2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合 ,且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）‎ A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ‎【答案】D ‎【解析】由题意：=，{7}，{4，7}，{7，8}，{4}，{8}，六个 故选D ‎2．设全集U是实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 阴影部分表示的是，‎ 根据题意，或，‎ 则，‎ 所以，‎ 故选C.‎ 本题主要考查集合的运算.‎ ‎3．已知集合，则 A．[-2，-1] B．[-1，2) C．[-1，1] D．[1，2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：化简集合，利用数轴法计算可得.‎ 详解：因为，‎ 所以：‎ 故选A.‎ 点睛：集合是每年高考的必考题，属于得分题，一般以小题的形式出现，解题时应注意区别符号，避免混淆出错..‎ ‎4．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】比较两个函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A，两个函数的定义域均为，且，故为同一函数；‎ 对于B，两个函数的对应法则不一样，所以两个函数不是同一函数；‎ 对于C，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；‎ 对于D，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；‎ 综上，选A.‎ ‎【点睛】‎ 判断两个函数是否为同一函数，一般先比较它们的定义域，再比较它们的对应法则，这两者都相同，它们才是同一函数.‎ ‎5．已知函数定义域是 ，则的定义域是（ ）‎ A．[0,] B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数定义域得到的取值范围，进而得到，解不等式，即可得到的定义域.‎ ‎【详解】‎ 因为函数定义域是 所以 所以，解得：‎ 故函数的定义域是[0,]‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎6．函数f（x）=的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求函数的定义域，再结合二次函数的单调性，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 函数有意义须，解得，‎ 而对称轴方程为，‎ 函数的递增区间为.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，要注意定义域，研究函数性质，定义域优先，属于基础题.‎ ‎7．已知定义域为的函数在上是减函数, 又是偶函数, 则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件将自变量转化到上，再根据单调性判断大小 ‎【详解】‎ 因为是偶函数,所以 因此，‎ 因为在上是减函数,所以，选B ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎8．已知，则 A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】．故选:A．‎ ‎9．函数（）的图象不可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】当，为图，当， ，为图D，当时，为图B ，选C.‎ ‎【点睛】函数图像问题首先关注定义域，其次根据函数的奇偶性排除部分选择支，进而用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等.本题只需对 的不同情况进行探讨，最终得出答案.‎ ‎10．函数的奇偶性为（ ）‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】先求出的定义域，然后对进行化简，再判断与 的关系，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 所以有，解得，‎ 所以定义域为 此时恒成立，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以是偶函数，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，属于简单题.‎ ‎11．若f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)▪f(b)且f(1)=2,则（ ）‎ A．2019 B．2020 C．1009 D．1010‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件，令，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ 由已知，令，‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数求值问题，注意条件等式应用是解题的关键，属于基础题.‎ ‎12．已知函数若关于x的方程f(x)-kx=k有4个不等实数根，则实数k范围为（ ）‎ A．[4,5) B．(4,5] C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出函数解析式，方程化为，方程解转化为函数有4个不同的交点，作出图像，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 当，而 ‎，‎ 作出函数与函数的图像，‎ 如下图所示，代入，解得，‎ 代入，解得，‎ 实数取值范围为.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式以及图像，并利用数形结合思想求方程的解，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13．如果集合中只有一个元素，那么的值是___________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】当时, 满足题意;‎ 当时,;所以的值是或 点睛：集合元素互异性导致方程的根的个数与集合中元素个数不一定等价，注意区别与分类讨论 ‎14．已知，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】右式表示为的多项式，左右两边换成，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由复合函数的解析式求函数的解析式，属于基础题.‎ ‎15．