河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

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- 1 - 开封市 2020 届高三第三次模拟考试 数学（理科）试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本 试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合  2| 4 3 0A x x x    ，  | 2 3 0B x x   ，则集合 RC A B I （ ） A. 33, 2     B. 3 ,32      C. 31, 2     D. 3 ,32      【答案】D 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式求得集合 A ，并计算 RC A ，然后根据一元一次不等式可得 B ，最后根据 交集的概念可得结果. 【详解】由   2 4 3 0 1 3 0 1        x x x x x 或 3x  所以  1A x x  或 3x  ，则  1 3RC A x x     32 3 0 2B x x x x       所以  3 33 ,32 2RC A B x x              故选：D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算，考查基础知识的认识，属基础题. 2. 如图，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 在复平面内分别表示 0，3 2i ， 2 4i  ， 则点 B 对应的复数为（ ） - 2 - A. 1 6i B. 5 2i C. 1 5i D. 5 6i  【答案】A 【解析】 【分析】 利用平行四边形法则，求得OB OA OC    ，利用复数的运算法则求得结果. 【详解】OB OA OC    ， 所以 OB  对应的复数为 (3 2 ) ( 2 4 ) 1 6i i i      ， 即点 B 对应的复数为1 6i ， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应点的坐标的 求解，属于基础题目. 3. 设 a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的基本性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到结论． 【详解】由 a＞b， ①当 a＞b≥0 时，不等式 a|a|＞b|b|等价为 a•a＞b•b，此时成立． ②当 0＞a＞b 时，不等式 a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即 a2＜b2，此时成立． ③当 a≥0＞b 时，不等式 a|a|＞b|b|等价为 a•a＞﹣b•b，即 a2＞﹣b2，此时成立， 即充分性成立； 由 a|a|＞b|b|， - 3 - ①当 a＞0，b＞0 时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0， 因为 a+b＞0，所以 a﹣b＞0，即 a＞b． ②当 a＞0，b＜0 时，a＞b． ③当 a＜0，b＜0 时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0， 因为 a+b＜0，所以 a﹣b＞0，即 a＞b．即必要性成立， 综上可得“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的基本性质的综合应用，意在考查推 理与运算能力，属于中档试题. 4. 随着 2022 年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运 动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是 2012 年至 2018 年中国雪场滑 雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ） A. 2013年至 2018 年，中国雪场滑雪人次逐年增加 B. 2013年至 2015 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加 C. 2018 年与 2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也 近似相等 D. 2018 年与 2016 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5% 【答案】C 【解析】 【分析】 观察 2012 年至 2018 年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，结合统计图的 性质能求出结果． 【详解】由 2012 年至 2018 年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，得： - 4 - 对于 A， 2013年至 2018 年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故 A 正确； 对于 B， 2013年至 2015 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故 B 正确； 对于 C， 2018 年与 2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等， 但是同比增长人数也不相等， 2018 年比 2013年增长人数多，故 C 错误； 对于 D， 2018 年与 2016 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为： 1970 1510 100% 30.5%1510    ．故 D 正确． 故选：C． 【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题. 5. 执行如图的程序框图，若输入 x 的值为 1 8 ，则输出的 y＝（ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序模拟运行,当满足条件时，计算 x 的值，并再次进入循环体，当不满足条件时退出循 环，计算并输出 y 的值，即可求解. 【详解】解：开始： 输入 1 8x = , - 5 - 进入循环，满足条件 0x  ,计算 x 2 11 48log   ， 第二次进入循环，满足条件 0x  ,计算 x＝1﹣log24＝﹣1， 第三次进入循环，不满足条件 0x  , 退出循环，计算 1 12 2y   ． 