中原名校2020届高三下学期质量考评一数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com ‎2019-2020学年高三第二学期质量考评数学卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1.复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再根据虚数概念求解.‎ ‎【详解】因为，所以虚部为 故选B 点睛】本题考查复数运算以及虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2.设集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，利用并集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）‎ A. 平均数为20，方差为4 B. 平均数为11，方差为4‎ C. 平均数为21，方差为8 D. 平均数为20，方差为8‎ ‎【答案】D - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.‎ ‎【详解】样本的平均数是10，方差为2，‎ 所以样本的平均数为,方差为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.‎ ‎4.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，‎ 根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5.已知向量，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎【答案】A - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．‎ ‎【详解】解：向量，，‎ ‎，则，即，‎ 或者-1，‎ 所以是或者的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎6.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图象，只需将的图象（ ）‎ A 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意有的周期为.而，故应左移.‎ ‎7.根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )‎ A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1‎ - 23 -‎ C. 对所有的解释变量（），的值一定与有误差 D. 若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；‎ 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；‎ 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；‎ 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.‎ - 23 -‎ ‎【详解】‎ 如图所示，利用抛物线的定义知：‎ 当三点共线时，的值最小，且最小值为 抛物线的准线方程：，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.‎ - 23 -‎ ‎【详解】三棱锥的实物图如下图所示：‎ 将其补成直四棱锥，底面，‎ 可知四边形为矩形，且，.‎ 矩形的外接圆直径，且.‎ 所以，三棱锥外接球的直径为，‎ 因此，该三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎10.在中，角，，所对的边分别为，，.若，，，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将，变形整理为，再根据正弦定理，变形整理为，确定，然后根据余弦定理，确定，根据三角形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】依题意，，即 - 23 -‎ ‎，故，故，即，因为，故；由余弦定理，，即，即，则，则的面积.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题.‎ ‎11.若，，为任意实数，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. 18 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得在为圆心，1为半径的圆上，表示点与点的距离的平方，设过切点的切线与过的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程求得切点，圆心和切点的距离，可得距离的最小值为，可得所求值.‎ ‎【详解】解：，‎ 可得在为圆心，1为半径的圆上，‎ 表示点与点的距离的平方，‎ 又在曲线上，设曲线上一点为 设过点的切线与点与的连线垂直，‎ 可得，‎ 即有，‎ - 23 -‎ 由在递增，且，‎ 可得切点为，‎ 圆心与切点的距离为，‎ 可得的最小值为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查两点的距离的运用，圆的方程和运用，考查导数的几何意义，以及转化思想和运算能力，属于中档题.‎ ‎12.若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，判断的单调性和极值，根据有两解得出的范围.‎ ‎【详解】解：令可得，‎ 令，则.‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 当时，取得极小值，‎ 又，，，‎ - 23 -‎ 有两解，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点与函数单调性，极值的关系，考查函数单调性的判断，属于中档题.‎ 二、填空题（共4小题）‎ ‎13.甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试，最终只有一人能够被会宁一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误，则甲、乙、丙三人被录用的是__________‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲说的是真话，甲说的是假话来分析，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；‎ 假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，‎ 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；‎ 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立.‎ 故答案为：甲.‎ ‎【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.‎ ‎14.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分割面积法求出内切圆半径，进而求出内切圆的面积，再利用几何概型的概率公式计算即可.‎ ‎【详解】解：直角三角形两直角边长分别为5步和12步，‎ 斜边长为13步，‎ - 23 -‎ 设内切圆的半径为，则，，‎ 内切圆的面积为：，‎ 则豆子落在其内切圆外的概率是：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，是基础题.‎ ‎15.已知不等式表示的平面区域为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知不等式组画出可行域，可通过直线平移求得直线的纵截距最大时，最小，代入点坐标求得，则，即可得到结果.‎ ‎【详解】解：由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：‎ 可求得，，.‎ 当直线经过点，时，直线的纵截距最大，最小 ‎，.‎ 故答案为：.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求解的最值的问题，属于基础题.