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文档介绍
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题
江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 高三数学试卷(理) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上 (必做题部分) 一、填空题(每小题5分,共70分) 1、已知集合,,则 ▲ . 2、已知,,,命题“若,则≥”的否命题是______▲_____. 3、若的值为 ▲ . 4、函数单调递减区间是 ▲ . 5、已知|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数λ的值 为 ▲ . 6、设函数是定义在R上的奇函数,且对任意都有,当时,,则= ▲ . 7、设是正项数列,其前项和满足:,则= ▲ . 8、已知命题:在上有意义,命题:函数的定义域为.如果和有且仅有一个正确,则的取值范围 ▲ . 9、设函数的图象为曲线,动点在曲线上,过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合),设线段的长为,则函数单调递增区间 ▲ . 10、当时,恒成立,则实数a的取值范围是 ▲ . 11、已知存在实数,满足对任意的实数,直线都不是曲线的切线,则实数的取值范围是 ▲ 12、设x∈,则函数y=的最小值为___▲_____. 13、设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为 ▲ . 14、已知函数,把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和,则= ▲ . 二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、设向量=(4cosα,sinα),=(sinβ,4cosβ),=(cosβ,-4sinβ). (1)若与垂直,求tan(α+β)的值; (2)求的最大值; (3)若tanαtanβ=16,求证:∥. 16、(本题满分14分) 已知函数,其中且. (1)求函数的解析式,并判断其奇偶性和单调性; (2)对于函数,当时,,求实数m的取值范围; (3)当时,的值恒为负数,求函数a的取值范围. 17、设数列的前项和为,且满足=…. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若数列满足,且,求数列的通项公式; (III)设,求数列的前项和. 18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以AB为直径的半圆,点O为圆心,下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形,DE、DF是两根支杆,其中AB=2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x<).现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯,在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为2k,节能灯的比例系数为k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和. (1) 试将y表示为x的函数; (2) 试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳? 19.(本小题满分16分) 已知函数()的图象为曲线. (1)求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由. 20.(本小题满分16分) 已知数列,满足:. (1)若,求数列的通项公式; (2)若,且. ①记,求证:数列为等差数列; ②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件. 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 数学Ⅱ(理科附加题) 21、自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,则∠MPB的大小 . 22、 如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F. ⑴判断BE是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若AE=6,BE=8,求EF的长. A B C O E F D 23. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如右图所示),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有______种. 24.已知展开式的各项依次记为. 设. (1)若的系数依次成等差数列,求的值; (2)求证:对任意,恒有. 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________ 装订线内请勿答题 高三数学答卷(理) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题:本大题共5小题;共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) [来源:学科网ZXXK] 16.(本小题满分14分) 17.(本小题满分15分) 18.(本小题满分15分) 19.(本小题满分16分) [来源:学科网] 20.(本小题满分16分) [来源:学.科.网] 数学Ⅱ(理科附加题)答卷 班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________ 装订线内请勿答题 21、已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是线段OA上一点,直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA于点E,则∠OBP+∠AQE的度数为 22、 如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F. ⑴判断BE是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若AE=6,BE=8,求EF的长. A B C O E F D 23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 .(用数字作答) 24.已知展开式的各项依次记为. 设. (1)若的系数依次成等差数列,求的值; (2)求证:对任意,恒有. 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期中考试 高三数学试卷(理) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上 (必做题部分) 一、填空题(每小题5分,共70分) 1、已知集合,,则 {4} . 2、已知,,,命题“若,则≥的否命题是___________. 若,则<; 3、若的值为 . 4、函数单调递减区间是 ▲ 。(0,2) 5、已知|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数λ的值 为 ▲ . 6、设函数是定义在R上的奇函数,且对任意都有,当时,,则= ▲ 。 7、设是正项数列,其前项和满足:,则= ▲ . 8、已知命题:在上有意义,命题:函数的定义域为.如果和有且仅有一个正确,则的取值范围 . 9、设函数的图象为曲线,动点在曲线上,过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合),设线段的长为,则函数单调递增区间 . 10、当时,恒成立,则实数a 的取值范围是 . 