江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

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江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 高三数学试卷(理)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ‎ (必做题部分)‎ 一、填空题(每小题5分,共70分)‎ ‎1、已知集合,,则 ▲ .‎ ‎2、已知,,,命题“若,则≥”的否命题是______▲_____.‎ ‎3、若的值为 ▲ .‎ ‎4、函数单调递减区间是 ▲ .‎ ‎5、已知|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数λ的值 为 ▲ . ‎ ‎6、设函数是定义在R上的奇函数,且对任意都有,当时,,则= ▲ .‎ ‎7、设是正项数列,其前项和满足:,则= ▲ .‎ ‎8、已知命题:在上有意义,命题:函数的定义域为.如果和有且仅有一个正确,则的取值范围 ▲ . ‎ ‎9、设函数的图象为曲线,动点在曲线上,过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合),设线段的长为,则函数单调递增区间 ▲ . ‎ ‎10、当时,恒成立,则实数a的取值范围是 ▲ .‎ ‎11、已知存在实数,满足对任意的实数,直线都不是曲线的切线,则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎12、设x∈,则函数y=的最小值为___▲_____.‎ ‎13、设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为 ▲ .‎ ‎14、已知函数,把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和,则= ▲ .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15、设向量=(4cosα,sinα),=(sinβ,4cosβ),=(cosβ,-4sinβ).‎ ‎(1)若与垂直,求tan(α+β)的值;‎ ‎(2)求的最大值;‎ ‎(3)若tanαtanβ=16,求证:∥.‎ ‎16、(本题满分14分)‎ 已知函数,其中且.‎ ‎(1)求函数的解析式,并判断其奇偶性和单调性;‎ ‎(2)对于函数,当时,,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)当时,的值恒为负数,求函数a的取值范围.‎ ‎17、设数列的前项和为,且满足=….‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,且,求数列的通项公式;‎ ‎(III)设,求数列的前项和.‎ ‎18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以AB为直径的半圆,点O为圆心,下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形,DE、DF是两根支杆,其中AB=‎2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x<).现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯,在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为2k,节能灯的比例系数为k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和.‎ ‎(1) 试将y表示为x的函数;‎ ‎(2) 试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 已知函数()的图象为曲线.‎ ‎(1)求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围;‎ ‎(2)若曲线上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围;‎ ‎(3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由. ‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知数列,满足:.‎ ‎(1)若,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,且.‎ ‎ ①记,求证:数列为等差数列;‎ ‎②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件.‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 数学Ⅱ(理科附加题)‎ ‎21、自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,则∠MPB的大小    .‎ ‎22、 如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F.‎ ‎⑴判断BE是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若AE=6,BE=8,求EF的长.‎ A B C O E F D ‎23. 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如右图所示),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,‎ 不同的栽种方法有______种. ‎ ‎24.已知展开式的各项依次记为.‎ 设.‎ ‎(1)若的系数依次成等差数列,求的值;‎ ‎(2)求证:对任意,恒有.‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期期中考试 ‎ 班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________‎ ‎ 装订线内请勿答题 ‎ 高三数学答卷(理)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。