‎ ‎16.已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.‎ ‎【详解】是抛物线准线上的一点 ‎ 抛物线方程为 ，准线方程为 过作准线的垂线，垂足为，则 ‎ ‎ 设直线的倾斜角为，则 - 23 -‎ 当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切 设直线的方程为，代入得：‎ ‎，解得： 或 双曲线的实轴长为，焦距为 双曲线的离心率 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.‎ 三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知数列的前项和为，点在直线上，‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由点在直线上代入得到的关系，然后求出通项公式 ‎⑵由（1）得，运用错位相减法求出前项和 ‎【详解】(1)点在直线上，，‎ ‎ . ‎ 当时， 则， ‎ 当时，,‎ ‎ ‎ - 23 -‎ 两式相减，得, ‎ 所以. ‎ 所以是以首项为，公比为等比数列，所以. ‎ ‎(2), ‎ ‎ ,‎ ‎ , ‎ 两式相减得:, ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用，错位相减求和的运用，解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤．‎ ‎18.在三棱柱中，，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）连接交于点，连接.利用中点可得，所以平面.（2）取中点，连接，过点作于，连接,利用等腰三角形和射影的概念可知平面，所以，所以平面 - 23 -‎ ‎，所以.利用侧面的面积可计算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：连接交于点，连接.‎ 则为的中点，又为的中点，所以，且平面，平面，则平面.‎ ‎（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.‎ 因为点在平面的射影在上，且，‎ 所以平面，∴，，∴平面，‎ 则.‎ 设，在中，，，‎ ‎∴，，，‎ 由，可得.‎ 则 ‎ ‎ .‎ 所以三棱锥的体积为.‎ - 23 -‎ ‎19.世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识､在共识中谋合作､在合作中创共赢.2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:‎ ‎（1）求，的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能 否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”?‎ 男性 女性 总计 现场报名 ‎50‎ 网络报名 ‎31‎ 总计 ‎50‎ 参考公式及数据:，其中.‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10828‎ ‎【答案】（1），，（岁）（2）列联表见解析，不能 ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的频率，由频率和为1，得到的一个关系式，再由中位数为34，又可得另一个关系式，即可求出，进而求出平均数；‎ ‎（2）根据数据关系补全列联表，求出的观测值，结合提供数据，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）因为志愿者年龄在内的人数为，‎ 所以志愿者年龄在内的频率为:；‎ 由频率分布直方图得:，‎ 即，①由中位数为,‎ 可得，即，②‎ 由①②解得，.‎ 志愿者的平均年龄为 ‎（岁）. ‎ ‎（2）根据题意得到列联表:‎ 男性 女性 总计 现场报名 网络报名 总计 所以的观测值， 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系.‎ ‎【点睛】本题考查补全频率直方图，以及中位数、平均数求法，考查独立性检验，意在考查计算求解能力，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎20.已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎（1）求椭圆标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于两点（点不同于椭圆的右顶点），证明：直线过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由椭圆的对称性知两点关于原点对称，不妨设在第一象限，由弦长可得，代入，再结合可解得；‎ ‎（2）只要设出直线方程：，把代入椭圆方程可解得M点坐标，同理可解得N点坐标，由两点求出直线MN的方程（注意分类讨论MN与垂直和不垂直两种情形），通过直线方程可观察出直线所过定点．‎ 详解：（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，又长为，‎ ‎∴，∴，可得，‎ 又，‎ ‎∴，故题意的标准方程为，‎ ‎（2）显然直线的斜率存在且不为0，设，‎ 由得，∴，‎ - 23 -‎ 同理可得 当时，，所以直线的方程为 整理得，所以直线 当时，直线的方程为，直线也过点 所以直线过定点.‎ 点睛：在圆锥曲线中证明直线过定点，主要采用“设而不求法”，通常求出直线与圆锥曲线的交点坐标（本题是通过设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立求得交点M，N坐标），然后求出直线方程，观察直线方程可证此直线过定点．‎ ‎21.已知函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若存在，满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 实数的值为.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程，与对照后可得．（2）问题可转化为在上有解，令，，结合导数可得，故得实数的取值范围为．‎ 详解：（1）函数的定义域为，‎ - 23 -‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ 又,‎ ‎∴所求切线方程为，‎ 即.‎ 又函数在点处的切线方程为，‎ ‎∴.‎ 所以实数的值为.‎ ‎（2）由题意得，‎ 所以问题转化为在上有解.‎ 令，，‎ 则 .‎ 令，‎ 则当时，有.‎ 所以函数在区间上单调递减，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以.‎ 所以实数的取值范围为.‎ - 23 -‎ 点睛：对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数，转化为求函数最值的问题处理．解题时注意常用的结论：若有解，则；若有解，则．当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替，解题时特别要注意不等式中的等号能否成立．‎ ‎22.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.‎ ‎（2）直线与曲线方程联立，得，求得弦长和点到直线的距离，再求的面积.‎ ‎【详解】（1）由已知消去得，则，‎ 所以，所以直线的极坐标方程为．‎ - 23 -‎ ‎（2）由，得，‎ 设，两点对应的极分别为，，则，，‎ 所以，‎ 又点到直线的距离 所以 ‎【点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的范围，再取交集，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时，等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为：.‎ - 23 -‎ ‎（2）依题意即在时恒成立，‎ 当时，，即，‎ 所以对恒成立 ‎∴，得；‎ 当时，，‎ 即，‎ 所以对任意恒成立，‎ ‎∴，得∴，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