北京市首都师范大学附属中学2020届高三北京学校联考数学试题

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2019-2020 学年第二学期首师大附中北京学校联考试题 高三数学 一、选择题 1.已知复数 （ 是虚数单位），则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用共轭复数的定义以及复数的除法运算法则化简 ，再由虚部的定义求解即可. 【详解】因为复数 （ 是虚数单位）， 所以复数 ， 的虚部为 ， 故选：C. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚 部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算， 通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题 出错，造成不必要的失分. 2.已知集合 ， ，则 ＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数不等式与一元二次不等式的解法化简集合 ，再利用集合交集的定义求解即可． 3 4z i= − i 1 z i+ 1 2 − 1 2 i 1 2 1 2 i− 1 z i+ 3 4z i= − i ( )( ) ( )( ) 3 4 13 4 7 7 1 1 1 1 1 2 2 2 i iz i i ii i i i + −+ += = = = ++ + + − 1 z i+ 1 2 { }1 3 9xP x= < ≤ ( ){ }2ln 2 7Q x Z y x x= ∈ = − + P Q { }1 { }1,2 { }2,3 { }1,2,3 ,P Q 【详解】因为 ， ， 所以 ， 故选：B． 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键 是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的 集合. 3.已知函数 ，则函数的奇偶性为（ ） A. 既是奇函数也是偶函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 C. 是奇函数不是偶函数 D. 是偶函数不是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数的定义域，化简函数的解析式，再利用奇偶性的定义求解即可. 【详解】由 ， 所以 ， 可得函数定义域为 且 ，关于原点对称， 又因为 ， 所以函数是奇函数不是偶函数， 故选：C. 【点睛】判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是 奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数， 负为奇函数)；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作 { } { }1 3 9 0 2xP x x x= < ≤ = < ≤ ( ){ } { }2 2ln 2 7 2 7 0Q x Z y x x x Z x x= ∈ = − + = ∈ − + > { }70 1,2,32x Z x  = ∈ < < =    P Q = { }1,2 P Q ( ) 29 6 6 xf x x −= − − 29 0 3 3 6 0x x x− ≥ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − > ( ) 2 2 29 9 9 6 6 6 6 x x xf x x x x − − −= = =− − − − − 3 3x− ≤ ≤ 0x ≠ ( ) ( ) ( ) 2 29 9x xf x f xx x − − −− = = − = −− ( ) ( )f x f x− = ± ( ) ( ) 0f x f x− ± = 商法， （ 为偶函数， 为奇函数） . 4.在平行四边形 中， ， =60°， 为 的中点.若 ，则 的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用平行四边形中的向量相等，结合已知数量积等式，利用向量的线性运算法则以及向量数 量积的运算得到关于 AB 的方程，解之即可． 【详解】因为平行四边形 ABCD 中, ， =60°，E 为 CD 中点， 设 AB=x,由 得， 即 解得 x=2 或 （舍去）； 故选：C. 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向 量的平方等于向量模的平方 . 5.已知 f'（x）为 f（x）的导函数，若 f（x）=ln ，且 b dx=2f'（a）+ ﹣1，则 a+b 的最小值为（　　） 的 ( ) ( ) 1f x f x − = ± 1 1− ABCD 2AD = BAD∠ E CD 3AC BE⋅ =  AB 1 2 2AD = BAD∠ 3AC BE⋅ =  1( ) 2AB BC BC BA + ⋅ +       1( ) 2AB AD AD AB = + ⋅ −       2 21 1 2 2AD AB AD AB= + ⋅ −    21 14 2 cos602 2AB AB= + × × −  21 14 32 2x x= − + = 2 2 0x x− − = 1x = − cosa b a b θ⋅ =   22a a=  2 x 3 1 1b x∫ 1 2 b A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先由已知的等式得到 a，b 的关系式，将所求转化为利用基本不等式求最小值． 