河北省武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

河北省武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题

河北武邑中学2019-2020学年高三上学期期末考试 数学理科试卷 ‎ 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上）‎ ‎1． ( )‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎2．设为虚数单位，复数的实部为（ ）‎ A.2 B.-2 C. 3 D.-3 ‎ ‎3.若向量，则“”是“”的（   ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（   ）‎ A. B. C. D. ‎5.已知，且，则的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调减区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 如图，在平行四边形中,为的中点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O为圆心的大圆直径为4,以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则等于（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎11. 已知函数，若，则的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎12. 已知双曲线：，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间.已知为原点，且，则 A. B. C. D.‎ 二、填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡横线上。‎ ‎13. 数列满足前项和为，且，则的 通项公式 　 ． ‎ ‎14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：‎ ①所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；‎ ②任意相邻的两项，满足.‎ 根据上面的信息完成下面的问题：‎ ‎（i）数列 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）；‎ ‎（ⅱ）若，则数列 “有趣数列”（填“是”或者“‎ 不是”）.‎ ‎15．已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则△的面积为 ．‎ ‎16.已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则 双曲线的离心率为　 ． ‎ 三、解答题: 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 ‎ ‎ （一）必考题: 共70分 ‎17. (本小题满分12分) ‎ 在中，内角、、所对的边分别为、、.已知 .‎ ‎⑴求证：、、成等差数列；‎ ‎⑵若，，求和的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 棋盘上标有第0，1，2，，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为.（1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望；‎ ‎（2）证明：；并求,的值.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧棱底面,底面是正三角形,‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为 ‎(1)请将下面的列联表补充完整;‎ 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 ‎25‎ 女 ‎20‎ 合计 ‎100‎ ‎(2)能否在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;‎ ‎(3)已知在患伤风感冒疾病的名女性幼儿中,有名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的名女性中,选出名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为,求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:‎ 参考公式：，其中 ‎21.（本小题满分12分） ‎ ‎ 已知函数，，其中是自然对数的底数．‎ ‎ （1），使得不等式成立，试求实数的取 ‎ 值范围；‎ ‎ （2）若，求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22. [选修4-4:坐标系与参数方程] （本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ＝2cos θ，‎ ‎（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．‎ ‎23. [选修4-5:不等式选讲] （本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若，均为正数，且，求的最小值．‎ 高三数学参考答案 ‎1-5 ABDCB 6-10 AADBA 11-12 BB ‎ 13. 14．是；是 15．； 16. ‎ ‎ 17. 解：（1）因为，‎ ‎ 所以. ………………………………………………1分 ‎ 由于在中，，所以，‎ 所以. ……………………………………………………3分 ‎ 由正弦定理，得.‎ ‎ 所以成等差数列. …………………………………………………………5分 ‎（2）在中，，‎ 由余弦定理，得 ,‎ 即. ……………………………………………………………7分 由（1）知，所以，‎ 解得. …………………………………………………………………………9分 由正弦定理，得. ‎ 在中，因为于，所以，‎ 所以. ……………………………10分 所以. ………………………………………12分 ‎18.解：（1）‎ 分布列如下：‎ X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎.……………6分 ‎（2）易知棋子先跳到第站，再掷出反面，其概率为；棋子先跳到第站，再掷出正面，其概率为，因此有，即 ‎，也即.‎ 故数列是首项为 ，公比为的等比数列.因此有，由此得到 ‎，‎ 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有.……12分 ‎19.解:(1)证明:在线段上取一点.使.连结.‎ 在中.因为 所以 所以 所以，且 因为.‎ 所以 所以且 故四边形为平行四边形,所以 又平面平面.‎ 所以平面.‎ ‎(2)以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 因为底面是正三角形，‎ 所以点 则 设平面的法向量为.‎ 由 令.得平面的一个法向量为 又 设直线与平面BCF所成角的大小为.‎ 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎20.解：(1)列联表补充如下;‎ 患伤风感冒疾病 不患伤风感冒疾病 合计 男 女 合计 计算的观测值为 所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.‎ ‎(3)根据题意,的值可能为.‎ 则 故的分布列如下：‎ 故的数学期望：‎ ‎ 21.解：（1） 由题意，，使得不等式成立，等价于． 1分 ‎，‎ 当时，，故在区间上单调递增，‎ 所以时，取得最大值1．即 3分 又当时，，‎ ‎ 所以在上单调递减，所以，‎ ‎ 故在区间上单调递减，因此，时，． ‎ ‎ 所以，则 ． 实数的取值范围是 ……6分 ‎（2）当时，要证，只要证， ‎ ‎ 即证，由于，‎ ‎ 只要证． 7分 下面证明时，不等式成立．‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 当时，，单调递减； ‎ ‎ 当时，，单调递增．‎ ‎ 所以当且仅当时，取最小值为1． 9分 法一：，则，即，即，‎ ‎ 由三角函数的有界性，，即，所以，而，‎ ‎ 但当时，；时，‎ ‎ 所以，，即 ‎ 综上所述，当时，成立． 12分 法二：令，其可看作点与点连线的斜率，‎ ‎ 所以直线的方程为：，‎ ‎ 由于点在圆上，所以直线与圆相交或相切，‎ ‎ 当直线与圆相切且切点在第二象限时，‎ ‎ 直线取得斜率的最大值为．而当时，；‎ ‎ 时，．所以，，即 ‎ 综上所述，当时，成立． 12分 法三：令，则，‎ ‎ 当时，取得最大值1，而，‎ ‎ 但当时，；时，‎ ‎ 所以，，即 ‎ 综上所述，当时，成立． 12分 ‎22. 解：‎ ‎（1）因为l的倾斜角为α，l过点M(－2，－4)，所以直线l的参数方程是 (t是参数)．‎ 因为ρsin2 θ＝2cos θ，所以ρ2sin2 θ＝2ρcos θ，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y得曲线C的直角坐标方程是y2＝2x．‎ ‎ …………（5分）‎ ‎（2）把l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2 α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0．‎ 当Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2 α时，设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则|MA|·|MB|＝|t1t2|＝．‎ 由＝40，0≤α＜π，Δ＞0，得α＝．‎ ‎ …………（10分）23. 【详解】（Ⅰ） 或 或 ,不等式解集为.‎ ‎（Ⅱ） ,,又,,‎ ‎,,‎ 当且仅当 即时取等号,所以.‎