上海市闵行区七宝中学2020届高三上学期开学考数学试题

上海市闵行区七宝中学2020届高三上学期开学考数学试题

‎2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数学试卷 一、填空题（本大题共12小题）‎ ‎1.已知全集,集合,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合补集和交集的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】因为全集,集合,,‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.‎ ‎2.已知复数是虚数单位，则______‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由商的模等于模的商求得,再由求解．‎ ‎【详解】解：,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】本题考查了复数模的求法,属于基础题.‎ ‎3.关于x，y的二元一次方程组无解，则______‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对m分类讨论,利用两条直线平行时无解，即可得出.‎ ‎【详解】解：时,方程组化为:,无解,满足题意,‎ 时，两条直线平行时,可得:,无解.‎ 综上可得:．‎ 故答案为:0．‎ ‎【点睛】本题考查了两条直线平行的条件、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎4.直线的一个方向向量，直线的一个法向量，则直线与直线的夹角是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得直线的一个方向向量,先用两个方向向量的数量积的定义，求得直线与直线的夹角的余弦值,可得直线与直线的夹角．‎ ‎【详解】解：直线的一个方向向量,直线的一个法向量,‎ 故直线的一个方向向量,‎ 设直线与直线的夹角是,则，‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,直线的方向向量和法向量,属于基础题.‎ ‎5.已知为钝角三角形，边长，，则边长______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理和钝角的余弦值小于0可求得的范围,进而利用两边之差和小大于第三边,求得的另一个范围,最后取交集,即可得解.‎ ‎【详解】解：若c是最大边，则．‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ 若b最大边,必有,‎ 有，‎ 解可得，‎ 又，‎ ‎，‎ 综合可得．‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理的运用,余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题.‎ ‎6.设常数，展开式中的系数为，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式的通项公式和已知求出r，再代入求a，从而将a代入所求表达式，结合等比数列的前n项和公式求和并取极限即可.‎ ‎【详解】展开式的通项公式为，‎ 令，解得，则，解得，‎ 所以，.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.‎ ‎7.已知，则此函数的值域是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,由x的范围求得的范围,再由二次函数求值域.‎ ‎【详解】解:令,‎ ‎,,‎ 则原函数化为,.‎ ‎,．‎ 原函数值域为 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域,属于基础题.‎ ‎8.若函数的值域为，则的最小值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数性质及值域,可求得的取值范围,进而求得的最小值.‎ ‎【详解】函数 因为,所以 由正弦函数的图像与性质可知,当时, ‎ 且在时的值域为 所以 解不等式可得 所以的最小值为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质,三角函数中参数最值的求法,属于中档题.‎ ‎9.PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得 ‎10.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，直线l的参数方程为，若C上的点到l距离的最大值为，则______‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设曲线C上的点的坐标为，则P到直线的距离,由C上的点到距离的最大值为,能求出的值．‎ ‎【详解】解：曲线C的参数方程为,为参数，‎ 直线的参数方程为,‎ 设曲线C上的点的坐标为,‎ 则P到直线的距离:‎ ‎，‎ ‎,C上的点到距离的最大值为，‎ ‎,解得.‎ 故答案为:12.‎ ‎【点睛】本题考查参数值的求法，考查借用圆锥曲线的参数方程和点到直线的距离求参数的问题，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎11.已知、b、都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的定义域判断其值域，由反函数的定义域为，可得函数的值域为，即可得出结果.‎ ‎【详解】由其定义域为，因为，所以，‎ ‎(1)当，由解析式可得，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 即的值域为；‎ 又函数的反函数的定义域是，‎ 所以函数的值域为，因为、b、都是实数，可以大于；‎ 因此值域可以为，不满足题意；‎ ‎（2）当时，由解析式可得：‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 即的值域为；‎ 同（1）可知：函数的值域必须为，因为、b、都是实数，可以大于，因此符合题意；‎ 综上：的所有取值构成的集合是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查分段函数与反函数的问题，熟记函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于、两点，若，，则的渐近线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意画出图形，结合已知条件可得， 又A为的中点，可得，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，，，，‎ 又A为的中点，∴，‎ 而直线，为两条渐近线，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 的渐近线方程为 故答案为 ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，数形结合的思想方法，计算能力，属于中档题 二、选择题（本大题共4小题）‎ ‎13.设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】∵A､B､C三点不共线,∴‎ ‎|+|>|||+|>|-|‎ ‎|+|2>|-|2•>0与 的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.‎ ‎14.若，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：，，‎ 则，，，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎15.定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：‎ ‎,01010011;010101011,共14个 ‎【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．‎ ‎16.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：（ ）‎ A. 