【详解】由 b dx=2f'（a）+ ﹣1，得到 b（﹣ x﹣2）| = + ﹣1，即 =1， 且 a，b＞0， 所以 a+b=（a+b）（ ）= ；当且仅当 时等号成立； 故选 C． 【点睛】本题考查了定积分、导数的计算及利用基本不等式求代数式的最小值，属于中档 题． 6.已知 ， 都是实数，命题 ；命题 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别利用绝对值不等式与一元二次不等式的解法解出 p，q，根据包含关系即可判断出结论． 【详解】命题 ；解得−3 2 πϕ < ( ) sin 2 3g x x π= −     ( )f x A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知中函数 的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函 数 的解析式，利用三角函数图象的平移变换法则可得结果． 【详解】由已知中函数 （其中 ， ）的图象， 可得： ，即 ω=2 即 f(x)=sin(2x+φ)，将 点代入得： 又由 ， 即 所以将函数 f(x)的图象向右平移 个单位得到函数 的图象， 故选：B 6 π 3 π 6 π 3 π ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ 0A > 2 πϕ < 71, 4 12 3A T π π π = = − =   7 , 112 π −   7 3 2 ,6 2 k k Z π πϕ π+ = + ∈ 2 πϕ < 3 πϕ∴ = ( ) sin 2 3f x x π ∴ = +   ( ) sin 2 sin 23 6f x x x π π   = + = +       ( ) sin 2 sin 23 6g x xx π π   =      = −  − 6 6 3 π π π − − =   ( ) sin 2 3g x x π= −     【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用 最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是 解题的关键. 9.已知双曲线 （ , ）的一个顶点是抛物线 的焦点 , 两条曲线的一个交点为 , ,则双曲线 的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的焦点可得双曲线的顶点,再根据抛物线的定义可得两交点的坐标,再代入双曲线 方程求解 从而得到离心率即可. 【 详 解 】 设 , 因 为 抛 物 线 的 焦 点 , 且 , 故 .代入 有 . 又 ,将 代入 可得 ,解得 . 故双曲线 的离心率 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用以及双曲线的离心率计算,需要根据题意根据抛物 线的定义,确定两曲线交点的坐标,再代入双曲线求解.属于中档题. 10.函数 ，则方程 的实根个数不可能为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】 A ω ϕ ω ϕ， 2 2 2 2 2: 1x yC a b − = 0a > 0b > 2 1 : 2C y x= F M 3 2MF = 2C 17 3 2 6 3 33 3 2 2b ( )0 0,M x y 2 1 : 2C y x= 1 ,02F      3 2MF = 0 0 1 3 12 2x x+ = ⇒ = 2 1 : 2C y x= ( )1, 2±M 1 2a = ( )1, 2±M 2 2 2 2 2: 1x yC a b − = 2 2 1 2 1 1 2 b − =     2 2 3b = 2C 2 8 331 1 3 3 c be a a  = = + = + =   ( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 2 log 1 1 2 2 1 x x f x x x  − <= − − + ≥ ( ) ( ),f x a a R= ∈ 【分析】 画出 图像,再数形结合分析 不可能的实根个数即可. 【详解】根据对数函数以及二次函数的性质,结合 与 的图像关系画图可得： 则 的图像与 的图像交点个数不可能为 1 个. 即方程 的实根个数不可能为 1 个. 故选：A 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据函数的性质画出 的图像,再分析其与 的图像交点个数即可.属于中档题. 二、填空题 11.若奇函数 定义域为 , 且 ,则 =______ 【答案】 【解析】 【分析】 先根据 的性质得出 周期为 4,再利用周期性与奇偶性将 中的自变量转换, 利用 求解即可. 【详解】因为 ,故 ,故 周期为 4.又奇函 数 ,故 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与对称性求解函数值的问题,需要根据题意确定函 数的周期,再将自变量转换到已知函数值的自变量进行计算.