江苏省南通中学2020届高三上学期第二次调研测试数学试题 Word版含解析

江苏省南通中学2020届高三上学期第二次调研测试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 江苏省南通中学2019—2020学年度高三第二次调研测试 高三数学试卷 一、填空题：本大题共14小题．‎ ‎1.已知集合，，则__________．‎ ‎【答案】{，，2，3}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集计算即可.‎ ‎【详解】，,‎ ‎,‎ 故答案为：{，，2，3}‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合并集运算，属于容易题.‎ ‎2.若复数满足，则复数的共轭复数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算求，再求共轭复数即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的共轭复数，属于容易题.‎ ‎3.如果数据，，，，的方差是，若数据，，，，的方差为36，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 根据公式计算即可.‎ ‎【详解】数据，，，，的方差是,‎ 数据，，，，的方差为，‎ 即，‎ 所以，‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查了方差的概念，公式，属于容易题.‎ ‎4.在这四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 任取两个不同的数共有 6种取法，其中和大于积的有三种，所以概率是 ‎ 点睛：古典概型中基本事件数探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎5.如图所示的算法中，输出的结果是__________．‎ ‎【答案】3‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.‎ ‎【详解】该算法运行如下：‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，终止，‎ 输出，‎ 故答案为3．‎ ‎【点睛】本题重点考查程序框图，循环结构，考查推理能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎6.若函数（）的图象关于直线对称，则＝____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得的值．‎ ‎【详解】解：函数的图象关于直线对称，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，函数，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎7.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为__________．‎ - 25 -‎ ‎【答案】110‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出首项，再代入求和即可得．‎ ‎【详解】，，，‎ 是与的等比中项，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ 故答案为：110．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．‎ ‎8.如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的一条渐近线为，与抛物线方程联立，，所以，所以．‎ 考点：双曲线的离心率；抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．‎ 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：（椭圆）和 - 25 -‎ ‎（双曲线）③根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出．‎ ‎9.如图，在正三棱柱中，为中点，已知四棱锥的体积为3，则三棱柱的体积为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由四棱锥的体积为3，可得，‎ 而，可得，，由可得结论．‎ ‎【详解】由四棱锥的体积为3，可得，‎ 而为的中点，，可得，‎ ‎，‎ 由，‎ ‎．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，考查空间想象能力、化归与转化思想，属于中档题.‎ ‎10.若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，当时，单调递增，当时，单调递增，‎ 则等价于或，求解即可．‎ ‎【详解】由题意，当时，单调递增，‎ 当时，单调递增，‎ 则等价于或 即或或 解得或．‎ 故不等式的解集为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的能力，属于中档题．‎ ‎11.若，，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】，‎ 当且仅当，即 时，取等号，‎ 故的最小值为9，‎ - 25 -‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查推理能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎12.已知点（0，2），斜率为的直线与圆交于，两点．设与的面积分别为，，若，，则实数的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心、点A到直线的距离分别为d，，利用，且，建立方程，即可求解．‎ ‎【详解】设斜率为k的直线l方程为，即，‎ 圆心O、点A到直线的距离分别为d，，则，，‎ 根据，可得BC对的圆心角，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎13.在中，已知，且，则面积的最大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 由向量的数量积化简为，由正弦定理和三角形面积公式得到，利用正弦函数性质即可求解．‎ ‎【详解】设三角对边分别为a，b，c，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 由正弦定理可得，‎ 所以，‎ 由可得，‎ 所以，‎ 所以 当时，面积取得最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的运用，属于中档题．