输出 1 2 , 故选：B． 【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，对数运算，属基础题，难 度较易. 6. 为了得到函数  2 sin 2 cos2y x x  的图象，只需把函数 2sin 2y x 图象上所有的点 （ ） A. 向左平移 4  个单位长度 B. 向左平移 8  个单位长度 C. 向右平移 4  个单位长度 D. 向右平移 8  个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用辅助角公式化简，然后根据平移公式，判断平移方向和平移单位量. 【详解】  2 sin 2 cos2 2sin 2 2sin 24 8y x x x x                ， 根据平移左加右减的原则可知， 向左平移 8  个单位长度. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移问题.需注意平移前后的解析式， x x           ， - 6 - 这种类型的平移量，需要提出 ，平移量为   个单位.属于较易题. 7. 若函数 2( ) ( )f x x x c  在 x＝2 处有极大值，则常数 c 为（ ） A. 2 B. 6 C. 2 或 6 D. -2 或-6 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导数，则  2 0f   ，求出 c 值．然后再代回去检验函数的导数在 2x  处左侧为 正数，右侧为负数．因为满足这个条件才能说在 2x  处取得极大值． 【详解】∵函数    2 3 2 22f x x x c x cx c x     ，它的导数为   2 23 4f x x cx c   ， 由题意知，在 x＝2 处的导数值为 212 8 0c c   ，∴c＝6，或 c＝2， 又函数    2f x x x c  在 x＝2 处有极大值，故导数值在 x＝2 处左侧为正数，右侧为负数. 当 c＝2 时，    2 23 8 4 3 23f x x x x x         ，不满足导数值在 x＝2 处左侧为正数， 右侧为负数. 当 c＝6 时，       2 23 24 36 3 8 12 3 2 6f x x x x x x x         ， 满足导数值在 x＝2 处左侧为正数，右侧为负数.故 c＝6. 故选 B. 【点睛】函数在 0x 处取得极值的充要条件是：1）  0 0f x  2)导函数在 ox 处两端异号． 所以此类题先求  0 0f x  ，再判断导函数在 0x 处是否异号即可． 8. 若不等式组 0 0 4 3 12 0 x y x y        所表示的平面区域被直线 3 4z x y  分为面积相等的两部 分，则 z 的值是（ ） A. 16 10 2 B. 15 29 2  C. 6 10 2 D. 10 2 16 - 7 - 【答案】D 【解析】 【分析】 作 出 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 ， 根 据 题 意 求 得 直 线 3 4z x y  与 y 轴 和 直 线 4 3 12 0x y   的交点坐标，根据题意得出关于 z 的等式，进而可求得 z 的值. 【详解】作出不等式组 0 0 4 3 12 0 x y x y        所表示的平面区域如下图所示： 直线 4 3 12 0x y   交 y 轴于点  0,4A ，交 x 轴于点  3,0B ， 1 3 4 62OABS    △ . 当直线 3 4z x y  过原点时， 0z  ， 联立 4 3 12 0 3 4 0 x y x y       ，解得 48 25 36 25 x y     ，即点 48 36,25 25C      ， 则 AOC△ 的面积为 1 48 96 14 32 25 25 2AOC OABS S     △ △ ， 当不等式组 0 0 4 3 12 0 x y x y        所表示的平面区域被直线 3 4z x y  分为面积相等的两部分， 直线 3 4z x y  位于直线 OC 的上方， 此时，直线 3 4z x y  交 y 轴于点 0, 4 zD    ， - 8 - 联立 3 4 4 3 12 0 z x y x y       ，解得 48 3 25 zx  ， 36 4 25 zy  ，即点 48 3 36 4,25 25 z zE       ， 由题意可知 0 44 z   ，解得 16 0z   ，  23 161 48 34 32 4 25 200ADE zz zS          ，得  216 200z   ， 解得 16 10 2z    ， 16 0z   ，因此， 10 2 16z   . 故选：D. 【点睛】本题考查利用不等式组所表示的平面区域的面积求参数，解答的关键在于求得直线 所过的点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 9. 已知 A 是△ABC 的一个内角，且 sinA+cosA＝a，其中 a∈（0，1），则关于 tanA 的值，以 下答案中，可能正确的是（ ） A. ﹣2 B. 1 2  C. 1 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 把已知的等式两边平方，由同角三角函数间的基本关系化简后，得到 2sinAcosA＝a2﹣1＜0， 进而得到 cosA＜0，得到 sinA＞﹣cosA，再结合三角函数的基本关系式，求得 tanA 值的范围， 即可判断出符合题意的 tanA 值的可能值． 【详解】由 sinA+cosA＝a，两边平方得：（sinA+cosA）2＝a2， 即 sin2A+cos2A+2sinAcosA＝1+2sinAcosA＝a2， 又因为 a∈（0，1），所以 2sinAcosA＝a2﹣1＜0， 因为 0＜A＜π，得到sin 0A  ，所以 cosA＜0， 又由 sinA+cosA＝a＞0，所以 sinA＞﹣cosA＞0， 则 tanA＜﹣1．比较四个选项，只有 A 正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于 中档试题. 10. 某地有 A ， B ，C ， D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有 A 到过疫区， B 确定是受 A 感染的.对于C 因为难以判定是受 A 还是受 B 感染的，于是假定他受 A 和 B 感染的概率都 - 9 - 是 1 2 .同样也假定 D 受 A ， B 和C 感染的概率都是 1 3 .