属于中档题. 的( )y f x= ( )f x a= ( )f x ( )f x ( )y f x= y a= ( ) ( ),f x a a R= ∈ ( )y f x= y a= ( )f x R ( ) ( )2f x f x+ = − ( )1 6f − = ( )2017f 6− ( )f x ( )f x ( )2017f ( )1 6f − = ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + = ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )2017 504 4 1 1 1 6f f f f= × + = = − − = − 6− 12.若 的展开式中常数是 ，则实数 =______ 【答案】 【解析】 【分析】 由二项定理展开式通项可，结合常数项即可求得 的值. 【详解】根据二项定理展开式的通项可知 ， 所以 ，即 时为常数项， 所以 ， 解得 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了二项定理展开式通项的应用，由常数项求参数，属于基础题. 13.某程序框图如图所示，当输出 的值为 时，则输出 的值为______ 【答案】16 【解析】 【分析】 根据程序框图，结合输出 的值，即可计算求得输出 的值. 5 2 1ax x  +   80− a 16− a ( )2 55 105 2 1 5 5 1 rrr r r r rax x T C C a x − −− +   =    = 510 02 r− = 4r = 4 5 4 5 80C a − = − 16a = − 16− y 8− x y x 【详解】 , 则 因为输出 的值为 ,则此时输出 的值为 16, 故答案为:16. 【点睛】本题考查了循环程序框图的简单应用，属于基础题. 14.已知 为单位向量，且夹角为 60°，若 ， ，则 在 方向上的投影为 ______ 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出 、 ，再结合 在 方向上的投影为 ，可求出答案. 【详解】由题意， ， 则 ， ，所以 ， 所以 在 方向上的投影为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查平面向量的投影，考查向量的数量积的运算，考查单位向量的性质，考查 学生的计算求解能力，属于中档题. 1, 0, 1x y n= = = 3, 2, 2,n x y= = = − 5, 4, 4,n x y= = = − 7, 8, 6,n x y= = = − 9, 16, 8,n x y= = = − y 8− x ,c d  3a c d= +   2b c=  b a 5 13 13 a b⋅  a b a a b a ⋅   1 161 o 0c 2sc d⋅ = × × ° =  ( ) 2 12 3 2 6 2 6 52a b c d c c c d⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + × =        ( )22 2 2 3 9 6 1 9 3 13a c d c d c d= + = + + ⋅ = + + =       2 13a a= =  b a 5 5 13 1313 a b a ⋅ = =    5 13 13 15.给出以下四个结论： ①函数 的对称中心是 ； ②若关于 的方程 在 没有实数根，则 的取值范围是 ； ③在 中，“ ”是“ 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若 的图象向右平移 个单位后为奇函数，则 最小值是 . 其中正确的结论是______ 【答案】① 【解析】 【分析】 对四个结论逐个分析，可选出答案. 【详解】对于①， ，其图象由 的图象向左平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位得到，故 的对称中心为 ，即①正确； 对于②，由 ，可得 . 令 ，且 ，显然函数 在 上单调递减， 则 ，又因为 时， ，故 在 的值域为 ， 所以当 时，关于 的方程 在 没有实数根，即②错误； 对于③，先来判断充分性，当 时，可得 ，所以 ，即 ，所以 为等腰三角形，不能推 出 为等边三角形，即充分性不成立； 再来判断必要性，当 为等边三角形时，可得 ，则 ，故 ，即必要性成立，故③不正确； 对于④， 的图象向右平移 个单位后，得到 ( ) 2 1 1 xf x x −= + ( )1,2- x 1 0x kx − + = ( )0,1x∈ k 2k ≥ ABC cos cosb A a B= ABC ( ) πsin 2 3f x x = −   ( )0ϕ ϕ > ϕ π 12 ( ) 2 1 321 1 xf x x x −= = −+ + 3y x = − ( )f x ( )1,2- 1 0x kx − + = 1k xx = − ( ) 1g x xx = − ( )0,1x∈ ( )g x ( )0,1x∈ ( ) ( )1 0g x g> = 0x → 1 +xx − → ∞ ( )g x ( )0,1 ( )0,+¥ 0k ≤ x 1 0x kx − + = ( )0,1x∈ cos cosb A a B= sin cos sin cos=B A A B ( )sin cos sin cos sin 0B A A B B A− = − = B A= ABC ABC ABC B A= sin cos sin cos=B A A B cos cosb A a B= ( ) πsin 2 3f x x = −   ( )0ϕ ϕ > ，由 为奇函数，可得 ，则 ，解得 ，当 时， 取得最小正值为 ，故④不 正确. 