‎ ‎14.已知函数有两个零点，，函数有两个零点，，且，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有两个零点即方程有两个根，，同理方程有两个根 - 25 -‎ ‎，，要使，作出函数图象，结合图象可得a的范围.‎ ‎【详解】函数有两个零点即方程有两个根，，同理方程有两个根，，即直线与曲线，的交点横坐标分别为，和，，要使，只需直线在曲线与的交点的下方即可，故有．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点和函数图像的交点问题，属于中档题.‎ 二、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.中，角的对边分别为，且.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，利用正弦定理及二倍角的正弦即可求得cosA的值；‎ - 25 -‎ ‎（2）易求sinA=，sinB=，从而利用两角和的正弦可求得sin（A+B）=，在△ABC中，此即sinC的值，利用正弦定理可求得c的值．‎ 试题解析：‎ ‎( 1）由正弦定理可得，即：，∴，∴.‎ ‎（2由（1），且，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴==.‎ 由正弦定理可得：，∴．‎ ‎16.如图，四棱锥中，底面是菱形，对角线与交于点，平面，是棱的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ ‎(1)连结OE,运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证;‎ ‎(2)由线面垂直的性质可得VO⊥BD,再由菱形的性质可得BD⊥AC,可得BD⊥平面VAC,再由面面垂直的判定定理，即可得证.‎ ‎【详解】证明（1）连结．‎ 因为底面是菱形，所以为的中点，‎ 又因为是棱的中点，所以．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为平面，‎ 又平面，所以，‎ 因为底面是菱形，所以，‎ 又，，平面，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，所以平面平面．‎ ‎【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质,考查空间想象能力和推理能力，属于中档题.‎ ‎17.在平面直角坐标系中，已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于轴上方一点，过点作直线的垂线交于点，若 - 25 -‎ 与轴垂直，求直线的斜率．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件建立a，b，c的方程组，解方程组即可；‎ 设，根据已知条件建立的方程组，求出，然后根据斜率公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为椭圆经过点 （2，0）和点，‎ 所以 解得，，，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）由（1）可得，（1，0），设（，）（，），‎ 则①，‎ 直线的方程为：，‎ 由与轴垂直，知点的横坐标为1，‎ 所以点坐标为．‎ 所以,,‎ 若，则，‎ 所以②，‎ - 25 -‎ 由①②可得，即，‎ 所以或（舍），．‎ 所以直线的斜率为．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系以及圆锥曲线的综合应用，是一道难题．‎ ‎18.如图，半圆是某个旅游景点的平面示意图，为了保护景点和方便游客观赏，管理部门规划从公路上某点起修建游览线路，、、分别与半圆相切，且四边形是等腰梯形．已知半圆半径百米，每修建1百米游览道路需要费用为20万元，设与圆的切点为， （单位：弧度）．‎ ‎（1）试将修建游览道路所需费用表示为的函数；‎ ‎（2）试求修建游览道路所需最少费用为多少万元？（精确到0.1，参考数据：）‎ ‎【答案】（1），．（2）修建游览道路所需最少费用约为69.3万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 中，，所以，‎ 由题意可求得，‎ ‎， 代入即可求出函数解析式；‎ 换元，设，则，‎ - 25 -‎ ‎，根据导数求函数的最值．‎ ‎【详解】（1）中，，所以，‎ 设与半圆相切于点，‎ 则由四边形是等腰梯形知，‎ ‎，且，，‎ 中，‎ ‎，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，．‎ ‎（2）设，则，，‎ 因为，，令，解得．‎ 列表如下：‎ ‎0‎ - 25 -‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 从上表可知，当，即时，取得极小值，这个极小值就是函数的最小值，值为万元．‎ 答：（1）修建游览道路所需费用表示为的函数为，．‎ ‎（2）修建游览道路所需最少费用约为69.3万元．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数解析式和利用导数求函数最值，是一道难题．‎ ‎19.已知函数，函数与直线相切，其中，，是自然对数的底数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设函数在区间内有两个极值点．‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②设函数的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2（2）①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点，利用导数的几何意义即可得到；‎ ‎ 令，  则，‎ 设，根据在区间内有两个不等实根，列出不等式求解即可.‎ - 25 -‎ 由，得由，解得，且代入，换元设，，求出的单调性即可得到M的范围．‎ ‎【详解】（1）设直线与函数相切与点，‎ 函数在点处的切线方程为：, ,‎ 把，代入上式得，．‎ 所以，实数的值为2．‎ ‎（2）①由（1）知,‎ 设函数在区间内有两个极值点，，‎ 令，‎ 则，设 因为，故只需，所以，．‎ ‎②因为，‎ 所以 ‎．‎ - 25 -‎ 由，得，且．‎ ‎．‎ 设，，令，‎ ‎，‎ 上单调递减，从而，‎ 所以，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，考查推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎20.已知数列的前项的和为，记．‎ ‎（1）若是首项为，公差为的等差数列，其中，均为正数．‎ ‎①当，，成等差数列时，求的值；‎ ‎②求证：存在唯一的正整数，使得．