设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”‎ B. 函数的充要条件是有最大值和最小值 C. 若函数，的定义域相同，且，，则 D. 若函数有最大值，则 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；‎ B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.‎ ‎【详解】对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；‎ 对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．‎ ‎．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；‎ 对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．‎ 对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符； 假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即 ‎．‎ ‎，即，故命题D是真命题．‎ 故选ACD.‎ ‎【点睛】本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ ‎17.关于x的不等式的解集为．‎ 求实数a，b的值；‎ 若，，且为纯虚数，求的值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得:,b是方程的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;‎ ‎(2)利用(1)的结果得为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．‎ ‎【详解】解：(1)不等式即的解集为．‎ ‎,b是方程的两个实数根,由，，‎ 解得,．‎ ‎(2)由(1)知,为纯虚数，‎ ‎,,‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为PD中点，点F在PC上，且．‎ 求证：平面PAD；‎ 若平面AEF与线段PB交于点G,求的值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题中条件证明,,由此利用线面垂直的判定定理能证明平面PAD．‎ 以A为原点，AM，AD，AP所在直线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出的值.‎ ‎【详解】解：证明:平面ABCD,面ABCD,,‎ ‎,,平面PAD.‎ 解：平面ABCD,,,‎ ‎,,E为PD中点,点F在PC上,且．‎ 过A作,交BC于M,‎ 以A为原点,AM,AD,AP所在直线为轴,建立空间直角坐标系,‎ 则由题中等量关系有下列坐标:‎ A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),‎ F(),E(0,1,1),M(2,0,0),B(2,-1,0),‎ ‎1，，,‎ 设平面AEF的法向量,‎ 则,取，得 设,,‎ 则,解得,,,‎ ‎，‎ 平面AEF与线段PB交于点G,‎ ‎，‎ 解得,故的值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查两线段的比值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎19.某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中，且 ‎，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为．‎ 用表示多边形MAPBN的面积，并确定的取值范围；‎ 若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当为何值时，能使种植蔬菜的收益最大．‎ ‎【答案】（1）,;（2）时，种植蔬菜的收益最大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算AB,梯形和三角形的高度,分别求出梯形和三角形的面积即可得出答案,根据求出的范围；‎ 根据和角公式求出面积最大值及其对应的的值即可．‎ ‎【详解】解：等腰梯形MNBA的高为,‎ ‎,,‎ 等腰梯形MNBA的面积为,‎ 在等腰三角形PAB中，P到AB的距离为，‎ 故等腰三角形PAB的面积为,‎ 多边形MAPBN的面积为．‎ ‎，‎ ‎,即,‎ ‎．‎ 令，‎ ‎．‎ 其中，，即．‎ 当即时，取得最大值，此时种植蔬菜的收益最大．‎ ‎【点睛】本题借助实际应用考查了解析式的求解,三角函数恒等变换,函数最值的计算,考查了学生的知识牵引和综合运算能力,属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．‎ 求椭圆C的方程；‎ 若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；‎ 是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）满足条件的直线不存在，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件直接求出,进而求出椭圆标准方程;‎ 设,表示出,求出其范围;‎ 设CD的中点为;由,则;得到其斜率的乘积为,最后列取方程联立计算即可.‎ ‎【详解】解：由题意可知,,则;‎ 所以椭圆C的方程为:;‎ 由题意可知,,设,‎ 则,;‎ 所以的取值范围是;‎ 假设存在满足条件的直线,根据题意得直线的斜率存在;‎ 则设直线的方程为：；‎ 消化简得:;‎ ‎,则;‎ ‎；‎ 设，则CD的中点为；‎ ‎,；‎ ‎，则;‎ ‎，即;即,无解;‎ 故满足条件的直线不存在.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,向量的数量积,直线的垂直,设而不求的思想方法,关键在于将几何条件进行适当的转化,还考查了学生的综合运算能力,属于中档题.‎ ‎21.若定义在R上的函数满足：对于任意实数x、y，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数．‎ 已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；‎ 在的条件下，定义数列2，3，求的值．‎ 若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有，证明：函数为偶函数，设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1），（2）（3）证明见解析，，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是抽象函数基础题,令,求得;令,求得;‎ 对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令，,利用题中关系式推导出递推公式,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;‎ 属于难题,因为的铺垫,代入特定的数即令,y为任意实数即可证明偶函数,证明与的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点.‎ ‎【详解】解：令，，则，所以．‎ 令，，则，所以．‎ 令，，其中n是大于1的整数，则，所以，即．‎ 又因为，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以，则．‎ 所以原式．‎ ‎(3)证明:由题意函数定义域为R关于原点对称,‎ 令,y为任意实数,则，即，所以是偶函数．‎ 令N为,分母的最小公倍数,并且,,都是自然数,并且．‎ 令数列满足，，1，下证：数列单调递增．‎ ‎，所以；‎ 若，n是正整数，即；‎ 令，，则，即．‎ 所以．‎ 综上,数列单调递增,所以，又因为是偶函数，所以 ‎【点睛】本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.‎ ‎ ‎