所以，正确的结论是①. 故答案为：①. 【点睛】本题考查函数的对称中心，考查三角函数的平移变换及奇偶性的应用，考查利用参 变分离法解决方程的解的存在性问题，考查充分性与必要性的判断，考查学生的推理论证能 力与计算求解能力，属于中档题. 三、解答题 16.已知函数 . （1）求 单调递增区间； （2） 中，角 ， ， 的对边 ， ， 满足 ，求 的取 值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式整理化简函数解析式，再由三角函数单调性求单调 增区间； （2）由余弦定理求出角 的取值范围，再由三角函数性质求得值域. 【详解】（1） 所以其单调递增区间为 ( ) πsin 2 23g x x φ = − −   ( )g x πsin 2 03 φ − − =   ( )π 2 π3 φ k k+ = ∈Z ( )π π 2 6 kφ k= − ∈Z 1k = ϕ π 3 ( ) 21 cos 3sin cos2f x x x x= − + ( )f x ABC A B C a b c 2 2 2 3b c a bc+ − > ( )f A ( ), ,6 3k k k Z π ππ π − + + ∈   1 1,2 2  −   A ( ) 2 21 1 2cos 3cos 3sin cos 2sin cos2 2 2 xf x x x x x x −= − + = + ⋅ 3 1sin 2 cos2 sin 22 2 6x x x π = − = −   2 2 22 6 2 6 3k x k k x k π π π π ππ π π π− + ≤ − ≤ + ⇒ − + ≤ ≤ + 故增区间为 （2）由（1）可知 由余弦定理可知 ，且 ， 则 ,故 ，即 所以 的取值范围为 . 【点睛】本题考查利用三角恒等换边化简三角函数并由三角函数性质求单调区间，还考查了 求三角函数的值域与由余弦定理求角的取值范围，属于中档题. 17.某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的 4 个小球，分别标有“A”“B”“C”“D”. 顾客从中任意取出 1 个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取 1 个球，重复以上操作， 最多取 4 次，并规定若取出“D”字球，则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有 ““A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的 4 个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖. （1）求分别获得一、二、三等奖的概率； （2）设摸球次数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】 【分析】 （1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A，B，C，每次摸球相互独立，每个球被 摸到的概率为 ，由事件的相互独立性性质求 ，先由排列方式计算事件 B 的基本事件 个数，再由古典概型求概率方式求 ，最后三等奖的情况有: “A，A，B，C”；“A，B，B， C”；“A，B，C，C”三种情况，由相互独立性求概率即可； （2）由相互独立性计算 的取值为 1、2、3、4 时的概率，并列出对应的分布列，进而由均值 计算公式求得均值. ( ), ,6 3k k k Z π ππ π − + + ∈   ( ) sin 2 6f A A π = −   2 2 2 3 3cos 2 2 2 b c a bcA bc bc + −= > = 0 A π< < 0 6A π< < 26 6 6A π π π− < − < 1 1sin 22 6 2A π − < − <   ( )f A 1 1,2 2  −   ξ ξ 1 5 9 256 256 64 ； ； 175 64 1 4 ( )P A ( )P B ξ 【详解】（1）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A，B，C，每次摸球相互独立， 每个球被摸到的概率为 ， 则依次取到标有““A”“B”“C”“D”字的球的概率， 不分 顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球时，前 3 次全排列“A”“B”“C”最后一次为“D”，再减去“一等 奖”的 1 次，即基本事件有 个，则概率 三等奖的情况有: “A，A，B，C”；“A，B，B，C”；“A，B，C，C”三种情况. 则 （2）设摸球的次数为 ，则 的可能取值为 1、2、3、4. ， ， ， 故取球次数 的分布列为 1 2 3 4 所以数学期望为 【点睛】本题考查计算相互独立时间的概率，还考查列离散型随机变量的分布列并求均值， 属于中档题. 