北京中考数学试卷及答案解析

北京中考数学试卷及答案解析

‎2012年北京市高级中等学校招生考试 数 学 试 卷（答案）‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1． 的相反数是 A． B． C． D．9‎ ‎2． 首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于‎2012年‎6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为 A． B． C． D．‎ ‎3． 正十边形的每个外角等于 A． B． ‎ C． D．‎ ‎4． 右图是某个几何体的三视图，该几何体是 A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．三棱柱 ‎5． 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 A． B． C． D．‎ ‎6． 如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：‎ 用电量（度）‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎180‎ ‎200‎ 户数 ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2‎ 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是 A．180，160 B．160，‎180 ‎ C．160，160 D．180，180‎ ‎8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的 A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9． 分解因式： ．‎ ‎10．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．‎ ‎11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高 ．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为．当时，点的横坐标的所有可能值是 ；当点的横坐标为（为正整数）时， （用含的代数式表示．）‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：.‎ ‎14．解不等式组：‎ ‎15．已知，求代数式的值．‎ ‎16．已知：如图，点在同一条直线上，，‎ ‎．‎ 求证：.‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为.‎ ‎ （1）求一次函数的解析式；‎ ‎ （2）设一次函数的图象与轴交于点，若是轴上一点， 且满足的面积是4，直接写出点的坐标．‎ ‎18．列方程或方程组解应用题：‎ 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．如图，在四边形中，对角线交于点，‎ ‎．求的长和四边形的面积．‎ ‎20．已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长线于点，连结．‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）连结并延长交于点，若，求的长．‎ ‎21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．‎ 北京市轨道交通已开通线路 相关数据统计表（截至2010年底）‎ 开通时间 开通线路 运营里程 ‎(千米)‎ ‎1971‎ ‎1号线 ‎31‎ ‎1984‎ ‎2号线 ‎23‎ ‎2003‎ ‎13号线 ‎41‎ 八通线 ‎19‎ ‎2007‎ ‎5号线 ‎28‎ ‎2008‎ ‎8号线 ‎5‎ ‎10号线 ‎25‎ 机场线 ‎28‎ ‎2009‎ ‎4号线 ‎28‎ ‎2010‎ 房山线 ‎22‎ 大兴线 ‎22‎ 亦庄线 ‎23‎ 昌平线 ‎21‎ ‎15号线 ‎20‎ ‎ 请根据以上信息解答下列问题：‎ ‎ （1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；‎ ‎ （2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？‎ ‎ （3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？‎ ‎22．操作与探究：‎ ‎ （1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点.‎ ‎ 点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为．如图1，若点表示的数是，则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ；‎ ‎ （2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标。‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．已知二次函数 ‎ 在和时的函数值相等。‎ （1） 求二次函数的解析式；‎ （2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；‎ （3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。‎ ‎24．在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。‎ ‎ （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；‎ ‎ （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；‎ ‎ （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。‎ ‎25．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：‎ ‎ 若，则点与点的“非常距离”为；‎ ‎ 若，则点与点的“非常距离”为.‎ ‎ 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）。‎ ‎ （1）已知点，为轴上的一个动点，‎ ‎ ①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；‎ ‎ ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；‎ ‎ （2）已知是直线上的一个动点，‎ ‎ ①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；‎ ‎ ②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”‎ 的最小值及相应的点和点的坐标。‎ ‎2012年北京中考数学试卷分析 ‎ ‎ 一、各个知识板块所占分值 二、各个知识板块考查的难易程度 三、试卷整体难度特点分析 ‎2012年北京中考数学刚刚结束, 今年试卷整体呈现出“新颖”的特点，与近几年中考试题以及今年一模、二模试题有比较大的差异。总体难度与去年持平，但是最难的题目难度并没有去年高。考生做起来会感觉不太顺手，此份试卷对于优秀学生的区分度将会比去年大，而对于中当学生的区分度将不会有太大变化。‎ 此份试卷呈现出以下几个特点：‎ 1. 题目的背景和题型都比较新颖。例如选择题的第8题、解答题第25题，尤其是25题第一次在代数题目中用到了定义新运算，题目很新颖，知识点融合度较高。考察的方式都是平常同学们很少见到的题型。‎ 2. 填空题第12题试题结构与往年不同，考察观察能力和精确作图能力。本试卷的填空题第12题，需要同学们在试卷上画出比较精确的线段才能很好的发现其中的规律，而所体现的规律本身并不复杂，是一个等差数列问题。‎ 3. 弱化了对于梯形的考察。