11、已知存在实数,满足对任意的实数,直线都不是曲线的切线,则实数的取值范围是 ▲ 12、设x∈,则函数y=的最小值为________. 13、设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为 ▲ 。 14、已知函数,把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和,则= ▲ 。A. B. C.45 D.55 二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b. 解、(1)因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=a·b-2a·c=0. 所以4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,所以tan(α+β)=2. (2)由条件得,b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ).[来源:Z,xx,k.Com] 所以|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β=17-30sinβcosβ=17-15sin2β. 又17-15sin2β的最大值为32, 所以|b+c|的最大值为4. (3)证明:由tanαtanβ=16得,sinαsinβ=16cosαcosβ,即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,所以a∥b.[来源:Zxxk.Com] 16、(本题满分14分) 解:(1)由得,…………………………2’ 因为定义域为R,,所以为奇函数,……4’ 2 因为,当及时,, 所以为R上的单调增函数;……………………………………………………6’ (2)由得, 又,则,得;……………………………10’ (3)因为为R上的单调增函数,所以当时,的值恒为负数, 所以恒成立, ,…………………………………………………12’ 整理得,所以, 又且,所以实数a的取值范围是.…………14’ 错误!未定义书签。 17、设数列的前项和为,且满足=…. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)若数列满足,且,求数列的通项公式; (III)设,求数列的前项和. (Ⅰ)∵时, ∴ 当时, ∵即,∴ 两式相减:即 故有 ∵,∴ 所以,数列为首项,公比为的等比数列, ……… 6分 (Ⅱ)∵,∴ 得 … (…) 将这个等式相加 又∵,∴(…) …………… 12分 (Ⅲ)∵ ∴ ① 而 ② ①-②得: … 16分 18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以AB为直径的半圆,点O为圆心,下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形,DE、DF是两根支杆,其中AB=2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x<).现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯,在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为2k,节能灯的比例系数为k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和. (1) 试将y表示为x的函数; (2) 试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳? 解:(1) 因为∠EOA=∠FOB=2x,所以弧EF、AE、BF的长分别为π-4x,2x,2x.(3分) 连结OD,则由OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+, 所以DE=DF===(sinx+cosx).(6分) 所以y=2k[2(sinx+cosx)+π-4x]+k(2+4x) =2k[2(sinx+cosx)-2x++π](9分) (2) 因为由y′=4k[(cosx-sinx)-1]=0,(11分) 解得cos(x+)=,即x=.(13分) 又当x∈(0,)时,y′>0,所以此时y在(0,)上单调递增; 当x∈(,)时,y′<0,所以此时y在(,)上单调递减. 故当x=时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.(16分) 19.(本小题满分16分) 解:(1),则, 即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是;------------4分 (2)由(1)可知,---------------------------------------------------------6分 解得或,由或 得:;-------------------------------9分 (3)设存在过点A的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B, , 则切线方程是:, 化简得:,--------------------------11分 而过B的切线方程是, 由于两切线是同一直线, 则有:,得,----------------------13分 又由, 即 ,即 即, 得,但当时,由得,这与矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分 20.(本小题满分16分) 已知数列,满足:. (1)若,求数列的通项公式; (2)若,且. ①记,求证:数列为等差数列; ②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件. 20.解:(1)当时,有 . 又也满足上式,所以数列的通项公式是.……………4分 (2)①因为对任意的,有, 所以,, 所以,数列为等差数列. …………………… 8分 ②设(其中为常数且, 所以,, 即数列均为以7为公差的等差数列. …………………… 10分 设. (其中为中一个常数) 当时,对任意的,有; …………………… 12分 当时,. (Ⅰ)若,则对任意的有,所以数列为递减数列; (Ⅱ)若,则对任意的有,所以数列为递增数列. 综上所述,集合. 当时,数列中必有某数重复出现无数次; 当时,数列均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.…… 16分 数学Ⅱ(理科附加题) 21、、已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是线段OA上一点,直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA于点E,则∠OBP+∠AQE的度数为 证明:连结AB,则∠AQE=∠ABP, 而OA=OB,所以∠ABO=45°.所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°. 22、 如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F. ⑴判断BE是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若AE=6,BE=8,求EF的长. A B C O E F D ⑴BE平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD, ∴∠ABE=∠EBC,即BE平分∠ABC. ⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.∴, ∵AE=6, BE=8.∴EF=; 23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 .(用数字作答) 24.已知展开式的各项依次记为. 设. (1)若的系数依次成等差数列,求的值; (2)求证:对任意,恒有. 24.解:(1)依题意,, 的系数依次为,,, 所以,解得; ………4分 (2) 设, 则 考虑到,将以上两式相加得: 所以 又当时,恒成立,从而是上的单调递增函数, 所以对任意,. ………10分查看更多