式的解中只有一个正整数，‎ 构造函数，则，当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极大值，即.‎ 如下图所示：‎ 结合图形可知，即，解得，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数考查函数不等式的整数解个数问题，解决这类问题的通常利用数形结合思想找出等价条件，要结合图形找出一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解.‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵f(x)＝‎ ‎∴f(－2)=，∴f(f(－2))＝f()=‎ 故答案为：3‎ 点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出f(－2) 的值，进而得到f(f(－2))的值.‎ ‎14.若函数，，则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由计算出的取值范围，再利用正弦函数的性质得出函数的最小值.‎ ‎【详解】，，所以，函数在区间上单调递增，‎ 因此，函数的最小值为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，解题时要求出对象角的取值范围，结合正弦函数的图象得出最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，，且，在等式两边同时除以得，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，‎ 由于不等式恒成立，则，即，‎ 解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎16.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得出，将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，求实数的取值范围，然后利用导数分析函数的单调性与极值以及端点函数值，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】令，得，得.‎ 问题等价于直线与曲线在区间上的图象有两个交点，求实数的取值范围.‎ ‎，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且.‎ 又，，且.‎ 因此，当时，直线与函数在区间 上的图象有两个交点，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数新定义问题，解题的关键就是将问题转化为函数零点来处理，并利用参变量分离法来处理，考查化归与转化数学思想，属于难题.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题:共60分.‎ ‎17.已知函数，在时有极大值.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）求函数在上最值.‎ ‎【答案】（1），；（2）最大值，最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，由题意得出，列出、的方程组，可解出实数、的值；‎ ‎（2）由（1）得出，利用导数求出函数在区间上的极值，并与端点函数值比较大小，可得出函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由题意得，解得；‎ ‎（2）由（1）知，则.‎ 令，得或，列表如下：‎ 极小值 极大值 因此，函数在区间上的最大值，最小值.‎ ‎【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值，解题时要注意导数与极值、最值之间的关系，同时要注意导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最小正周期及单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递减区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数解析式利用二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，利用函数的最大值可求出实数的值；‎ ‎（2）由（1）得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，再由，解出该不等式可得出函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ 所以，函数的最大值为，因此，；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，函数的最小正周期为.‎ 由，解得，‎ 因此，函数的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的基本性质，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数解析式进行化简，并结合正、余弦函数的基本性质进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.在中，内角、、的对边分别为、、，且，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）设边的中点为，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出的值，代入题中等式可得出，利用正弦定理边角互化思想得出，利用两角和的正弦公式展开后可求出的值，结合角的范围可得出角的值；‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，求出和的值，再利用三角形的面积公式可求出的面积.‎ ‎【详解】（1）由，得， 又，，‎ 由正弦定理有得，‎ 即，‎ 化简得，，，‎ ‎，；‎ ‎（2），，，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 即，解得，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形面积公式的应用，在求解三角形的问题时，可充分利用边角互化思想结合三角恒等变换思想进行计算求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出 ‎，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）取的中点，的中点，连接、、，将五面体分割为三棱柱和四棱锥，证明出底面和平面，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体的体积.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接、，‎ 侧面为正方形，且，为的中点，‎ 又为的中点，且，‎ 且，，所以，四边形为平行四边形，.‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）取的中点，的中点，连接、、，‎ 四边形为正方形，.‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 底面，‎ 易知，，，‎ ‎，‎ 为中点，，，‎ 平面，平面，，‎ ‎，、平面，平面.‎ ‎，平面，且，‎ ‎，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行 证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域和导数，对分和两种情况，分析在上的符号，可得出函数的单调区间；‎ ‎（2）由，转化为，构造函数，且有，问题转化为，对函数求导，分析函数单调性，结合不等式求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，.‎ ‎①当时，对任意的，，此时，函数的单调递减区间为；‎ ‎②当时，令，得；令，得.‎ 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2），即，得，‎ 又，不等式两边同时除以，得，即.‎ 易知，由题意可知对任意的恒成立，.‎ ‎①若，则当时，，，此时，‎ 此时，函数在上单调递减，则，不合乎题意；‎ ‎②若，对于方程.‎ ‎（i）当时，即，恒成立，‎ 此时，函数在上单调递增，则有，合乎题意；‎ ‎（ii）当时，即时，‎ 设方程的两个不等实根分别为、，且，‎ 则，，所以，，，.‎ 当时，；当时，，，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题.‎ ‎(二)选考题(共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分)‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）过直线上的一点向圆引切线，求切线长的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将圆的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开，并在等式两边同时乘以，再由可将圆的极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（2）设直线上任意一点的坐标为，利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切线长为，转化为关于的二次函数求出切线长的最小值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 即，等式两边同时乘以得，‎ 所以，圆的普通方程为，即；‎ ‎（2）设上任意一点，，半径，‎ 切线长为，‎ 当且仅当时，切线长取最小值.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查了圆的切线长的计算，计算时可以代数法求解，也可以利用几何法结合勾股定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式.恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，得出所求不等式为，然后利用零点分段法去绝对值，分段解出不等式即可；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式得出，由题意得出，即，在时，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）时，不等式为.‎ 当时，不等式化为，，此时；‎ 当时，不等式化为恒成立，此时；‎ 当时，不等式化为，，此时.‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ 又，，解得或，‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式恒成立问题的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，在求解恒成立问题时，需结合条件转化为函数的最值来处理，考查化归与转化数学思想的应用，属于中等题.‎ ‎ ‎