已知函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对分类讨论，分和，设值域为，则，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，值域为，满足题意，‎ 当时，设值域为，则 ‎，解得，‎ 综上a的取值范围是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的值域，考查分类讨论思想，解题的关键要转化为与二次函数值域关系，属于中档题.‎ ‎16．已知函数在上单调递増，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先确定二次函数在上单调递增，需和反比例函数在上单调递增，需，与此同时还需满足当时，二次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，从而得出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由已知得反比例函数在上单调递增，需，‎ 二次函数在上单调递增，则需对称轴，所以，‎ 同时当时，，解得，‎ 所以，‎ 故填：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的单调性，除了需满足在每一段的范围内的单调性的同时，还需满足端点处的函数值的大小关系，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，.‎ ‎(1)当时，求;‎ ‎(2)若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）求出集合，即可得结果；‎ ‎（2），对集合是否空集讨论，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎；‎ ‎（2）若，‎ 若，，‎ 解得，‎ 综上，实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的基本运算，要注意空集情况，属于基础题.‎ ‎18．已知二次函数的最小值为1，且.‎ ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数在区间的最小值为，写出的表达式.‎ ‎【答案】（1）.;（2）; （3）.‎ ‎【解析】（1）根据题意可得出二次函数顶点坐标，设出解析式，代入，即可求出结果；‎ ‎（2）由二次函数在区间不单调，可得出对称轴的位置，即可求出的取值范围；‎ ‎（3）根据对称轴是否在区间进行分类讨论，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）二次函数的最小值为1，且，‎ 的顶点坐标为，设，‎ ‎；‎ ‎（2）的对称轴方程为，‎ 在区间上不单调，‎ ‎，解得；‎ ‎（3）当时,在区间是单调递减，‎ ‎；‎ 当时，；‎ 当时,在区间是单调递增，‎ ‎.‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二次函数的解析式、二次函数的单调性和最值，属于中档题.‎ ‎19．已知函数的定义域为R,对任意实数都有，且当时，．‎ ‎（1）求证：函数是奇函数；‎ ‎（2）判断函数的单调性；‎ ‎（3）解不等式.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）在是减函数；（3）.‎ ‎【解析】（1）用赋值法先求出，再令，即可得证；‎ ‎（2）对已知等式赋值，令，结合函数单调性定义，即可证明结论；‎ ‎（3）利用单调性和奇偶性，转化为自变量的不等量关系，即可解出不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），令得，‎ 令，‎ ‎，‎ 是奇函数；‎ ‎（2）令，‎ ‎，‎ 在是减函数；‎ ‎（3）‎ ‎，在是减函数；‎ 不等式等价于，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的奇偶性和单调性，以及利用性质解不等式，解题重点要对条件等式合理赋值，属于较难题.‎ ‎20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。‎ ‎（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；‎ ‎（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？‎ ‎【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元 ‎【解析】（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，‎ 可知，，‎ 所以，.‎ ‎（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，‎ 总的理财收益.‎ 令，则，，‎ 故，‎ 所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21．已知函数其图象如图.‎ ‎（1）求函数在上的解析式；‎ ‎（2）若，求函数在上的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，可得，进而得，即可得到函数的解析式.‎ ‎（2）当时，得出函数取得最大值，当时，设，得出函数的最大值为 1；时，.，进而得到函数的最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由图可知，根据题意，可得，∴‎ ‎，∵，∴.‎ ‎∴‎ ‎（2）①当时，，当时，函数取得最大值，②当时，，令，设，任取，且，∴.∵，∴，又，∴，∴在内单调递减，∴，∴的最大值为1，③时，，综上所述，函数的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和函数最值的求解问题，其中解答中涉及到函数的图象的应用，二次函数的性质等知识点的综合考查，同时考查了分类讨论思想和换元法的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎22．给定函数和常数，若恒成立，则称()为函数的一个“好数对”,已知函数的定义域为.‎ ‎（1）若（1，1）是函数的一个“好数对”，且，求，；‎ ‎（2）若（2，0）是函数的一个“好数对”，且当时，，判断方程在区间[1,8]上根的个数；‎ ‎【答案】（1）=7，=9；（2）根的个数为0；‎ ‎【解析】（1）根据“好数对”定义，得出条件等式，对赋值，即可得结论；‎ ‎（2）先求出在区间[1,8]的解析式，进而解方程，即可求出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由（1，1）是函数的一个“好数对”，‎ 得，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）（2，0）是函数的一个“好数对”，‎ 得，‎ 当时，，‎ 解得（舍去）或（舍去）‎ 当时，，‎ 解得（舍去）或（舍去）‎ 当时，，‎ 解得（舍去）或（舍去），‎ 故方程在区间[1,8]上根的个数为0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义函数的性质，考查求函数的解析式和方程的解，理解新定义是解题的关键，属于中档题.‎