‎ ‎（2）设数列是公比为的等比数列，若存在，（，，）使得，求的值．‎ ‎【答案】（1）①②见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出的表达式．‎ - 25 -‎ 写出，，，列出等式求解．‎ 等价于，是一个固定的数，当时，区间互不相交，且并集为，所以n存在且唯一．‎ 先将等式化成基本量表示的形式，有，设出函数，当时，，又，从而找出r，t的值，再解出q．‎ ‎【详解】（1）①因为，，成等差数列，‎ 所以，即，‎ 解得，．‎ ‎②由，得,‎ 整理得，解得,‎ 由于且．‎ 因此存在唯一的正整数，使得．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 设，，．‎ - 25 -‎ 则,‎ 因为，，所以，‎ 所以，即，即单调递增．‎ 所以当时，，‎ 则，即，这与互相矛盾．‎ 所以，即．‎ 若，则,‎ 即，与相矛盾．‎ 于是，所以，即．‎ 又，所以．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等差和等比数列的综合应用，是一道难题．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎【选做题】本题包括三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎21.己知矩阵的逆矩阵.求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下所得到的曲线方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 法一是在矩阵的作用下的关系，法二由得到A，在找到与间的关系.‎ ‎【详解】法一：设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点. ‎ 则.‎ 由此得 代入方程.得.‎ 所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为 法二：‎ 设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点 则.‎ 其坐标变换公式为，由此得 代入方程，得.‎ 所以在在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了矩阵变换下的曲线方程，属于中档题.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设直线与曲线相交于，两点，求线段的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化为直角坐标方程，利用点到直线的距离，圆中弦、半径、弦心距三者关系，求得弦长.‎ ‎【详解】曲线的直角坐标方程为.‎ 直线的直角坐标方程为，‎ 所以圆心到直线的距离为 所以.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标系的圆和直线化为直角坐标系的方程，点到直线的距离，圆的性质，属于中档题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎23.[选修4 - 5：不等式选讲] ‎ 已知都是正实数，且，求证: ．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．‎ - 25 -‎ 试题解析：证明：∵‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴‎ 考点：柯西不等式 ‎【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24.把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球.‎ ‎（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；‎ ‎（2）设恰有个小球编号与盒子编号相同，求随机变量的分布列与期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析，数学期望为1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 满足条件的放法共有种，恰有两个球的编号与盒子的编号相同的放法有种，由古典概率公式可得所求概率．‎ 写出随机变量X的可能值以及取各值的概率，即可得到分布列，再利用公式求期望即可.‎ ‎【详解】（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件.‎ 将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有即120种不同的放法.‎ 事件共有种放法，所以.‎ 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为.‎ ‎（2）随机变量的可能值为0，1，2，3，5.‎ - 25 -‎ ‎，，‎ ‎，，.‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的应用、离散型随机变量的分布列与期望以及排列组合的应用，属中档题．‎ ‎25.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)y2＝6x； (2) 菱形，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由点P到准线的距离与到原点O的距离相等，可得点P在线段OF的中垂线上，进而可求p的值，即得抛物线的方程；(2)设点A在x轴的上方，设其坐标，由导函数的几何意义写出点A处的切线方程，可得到点B的坐标，进而可写出与的坐标，进而得两向量相等，再结合抛物线定义可得AF＝AE，可得四边形AEBF的形状。‎ ‎【详解】(1)由题意得点P到准线的距离等于PO，‎ 由抛物线的定义得点P到准线的距离为PF，‎ - 25 -‎ 所以PO＝PF，即点P在线段OF的中垂线上，‎ 所以，p＝3，‎ 所以抛物线的方程为y2＝6x.‎ ‎(2)四边形AEBF为菱形，理由如下：‎ 由抛物线的对称性，设点在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为，‎ 所以点A处切线的方程为y－y0＝，‎ 令上式中y＝0，得x＝－，‎ 所以B点坐标为，‎ 又，‎ 所以 ‎ 所以，所以FA∥BE，‎ 又因为AE∥FB，故四边形AEBF为平行四边形，‎ 再由抛物线的定义，得AF＝AE，所以四边形AEBF为菱形.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，意在考查学生的运算能力、逻辑推理能力、综合应用能力，难度一般。解决有关抛物线的综合问题时，要仔细观察几何图形，注意几何性质的运用和抛物线定义的运用。‎ - 25 -‎ - 25 -‎