2018-2019学年山西省长治市第二中学校高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年山西省长治市第二中学校高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省长治市第二中学校高一下学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．设为等差数列，若，则 A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据求出，进而求得.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列公差为 则 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎2．中，若，，，则的面积为　　‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用三角形的面积公式S计算求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得的面积． 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎3．数列：1，，，的一个通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用归纳法可得数列的一个通项公式.‎ ‎【详解】‎ 数列的前4项可改写为：，，，，其中负号交替出现，且分母为奇数，‎ 故通项可为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，属于基础题，注意根据前若干项归纳出通项公式.‎ ‎4．已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差是（　　）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】在题设条件的两边同时乘以6，然后借助前项和公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前项和公式的灵活运用，属于基础题．‎ ‎5．在△ABC中，AC=，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 由正弦定理可得，‎ 所以，‎ 则边上的高，应选答案B.‎ 点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出，再运用两角和的正弦公式求得，再解直角三角形可求得三角形的高，从而使得问题获解.‎ ‎6．已知等差数列的前项和为，且满足，则=（ ）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等差数列前项和的性质可求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为为等差数列，所以成等差数列，‎ 设，则，故，所以，‎ 所以，故，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 为等差数列.‎ ‎7．已知数列 中， ，则 =（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用为周期数列可得的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，，，‎ 所以是周期为的周期数列，故，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的周期性，属于基础题.‎ ‎8．若两个等差数列的前项和分别为，对任意的都有，则的值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的性质和前项和的性质可求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为都是等差数列，故，且，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 为等差数列.‎ ‎9．已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{an}中的最大项为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解法一　an＋1－an＝(n＋1) n＋1－nn＝·n，‎ 当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；‎ 当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；‎ 当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1a4>a5>…>an，‎ 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.‎ 解法二　＝＝，‎ 令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，‎ 故a1a4>a5>…>an，‎ 所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.‎ ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，‎ 又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝，C＝，B＝2C＝，A＝，‎ 故△ABC为直角三角形．‎ 故选B.‎ ‎11．等差数列的前项和为，公差为，已知=1， ，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设有且，再利用函数的单调性和奇偶性得到，且，再利用等差数列的定义和等差数列前项和的性质可得公差的正负和.‎ ‎【详解】‎ 因为是上的单调增函数，也是上的奇函数，‎ 而且，‎ 所以且，所以且，‎ 而，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用以及等差数列的前项和的性质，属于中档题.‎ ‎12．已知外接圆半径为6的的三边为，面积为,且,则面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理可得，再根据面积公式和余弦定理可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，最后利用基本不等式可得的最大值，从而可得面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为外接圆的半径为，所以可化为：‎ ‎，即，‎ 由余弦定理可得，因，故，‎ 即，而，故，‎ 由可以得到，故，当且仅当时等号成立，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式以及基本不等式，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若等差数列的通项公式，则其公差=____.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】利用等差数列的定义可求公差.‎ ‎【详解】‎ 因为为等差数列且，所以，‎ 所以公差为，填.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的定义，属于容易题.‎ ‎14．在中，已知成等差数列，且，则=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先算出，再利用正弦定理可得，最后利用等比定理可得所求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为成等差数列且，‎ 所以即，所以外接圆的直径 ，‎ 由正弦定理可得，‎ 填.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，属于基础题.‎ ‎15．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶，从点测得点的仰角为，从点测得点的仰角为，且,，，则____m．‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】在等腰直角三角中计算可得，分别在利用正弦定理和直角三角形中利用解直角三角形可得的长度.‎ ‎【详解】‎ 在等腰直角三角中，因为，，所以.‎ 在中，由正弦定理有，而，‎ 所以，故.‎ 在直角三角形中，.填.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理的应用，属于基础题，注意本题的图形是空间图形.‎ 三、解答题 ‎16．已知数列的前和为，且满足， ，则=____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把转化为，求出的通项后可求的通项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 即，所以是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以，故，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.‎ ‎17．已知数列的前项和为．‎ ‎（1）求出它的通项公式；‎ ‎（2）求使得最小时的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或8‎ ‎【解析】（1）利用可求的通项.‎ ‎（2）利用二次函数的性质可求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，；‎ 当时, ‎ 也适合此式，. ‎ ‎（2）‎ 又因为是正整数，所以当或8时，最小.‎ ‎【点睛】‎ 数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.而可表示为，因此可利用二次函数的图像和性质来讨论其最值.‎ ‎18．如图，在中，为钝角，，，，为延长线上一点，且．‎ ‎（）求的大小．‎ ‎（）求，的长．‎ ‎【答案】（）．（），．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出，再根据因为为钝角，求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后再用余弦定理即可求出AC的长．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）在中，‎ 因为，，‎ 由正弦定理可得，‎ 即，‎ 所以．‎ 因为为钝角，所以．‎ 所以． 7分 ‎（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，‎ 即，‎ 整理得．‎ 在△中，由余弦定理可知，‎ 即，‎ 整理得．解得．‎ 因为为钝角，所以．所以．‎ ‎ 14分．‎ ‎【考点】1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用．‎ ‎19．已知单调递减数列的前项和为，且，‎ ‎（1）求 ‎（2）求 ‎【答案】（1）；（2）当时，和为；当时，和为.‎ ‎【解析】（1）先判断出为等差数列，再求出可得数列的通项.‎ ‎（2）就和分别求和（去掉绝对值符号后）即可，‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，所以为等差数列.‎ 设等差数列的公差为，则 ‎，解得或(舍).‎ 所以 ‎（2）当时，，‎ 当时，‎ ‎【点睛】‎ 等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外，对于等差数列及其前项和，若求的前项和，则需要就 分类讨论，把转化为的问题.‎ ‎20．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ 求A；‎ 已知，的面积为的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）在中，由正弦定理及题设条件，化简得，即可求解。‎ ‎（2）由题意，根据题设条件，列出方程，求的，得到，即可求解周长。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，由正弦定理及已知得，‎ 化简得，‎ ‎，所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又的面积为，则，‎ 则，所以的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎21．设数列的前项和为，．‎ ‎（1）证明：数列为等差数列，并分别求出和；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；；；（2）‎ ‎【解析】（1）由题设可有及，两式相减化简后可得，从而可利用等差数列的通项公式和求和公式求出和.‎ ‎（2）利用裂项相消法可求.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得,‎ 所以当时，，‎ 所以,‎ 是以4为公差的等差数列。‎ ‎，‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎22．中，满足 .‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若为边中点，=，求最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用同角的三角函数基本关系式可以得到再利用正弦定理和余弦定理可求的大小.‎ ‎（2）在中，设，利用正弦定理可把转化为，利用辅助角公式可求其最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎,，‎ ‎（2）在中，设，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设 ‎，为锐角,‎ 最大值为 ‎【点睛】‎ 在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件.与边的和有关的最值问题，可利用正弦定理将其转化为与角有关的最值问题，后者可利用三角变换及三角函数的性质得到.‎