四川省资阳市—高三第二次高考模拟考试数学理科

四川省资阳市—高三第二次高考模拟考试数学理科

四川省资阳市2008—2009学年高三第二次高考模拟考试 数学（理）‎ 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷共150分，考试时间为120分钟． （考试时间‎3月28日）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． ‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． ‎ ‎3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回．‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么.‎ 如果事件A、B相互独立，那么.‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.‎ 球的表面积，其中R表示球的半径.‎ 球的体积，其中R表示球的半径.‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．‎ ‎1．已知i为虚数单位，集合，，且，则实数m的值为 ‎（A）±2 （B）±1 （C）-1 （D）1‎ ‎2．若，则下列不等式不成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．函数是 ‎（A）最小正周期是π的偶函数 （B）最小正周期是π的奇函数 ‎ ‎（C）最小正周期是2π的偶函数 （D）最小正周期是2π的奇函数 ‎4．已知直线mÌ平面α，条件甲：直线l∥α，条件乙：l∥m，则甲是乙的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 ‎5．已知随机变量ξ的概率密度函数为，则下列结论错误的是 ‎（A） （B）随机变量ξ的期望与标准差均为1‎ ‎（C）的渐近线方程为 （D）在区间上是减函数 ‎6．在右边的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行的数成等差数列，每一纵列的数成等比数列，那么的值为 ‎（A）1 （B）2‎ ‎（C）3 （D）4‎ ‎7．在的展开式中，常数项等于 ‎（A）70 （B）38 （C）-32 （D）-38‎ ‎8．四面体ABCD的外接球球心在CD上，且，，在其外接球面上A、B两点间的球面距离是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9．已知向量，向量，曲线上一点P到的距离为6，Q为PF的中点，O为坐标原点，则 ‎（A）5 （B）1 （C）10或2 （D）5或1‎ ‎10．某班级要从6名男生、4名女生中选派6人参加某次社区服务，要求女生甲、乙要么都参加、要么都不参加，且至少一名女生参加，那么不同的选派方案总数为 ‎（A）117 （B）107 （C）97 （D）82‎ ‎11．已知点，O是坐标原点，点的坐标满足设z为在上的投影，则z的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12．已知函数．规定：给定一个实数，赋值，若x1≤244，则继续赋值，…，以此类推，若≤244，则，否则停止赋值．若最后得到的赋值结果为，则称为赋值了n次．如果赋值k次后该过程停止，那么的取值范围是 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎资阳市2008—2009学年度高中三年级第二次高考模拟考试 数 学（理工农医类）‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 题号 二 三 总分 总分人 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 得分 注意事项：‎ ‎1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上．‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．‎ 图1‎ ‎13．已知函数在R上连续，则______．‎ ‎14．图1是函数的部分图象，则_______．‎ 图2‎ ‎15．如图2，已知A、D、B、C分别为过抛物线焦点F的直线与该抛物线和圆的交点，则__________．‎ ‎16．设，函数，其中a∈R，常数m∈N*，且．如果不等式在区间有解，则实数a的取值范围是________________. ‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且直线l1：与直线l2：互相平行（其中）．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 一个口袋中装有分别标记着数字1、2、3、4的4个球，从这只口袋中每次取出1个球，取出后再放回，连续取三次，设三次取出的球中数字最大的数为随机变量ξ．‎ ‎（Ⅰ）求ξ=3时的概率；‎ ‎（Ⅱ）求ξ的概率分布列及数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图3，已知斜三棱柱ABC－A1B‎1C1的侧面AA‎1C1C是面积为的菱形，∠ACC1为锐角，侧面ABB‎1A1⊥AA‎1C1C，且A1B＝AB＝AC＝1．‎ 图3‎ ‎（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求A1到平面ABC的距离；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B－AC－C1的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设向量，（），函数在上的最小值与最大值的和为；数列的前n项和满足：．‎ ‎（Ⅰ）求和的表达式；‎ ‎（Ⅱ）令，试问：在数列中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有成立？证明你的结论．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图4，已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1、F2，M是椭圆C的上顶点，椭圆C的右准线与x轴交于点N，且，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若⊙O是以F‎1F2为直径的圆，直线l：与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．‎ 图4‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 资阳市2008—2009学年度高中三年级第二次高考模拟考试 数学（理工农医类）试题参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13．3； 14．-4； 15．1； 16．．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：（Ⅰ）∵l1∥l2，，‎ ‎∴， 3分 ‎∴，‎ ‎∴． 6分 ‎（Ⅱ）∵且，‎ ‎∴，∴，当且仅当时取＂＝＂． 8分 ‎∵，∴， 10分 ‎∴，当且仅当时取＂＝＂．‎ 故△ABC面积取最大值为． 12分 ‎18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3． ‎ ‎①三次取球均出现最大数字为3的概率； 1分 ‎②三次取球中有2次出现最大数字3的概率； 3分 ‎③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率． 5分 ‎∴P(ξ=3)=P1＋P2＋P3=． 6分 ‎（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：‎ ‎（k=1、2、3、4）． 8分 则ξ的概率分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ 10分 ‎∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ． 12分 ‎19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA‎1C1C是菱形，∴AA1＝A‎1C1＝C‎1C＝CA＝1，∴△AA1B是等边三角形，设O是AA1的中点，连接BO，则BO⊥AA1． 2分 ‎∵侧面ABB‎1A1⊥AA‎1C1C，∴BO⊥平面AA‎1C1C，菱形AA‎1C1C面积为，知C到AA1的距离为，，∴△AA‎1C1是等边三角形，且C1O⊥AA1，又C1O∩BO=O．‎ ‎∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1． 4分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，． 5分 设是平面ABC的一个法向量，‎ 则即 令，则．设A1到平面ABC的距离为d．‎ ‎∴． 8分 ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC1的一个法向量． 9分 ‎∴． 11分 ‎∴二面角B－AC－C1的余弦值是． 12分 ‎20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴． 2分 当时，． 3分 ‎∵ ①‎ ‎∴ ②‎ ‎②-①得，即， 4分 则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎∴，∴． 6分 ‎（Ⅱ）∵，∴．‎ ‎∵ 7分 可知：当时，；当时，；当时，．‎ 即 10分 可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立． 12分 ‎21．解：（Ⅰ）设，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎．∵，‎ ‎∴，∴，∴． 2分 则N(c，0)，M(0，c)，所以，‎ ‎∴，则，． ‎ ‎∴椭圆的方程为． 4分 ‎（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即, 5分 由消去y得．‎ ‎∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，‎ ‎， ‎ ‎∴，， 7分 ‎∴，‎ 由，，． 8分 ‎． 9分 ‎（或）．‎ 设，则，，，‎ 令，则，‎ ‎∴在时单调递增， 11分 ‎∴S关于μ在区间单调递增，，，‎ ‎∴． 12分 ‎（或，‎ ‎∴S关于u在区间单调递增， 11分 ‎∵，，．） 12分 ‎22．解：（Ⅰ）因为，，则， 1分 当时，；当时，．‎ ‎∴在上单调递增；在上单调递减，‎ ‎∴函数在处取得极大值． 2分 ‎∵函数在区间（其中）上存在极值，‎ ‎∴解得． 3分 ‎（Ⅱ）不等式，即为， 4分 记，∴， 5分 令，则，∵，∴，在上递增，‎ ‎∴，从而，故在上也单调递增， ‎ ‎∴，‎ ‎∴． 7分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即， 8分 令则， 9分 ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎………‎ ‎， 10分 叠加得：‎ ‎． 12分 则，‎ ‎∴. 14分