‎ ‎1. 2.          3. 4. ‎ ‎ ‎ ‎5. 6. 7. 8. 9. ‎ ‎10. 11. 12. 13. 14. ‎ 二、解答题:本大题共5小题;共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ ‎ ‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ ‎ ‎ ‎17.(本小题满分15分)‎ ‎ ‎ ‎18.(本小题满分15分)‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ ‎ ‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ ‎ ‎ ‎[来源:学.科.网]‎ 数学Ⅱ(理科附加题)答卷 ‎ 班级___________ 答题卡号 _____________ 座位号__________ 姓名 ___________‎ ‎ 装订线内请勿答题 ‎ ‎21、已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是线段OA上一点,直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA于点E,则∠OBP+∠AQE的度数为 ‎ ‎22、 如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F.‎ ‎⑴判断BE是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若AE=6,BE=8,求EF的长.‎ A B C O E F D ‎23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是  .(用数字作答)‎ ‎24.已知展开式的各项依次记为.‎ 设.‎ ‎(1)若的系数依次成等差数列,求的值;‎ ‎(2)求证:对任意,恒有.‎ 江苏省南通中学2012—2013学年度第一学期中考试 高三数学试卷(理)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上 ‎ (必做题部分)‎ 一、填空题(每小题5分,共70分)‎ ‎1、已知集合,,则 {4} .‎ ‎2、已知,,,命题“若,则≥的否命题是___________.‎ 若,则<;‎ ‎3、若的值为 .‎ ‎4、函数单调递减区间是 ▲ 。(0,2)‎ ‎5、已知|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°,若向量(λa+ b)⊥(a+λb),则实数λ的值 为 ▲ .‎ ‎6、设函数是定义在R上的奇函数,且对任意都有,当时,,则= ▲ 。‎ ‎7、设是正项数列,其前项和满足:,则= ▲ .‎ ‎8、已知命题:在上有意义,命题:函数的定义域为.如果和有且仅有一个正确,则的取值范围 .‎ ‎9、设函数的图象为曲线,动点在曲线上,过且平行于轴的直线交曲线于点可以重合),设线段的长为,则函数单调递增区间 .‎ ‎ 10、当时,恒成立,则实数a 的取值范围是 .‎ ‎11、已知存在实数,满足对任意的实数,直线都不是曲线的切线,则实数的取值范围是 ▲ ‎ ‎12、设x∈,则函数y=的最小值为________. ‎13、设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为 ▲ 。‎ ‎14、已知函数,把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前n项的和,则= ▲ 。A. B. C.45 D.55‎ 二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15、设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).‎ ‎(1)若a与b-‎2c垂直,求tan(α+β)的值;‎ ‎(2)求|b+c|的最大值;‎ ‎(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.‎ 解、(1)因为a与b-‎2c垂直,所以a·(b-‎2c)=a·b-‎2a·c=0.‎ 所以4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,所以tan(α+β)=2.‎ ‎(2)由条件得,b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ).[来源:Z,xx,k.Com]‎ 所以|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β=17-30sinβcosβ=17-15sin2β.‎ 又17-15sin2β的最大值为32,‎ 所以|b+c|的最大值为4.‎ ‎(3)证明:由tanαtanβ=16得,sinαsinβ=16cosαcosβ,即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,所以a∥b.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎16、(本题满分14分)‎ 解:(1)由得,…………………………‎‎2’‎ ‎ 因为定义域为R,,所以为奇函数,……‎‎4’‎ ‎ 2 因为,当及时,,‎ 所以为R上的单调增函数;……………………………………………………‎‎6’‎ ‎ (2)由得,‎ ‎ 又,则,得;……………………………‎‎10’‎ ‎ (3)因为为R上的单调增函数,所以当时,的值恒为负数,‎ ‎ 所以恒成立,‎ ‎ ,…………………………………………………‎‎12’‎ 整理得,所以,‎ 又且,所以实数a的取值范围是.…………‎‎14’‎ 错误!未定义书签。‎ ‎17、设数列的前项和为,且满足=….‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足,且,求数列的通项公式;‎ ‎(III)设,求数列的前项和.‎ ‎(Ⅰ)∵时, ∴ ‎ 当时, ∵即,∴ 两式相减:即 ‎ 故有 ∵,∴ ‎ 所以,数列为首项,公比为的等比数列, ……… 6分 ‎(Ⅱ)∵,∴ ‎ 得 … (…) ‎ 将这个等式相加 又∵,∴(…) …………… 12分 ‎(Ⅲ)∵ ‎ ‎∴ ① ‎ 而 ②‎ ①-②得:‎ ‎… 16分 ‎18、某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式如图中实线部分所示.