18.如图，在边长为 4 的菱形 中, ，点 分别是 的中点， ，沿 将 翻折到 ，连接 ，得到如图的五棱锥 ，且 （1）求证： 平面 （2）求二面角 的余弦值. 1 4 ( ) 1 1 1 1 1 4 4 4 4 256P A = × × × = 3 3 1A − ( ) 3 3 4 1 5 4 256 AP B −= = ( ) 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64P C A A A     = × × × × + × × × × + × × × × =           ξ ξ ( ) 11 4P ξ = = ( ) 3 1 32 4 4 16P ξ = = × = ( ) 3 3 1 93 4 4 4 64P ξ = = × × = ( ) ( ) ( ) ( ) 274 1 1 2 3 64P P P Pξ ξ ξ ξ= = − = − = − = = ξ P 1 4 3 16 9 64 27 64 ( ) 1 3 9 27 1751 2 3 44 16 64 64 64E ξ = × + × + × + × = ABCD 60DAB∠ =  ,E F ,CD CB AC EF O∩ = EF CEF∆ PEF∆ , ,PA PB PD P ABFED− 10PB = BD ⊥ POA − −B AP O 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 试题分析：（1）先证明 ，从而 ，根据 线面垂直的判定定理可证明 平面 ；（2）设 ，连接 ，由（1） 可得 ，根据勾股定理可得 ,根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，以 为原点， 在直线为 轴， 所在直线 轴， 所在直线为 轴，建立空 间直角坐标系 ，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余 弦公式，可得结果. 试题解析：（1） 点 分别是 的中点 菱形 的对角线互相垂直 （2）设 ，连接 为等边三角形， ，在 中，在 中， ， 平面 以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在 直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，则 39 13 ， / / , ,BD EF BD AC EF AC⊥ ⊥ ,EF AO EF PO⊥ ⊥ BD ⊥ POA AO BD H∩ = BO EF PO⊥ BO PO⊥ PO ⊥ BFED O OF x AO y OP z O xyz− BAP APO  ABD∴∆ BO ⊂ BFED 设平面 的法向量为 ，由 得 令 得 平面 的一个法向量为 ， 由（1）知平面 一个法向量为 ， 设求二面角 的平面角为 ， 则 二面角 的余弦值为 【方法点晴】本题主要考查线面垂直 判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间 向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2） 写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂 直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定 理结论求出相应的角和距离. 19.已知等比数列 的公比为 （ ），等差数列 的公差也为 ，且 ． (Ι）求 的值； 的 的 PAB ,n AP n AB⊥ ⊥   3, 3z x= − = − ∴ PAB ( )3,1, 3n = − − PAO B AP O− − θ 2 3 39cos cos , 1313 2| | n BHn BH n BH θ ⋅= = = = ×⋅    ， ∴ B AP O− − 39 13 ， { }na q 1q ≠ { }nb q 1 2 32 3a a a+ = q (II）若数列 的首项为 ，其前 项和为 ， 当 时，试比较 与 的大小. 【答案】（1） ； （2）当 时， ；当 时， ；当 时， . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由已知列关于公比的方程，求解方程即可得到 q 值； （Ⅱ）分别求出等比数列的通项公式及前 n 项和，分类作出比较得答案． 【详解】（Ι）由已知可得 2， ∵ 是等比数列， ，∴ . 解得 或 ，∵ ， ∴ . (II）由（Ι）知等差数列 的公差为 ， ∴ ， ， ， 当 时， ；当 时， ；当 时， . 综上，当 时， ；当 时， ；当 时， . 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式及前 n 项和，训练了作差法两个 函数值的大小，是中档题． 20.已知椭圆 经过点 M（﹣2，﹣1），离心率为 ．