解答题第19题并没有像之前一样是一道题型的问题，取而代之的是一道四边形的题目。难度并不大。‎ 4. 与圆有关的题目增多，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第24题第二问也可以通过构造辅助圆来解决。‎ 5. 考察学生对于知识点的深入理解能力。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。‎ 四、试题重点题目分析 ‎（2012年北京中考第23题）‎ ‎23．已知二次函数 ‎ 在和时的函数值相等。‎ （1） 求二次函数的解析式；‎ （2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；‎ （3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。‎ ‎【解析】⑴ 由题意可知依二次函数图象的对称轴为 则。‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎⑵ ∵因二次函数图象必经过点 ‎∴‎ 又一次函数的图象经过点 ‎∴，∴‎ ‎⑶ 由题意可知，点间的部分图象的解析式为，‎ 则向左平移后得到的图象的解析式为 此时平移后的解析式为 由图象可知，平移后的直线与图象有公共点，‎ 则两个临界的交点为与 则 ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 坐标为（3-n,0）‎ 坐标为（-n-1,0）‎ A（-3，-6）此为两个函数的切点 ‎【评价】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n的取值范围。‎ ‎（2012年北京中考第24题）‎ ‎24．在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。‎ ‎ （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；‎ ‎ （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；‎ ‎ （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。‎ ‎【解析】‎ ‎⑴ ，‎ ‎⑵ 连接，易证 ‎ ∴ ‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎⑶ ∵且 ‎ ∴‎ ‎ ∵点不与点重合 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【评价】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决。‎ ‎2013年24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。‎ 图1 图2‎ ‎（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；‎ ‎（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；‎ ‎（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。‎ ‎24．（本小题满分7分）‎ ‎ 解：（1）……………………………………………………………1分 ‎ （2）△ABE是等边三角形．………………………………………………………2分 ‎ 证明：连结AD，CD．‎ ‎ ∵ ∠DBC=60°，BD=BC，‎ ‎ ∴ △BDC是等边三角形，∠BDC=60°，BD=DC…………………3分 ‎ 又∵ AB=AC，AD=AD，‎ ‎ ∴ △ABD≌△ACD．‎ ‎ ∴ ∠ADB=∠ADC，‎ ‎ ∴ ∠ADB=150°．………………4分 ‎ ∵ ∠ABE=∠DBC=60°，‎ ‎ ∴ ∠ABD=∠EBC．‎ ‎ 又∵ BD=BC，∠ADB=∠ECB=150°，‎ ‎ ∴ △ABD≌△EBC．‎ ‎ ∴ AB=EB．‎ ‎ ∴ △ABE是等边三角形．…………………………………………5分 ‎ （3）解：∵ △BDC是等边三角形，‎ ‎ ∴ ∠BCD=60°．∴ ∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°‎ ‎ 又∵ ∠DEC=45°，‎ ‎ ∴ CE=CD=BC．…………6分 ‎ ∴ ∠EBC=15°．‎ ‎ ∵ ∠EBC=∠ABD=30°-，‎ ‎ ∴ α=30°．……………………………………………………………7分 ‎2014年24． 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；‎ ‎（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；‎ ‎（3）如图2，若45°<∠PAB < 90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．‎ ‎ 解：（1）补全图形如图所示：‎ ‎ ‎ ‎（2012年北京中考第25题）‎ ‎25．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：‎ ‎ 若，则点与点的“非常距离”为；‎ ‎ 若，则点与点的“非常距离”为.‎ ‎ 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）。‎ ‎ （1）已知点，为轴上的一个动点，‎ ‎ ①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；‎ ‎ ②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；‎ ‎ （2）已知是直线上的一个动点，‎ ‎ ①如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；‎ ‎ ②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”‎ 的最小值及相应的点和点的坐标。‎ ‎【解析】⑴ ①或 ‎②‎ ‎⑵ ①设坐标 ‎∴当 此时 ‎∴距离为 此时.‎ ‎②‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 最小值1。‎ C’‎ Q’‎ C Q Q C C’‎ Q’‎ ‎ ‘‘‎ P’‎ P D P’‎ P D O 从第二题第一问的作图中可以发现，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C点到达C’点，其与点D的“非常距离”都会增大。故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。‎ 发现这一点对于同学们更好的理解题意十分重要。‎ ‎【评价】此题是第一次在代数题目中用到了定义新运算，题目很新颖。知识点融合度较高。需要同学们有较强的阅读理解题目的能力和数形结合能力。计算并不复杂，关键在于对于几何图形最值问题的探讨。‎ 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。‎ ‎ （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；‎ ‎ （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；‎ ‎ （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。‎ 在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点 顺时针旋转得到线段。‎ ‎ （1） 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；‎ ‎ （2） 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；‎ ‎ （3） 对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。‎