其上部分是以AB为直径的半圆,点O为圆心,下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形,DE、DF是两根支杆,其中AB=‎2 m,∠EOA=∠FOB=2x(0<x<).现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯,在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯.若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为2k,节能灯的比例系数为k(k>0),假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和.‎ ‎(1) 试将y表示为x的函数;‎ ‎(2) 试确定当x取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳?‎ 解:(1) 因为∠EOA=∠FOB=2x,所以弧EF、AE、BF的长分别为π-4x,2x,2x.(3分)‎ 连结OD,则由OD=OE=OF=1,∠FOD=∠EOD=2x+,‎ 所以DE=DF===(sinx+cosx).(6分)‎ 所以y=2k[2(sinx+cosx)+π-4x]+k(2+4x)‎ ‎=2k[2(sinx+cosx)-2x++π](9分)‎ ‎(2) 因为由y′=4k[(cosx-sinx)-1]=0,(11分)‎ 解得cos(x+)=,即x=.(13分)‎ 又当x∈(0,)时,y′>0,所以此时y在(0,)上单调递增;‎ 当x∈(,)时,y′<0,所以此时y在(,)上单调递减.‎ 故当x=时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.(16分)‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 解:(1),则,‎ 即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是;------------4分 ‎(2)由(1)可知,---------------------------------------------------------6分 解得或,由或 得:;-------------------------------9分 ‎(3)设存在过点A的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B,‎ ‎,‎ ‎ 则切线方程是:,‎ ‎ 化简得:,--------------------------11分 ‎ 而过B的切线方程是, ‎ ‎ 由于两切线是同一直线,‎ ‎ 则有:,得,----------------------13分 ‎ 又由,‎ ‎ 即 ‎ ,即 ‎ 即,‎ ‎ 得,但当时,由得,这与矛盾。‎ ‎ 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点。----------------------------------16分 ‎20.(本小题满分16分)‎ 已知数列,满足:.‎ ‎(1)若,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,且.‎ ‎ ①记,求证:数列为等差数列;‎ ‎②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项应满足的条件.‎ ‎20.解:(1)当时,有 ‎.‎ 又也满足上式,所以数列的通项公式是.……………4分 ‎(2)①因为对任意的,有,‎ 所以,,‎ 所以,数列为等差数列. …………………… 8分 ‎②设(其中为常数且,‎ 所以,,‎ 即数列均为以7为公差的等差数列. …………………… 10分 设.‎ ‎(其中为中一个常数)‎ 当时,对任意的,有; …………………… 12分 当时,.‎ ‎(Ⅰ)若,则对任意的有,所以数列为递减数列;‎ ‎(Ⅱ)若,则对任意的有,所以数列为递增数列.‎ 综上所述,集合.‎ 当时,数列中必有某数重复出现无数次;‎ 当时,数列均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.…… 16分 数学Ⅱ(理科附加题)‎ ‎21、、已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是线段OA上一点,直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA于点E,则∠OBP+∠AQE的度数为 ‎ 证明:连结AB,则∠AQE=∠ABP, 而OA=OB,所以∠ABO=45°.所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°.‎ ‎22、 如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F.‎ ‎⑴判断BE是否平分∠ABC,并说明理由. ⑵若AE=6,BE=8,求EF的长.‎ A B C O E F D ‎⑴BE平分∠ABC.∵CD=AC,∴∠D=∠CAD. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,‎ ‎∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD,‎ ‎∴∠ABE=∠EBC,即BE平分∠ABC.‎ ‎⑵由⑴知∠CAD=∠EBC =∠ABE. ∵∠AEF=∠AEB,∴△AEF∽△BEA.∴,‎ ‎∵AE=6, BE=8.∴EF=;‎ ‎23. 某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是  .(用数字作答)‎ ‎24.已知展开式的各项依次记为.‎ 设.‎ ‎(1)若的系数依次成等差数列,求的值;‎ ‎(2)求证:对任意,恒有.‎ ‎24.解:(1)依题意,,‎ 的系数依次为,,,‎ 所以,解得; ………4分 ‎(2)‎ 设,‎ 则 考虑到,将以上两式相加得:‎ 所以 又当时,恒成立,从而是上的单调递增函数,‎ 所以对任意,.‎ ‎ ………10分
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