过点 M 作倾斜 角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q． (1)求椭圆 C 的方程； （2）试判断直线 PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 { }nb 2 n nT 2n ≥ nb nT 1 3 − 14n > n nT b< 14n = n nT b= 2 14n≤ < n nT b> 1 1 12 3a a q a q+ = { }na 1 0a ≠ 23 2 1 0q q− − = 1q = 1 3q = − 1q ≠ 1 3q = − { }nb 1 3 − ( ) 1 72 1 3 3n nb n − = + − − =   ( ) 21 132 12 3 6n n n nT n n − = + − − =   ( )( )1 14 6n n n nT b − −− = 14n > n nT b< 14n = n nT b= 2 14n≤ < n nT b> 14n > n nT b< 14n = n nT b= 2 14n≤ < n nT b> 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 2 16 3 x y+ = 【详解】(1)由题设，得 ＝1，①且 ＝ ，② 由①、②解得 a2＝6，b2＝3，故椭圆 C 的方程为 ＝1. (2)设直线 MP 的斜率为 k，则直线 MQ 的斜率为－k， 记 P(x1，y1)、Q(x2，y2)． 设直线 MP 的方程为 y＋1＝k(x＋2)，与椭圆 C 的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－ 8k－4＝0， 则－2，x1 是该方程的两根，则－2x1＝ ，即 x1＝ . 设直线 MQ 的方程为 y＋1＝－k(x＋2)，同理得 x2＝ . 因 y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)， 故 kPQ＝ ＝1， 因此直线 PQ 的斜率为定值． 21.已知函数 ， . （1）求函数 在 上的最小值； （2）若存在 （ 是自然对数的底数， ），使不等式 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，可得其单调区间，结合所给区间和单调区间之间的关系进行分类讨论，分 别可求出对应情况下函数的最小值 ； 2 2 4 1 a b + 2 2a b a − 2 2 2 2 6 3 x y＋ 2 2 8 8 4 1 2 k k k − − ＋ 2 2 4 4 2 1 2 k k k − + ＋ ＋ 2 2 4 4 2 1 2 k k k − − ＋ ＋ 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 8 2) 2 4 1 2 8 1 2 k y y k x k x k x x k kx x x x x x k +－ （ ＋ （ ＋ ） （ ＋ ＋ ） ＋＝ ＝ ＝－ － － ＋ ( ) lnf x x x= ( ) 2 3g x x ax= − + − ( )f x [ ]( ), 2 0t t t+ > 0 1 ,x ee  ∈   e 2.71828e = ⋅⋅⋅ ( ) ( )0 02 f x g x≥ a ( )min 1 1, 0 1ln , te ef x t t t e − < <=   ≥ 1 3 2a ee ≤ + − （2）不等式可化为 ，设 ，则问题转化为 ， 利用导数求出 的最大值即可. 【详解】（1）由已知可得函数 的定义域为 ， 当 ， ， 单调递减， 当 ， ， 单调递增， 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ； 综上所述， . （2）不等式 成立，即 ， 设 ，则 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； ， 由题意可得： 【点睛】本题考查了导数分析单调区间和求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属于难 题. 0 0 0 32 lna x x x ≤ + + ( ) 32 lnh x x x x = + + ( )maxa h x≤ ( )h x ( )f x ( )0,+¥ ( ) ln 1f x x′ = + 10,x e  ∈   ( ) 0f x¢ < ( )f x 1 ,x e  ∈ +∞   ( ) 0f x¢ > ( )f x 10, 2t t e > ∴ + > ① 10 2t te < < < + 10 t e < < ( )min 1 1f x f e e  = = −   ② 1 2t te ≤ < + 1t e ≥ ( ) ( )min lnf x f t t t= = ( )min 1 1, 0 1ln , te ef x t t t e − < <=   ≥ ( ) ( )0 02 f x g x≥ 2 0 0 0 02 ln 3x x x ax≥ − + − 0 0 0 0 3 12 ln , ,a x x x ex e  ∴ ≤ + + ∈    ( ) 3 12 ln , ,h x x x x ex e  = + + ∈    ( ) ( )( ) 2 3 1x xh x x + −′ = ① 1 ,1x e  ∈   ( ) 0h x′ < ( )h x ② ( ]1,x e∈ ( ) 0h x′ > ( )h x 1 12 3h ee e   = − + +   ( ) 3 2h e e e = + + ( ) 1 22 4 0h e h ee e  − = − + + <   ( )max 1 12 3h x h ee e  ∴ = = − + +   ( )max 1 3 2a h x ee ≤ = + −