2018-2019学年天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）高一上学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．设全集为，集合，，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求得集合B，然后进行集合的混合运算即可.‎ ‎【详解】‎ 求解指数不等式可得，‎ 则，则.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示方法，集合的交并补混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．函数的定义域为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得到关于x的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 函数有意义，则，解得。‎ 故函数的定义域为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．‎ ‎3．已知函数，，则的零点所在的区间是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合零点存在定理确定的零点所在的区间即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知函数在上单调递减，且函数为连续函数，‎ 注意到，，，，‎ 结合函数零点存在定理可得的零点所在的区间是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 应用函数零点存在定理需要注意：‎ 一是严格把握零点存在性定理的条件；‎ 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；‎ 三是函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上只有一个零点.‎ ‎4．已知，则a，b，c的大小关系为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ 由指数函数的性质可知，‎ 由对数函数的性质可知：，，‎ 则a，b，c的大小关系为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎5．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性确定函数值即可.‎ ‎【详解】‎ 由奇函数的性质结合题意可得：‎ ‎.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．若，则实数的取值范围为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合幂函数的单调性得到关于m的不等式组，求解不等式组即可确定m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 幂函数在定义域上单调递增，据此可得不等式组：‎ ‎，求解不等式组可得 则实数的取值范围为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的定义域，幂函数的单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性求解实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性可知不等式等价于：‎ ‎，则，据此可得，‎ 即的取值范围是.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．‎ ‎8．已知函数在上有最小值－1，则a的值为 A． －1或1 B． ‎ C． 或－1 D． 或1或－1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意结合二次函数的性质分类讨论求解实数a的值即可.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的对称轴为，‎ 当时，函数在区间上单调递增，‎ 函数的最小值为，解得：，不满足，舍去；‎ 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 函数的最小值为，解得：，满足；‎ 当时，函数在区间上单调递减，‎ 函数的最小值为，解得：，不满足，舍去；‎ 综上可得，a的值为－1或1.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ ‎9．设函数的定义域为，若在上单调递减，且为偶函数，则下列结论正确的是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意结合函数的单调性和函数的对称性确定函数值的大小即可.‎ ‎【详解】‎ 为偶函数，则，函数图像关于直线对称，‎ 在上单调递减，则在上单调递增，‎ 由对称性可得，由于，故，‎ 即.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．已知函数 ，若方程有4个不同实根，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意分类讨论和两种情况求解实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知一元二次方程，‎ 即在上有两个不相等的实数根，‎ 据此有：，据此可得：，‎ 一元二次方程，‎ 即在上有两个不相等的实数根，‎ 据此有：，据此可得：，‎ 综上可得，的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次方程的根的分布，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题 ‎11．已知集合，且，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意结合集合元素的互异性分类讨论求解实数m的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意分类讨论：‎ 若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；‎ 若，解得：或，‎ 其中不满足集合元素的互异性，舍去，‎ 综上可得，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合与元素的关系，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12．已知定义在上的函数满足，则＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ 与联立可得：＝.‎ ‎【点睛】‎ 求函数解析式常用方法：‎ ‎(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；‎ ‎(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．‎ ‎13．已知函数 ，且在区间上单调递减，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合对数函数的性质和复合函数的单调性求解实数a的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由于，故一次函数单调递增，‎ 复合函数 ，且在区间上单调递减，则，‎ 且真数在区间上恒正，‎ 由一次函数的单调性可知，当时，，解得，‎ 综上可得，的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．已知函数 则函数（，是自然对数的底数）的所有零点之和为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合函数的解析式和函数的对称性确定所有零点之和即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，，函数在定义域内单调递增，‎ 由可得.‎ 当时，的图像关于对称，‎ 绘制函数图像如图所示，易知两个零点之和为，‎ 综上可得，函数的所有零点之和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点的定义，函数对称性的应用，分段函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题 ‎15．已知函数（a＞0且a≠1）．‎ ‎（1）若，求函数的零点；‎ ‎（2）若在上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．‎ ‎【答案】（1）0；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意首先求得a的值，据此可得函数的解析式，然后求解函数的零点即可；‎ ‎（2）由题意结合函数的单调性可知在 上的最大值与最小值互为相反数，据此解方程求解实数a的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，∴，‎ 即，∴a=2，‎ ‎∴，‎ 令，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴x+2=2，∴x=0，‎ 即的零点为x=0.‎ ‎（2）∵无论a＞1或0＜a＜1，均为单调函数，‎ ‎∴最值均在区间端点取得，‎ ‎∵在上的最大值与最小值互为相反数，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵a＞0且a≠1，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求解，对数函数的单调性，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．设集合，集合，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求得集合A，然后分类讨论集合和两种情况即可求得实数m 的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ ‎①当时，得，解得，‎ ‎②当时，得，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎17．已知函数是奇函数，且，其中.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）判断在上的单调性，并加以证明.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】（1）由题意结合奇函数的性质和求解实数m,n的值即可；‎ ‎（2）函数在上为增函数，由题意结合函数单调性的定义证明函数的单调性即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵是奇函数，∴.‎ 即，‎ 比较得，‎ 又，‎ ‎∴即，得，‎ 即，.‎ ‎（2）函数在上为增函数，证明如下：‎ 由（1）知，‎ 设是区间上的任意两个数，且，‎ 则，‎ ‎∵，∴,，‎ ‎∴，即，‎ 故函数在上为增函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．已知是定义在上的减函数，且，满足对任意，都有.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断的奇偶性并证明；‎ ‎（3）解不等式.‎ ‎【答案】（1）0；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）利用赋值法，令即可求得的值；‎ ‎（2）由题意结合函数的定义域和与的关系即可确定函数的奇偶性；‎ ‎（3）由题意可得， 结合函数的单调性和函数的奇偶性求解不等式的解集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，得，所以. ‎ ‎（2）在上是奇函数，‎ 定义域为，关于原点对称.‎ 令，得， ‎ 即，‎ 所以在上是奇函数.‎ ‎（3）令，得 所以， ‎ 由（2）知为奇函数，所以，‎ 所以不等式等价于，‎ 又因为在上是单调递减函数，‎ 所以，‎ 解得.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法.‎ ‎19．已知二次函数 ，‎ ‎（1）若，且对，函数的值域为，求的表达式；‎ ‎（2）在(1)的条件下，函数在上单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，，且为偶函数，证明 ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析 ‎【解析】（1）由题意首先求得a,b的值，据此即可确定函数f(x)的解析式，即可确定函数的表达式；‎ ‎（2）由题意结合函数的解析式得到关于m的不等式组，求解不等式组即可确定实数的取值范围；‎ ‎（3）由题意结合函数的性质可得，且，据此结合函数的解析式即可证得题中的不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴.‎ 又对，函数的值域为，‎ ‎∴，解得，‎ 所以.‎ 即 ‎（2）由（1）知 由时，单调递减，‎ 故，‎ 解得，‎ 所以，当时，函数在上单调递减.‎ ‎（3）证明∵是偶函数，∴，‎ 即 因为，不妨令，则，‎ 又，所以，且，‎ 故，‎ 所以的值大于零.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的值域，函数的单调性的应用，二次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