在这种假定下， B ，C ， D 中恰有两 人直接受 A 感染的概率是（ ） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 设 , ,B C D 直接受 A 感染为事件 B、C、D，分析题意得出 ( ) 1P B  ， 1( ) 2P C  ， 1( ) 3P D  ， B ，C ， D 中恰有两人直接受 A 感染为事件CD CD ，利用公式求得结果. 【详解】根据题意得出：因为直接受 A 感染的人至少是 B， 而 C、D 二人也有可能是由 A 感染的， 设 , ,B C D 直接受 A 感染为事件 B、C、D， 则事件 B、C、D 是相互独立的， ( ) 1P B  ， 1( ) 2P C  ， 1( ) 3P D  ， 表明除了 B 外， ,C D 二人中恰有一人是由 A 感染的， 所以 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2P CD CD P CD P CD        ， 所以 B、C、D 中直接受 A 传染的人数为 2 的概率为 1 2 ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有随机事件发生的概率，相互独立 事件同时发生的概率公式和互斥事件有一个发生的概率公式，属于简单题目. 11. 若函数  f x 对 a 、b R ，同时满足：（1）当 0a b  时有     0f a f b  ；（2） 当 0a b  时有     0f a f b  ，则称  f x 为  函数．下列函数中：①   sinx x xf  ； ②   x xf x e e  ；③   x xf x e e  ；④   0, 0 1 , 0 x f x xx    .是  函数的为（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 - 10 - 【分析】 由题意可得  y f x 满足是 R 上的奇函数，且为增函数，称为  函数，由函数的奇偶性和单 调性与导数之间的关系，分别判断①、②、③、④的函数的奇偶性和单调性，可得所求结论． 【详解】由（1）当 0a b  时有     0f a f b  ，即为    f a f a   ，则  y f x 为 R 上的奇函数； 由（2）当 0a b  时有     0f a f b  ，即为 a b  ，      f a f b f b    ， 可得  y f x 为 R 上的增函数， 则函数  y f x 为 R 上的奇函数，且为增函数． 由①   sinx x xf  ，定义域为 R ，        sin sin sinf x x x x x x x f x             ,即  y f x 为奇函数， 又   1 cos 0f x x    ，可得  y f x 为 R 上的增函数，故①是  函数； ②   x xf x e e  ，定义域为 R ，      x x x xf x e e e e f x         ，即  y f x 为 奇函数， 又   0x xf x e e  ，可得  y f x 为 R 上的增函数，故②是  函数； ③   x xf x e e  ，定义域为 R ，    x xf x e e f x    ，可得  y f x 为偶函数，故 ③不是  函数； ④   0, 0 1 , 0 x f x xx    ，定义域为 R ， 0x  时，    1 1f x f xx x       ，可得  y f x 为奇函数， 又  y f x 在  ,0 ， 0,  上单调递增，但在 R 上不为增函数，比如    1 1f f  ， 故④不是  函数． 故选：A． 【点睛】本题考查函数的新定义，主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，考查推理能力， 属于中等题. 12. 已知三棱锥 D ABC 中， DA  平面 ABC ， 2AB AD  ， 3BC AC ，则三棱锥 - 11 - D ABC 体积最大时，其外接球的体积为（ ） A. 20 2 3  B. 64 2 3  C. 4 5 3  D. 20 5 3  【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题意得到当 ABC 的面积最大时，此时三棱锥 D ABC 的体积最大，设 AC m ， 利用正弦定理和余弦定理得到  2 21 4 34ABCS m   △ ，从而得到当 2AC  时， ABCS 最 大，再将三棱锥 D ABC 放入直三棱柱 1 1DB C ABC 中，求外接球体积即可. 【详解】如图所示： 因为 DA  平面 ABC ， 2AB AD  ， 所以当 ABC 的面积最大时，此时三棱锥 D ABC 的体积最大. 设 AC m ，则 3 3BC AC m  ，  22 2 2 3 4 2 2cos 2 3 3 m m mACB m m m        ， 所以 22 4 2 2 42 2 2 8 4sin 1 33 m m mACB mm           . 所以  4 2 2 2 2 2 4 1 8 4 13 4 34 3 4ABC m mS m m mm          △ ， 当 2 4m  ，即 2m  时， ABCS 最大. 当 2m  时，  22 22 2 2 3 1cos 2 2 2 2BAC        ，则 cos 120BAC   . - 12 - 将三棱锥 D ABC 放入直三棱柱 1 1DB C ABC 中， 1O ， 2O 分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为 r ， 则 1 2O O 的中点O 为直三棱柱 1 1DB C ABC 外接球球心，设外接球半径为 R ， 如图所示： 根据正弦定理 2 3 2sin120 r ，解得 2r = ，所以 2 21 2 5R    . 故外接球体积  34 20 553 3V    . 故选：D 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，根据题意求出三棱锥的体积最大值为解题的难点， 属于难题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 5 24S a ，则 7a  __________. 【答案】0 【解析】 【分析】 设等差数列 na 的公差为 d，由已知结合等差数列的通项公式及求和公式得到 1 6 0,a d  即 得 7a 的值.． 【详解】设等差数列 na 的公差为 d，由 5 24S a ， - 13 - 所以 1 1 15 10 4 4 , 6 0,a d a d a d      则 7 0a  ． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平. 14. 若平面向量 a  ，b  满足 2a b   ， 3a b   ，则 a b   __________. 【答案】 1 4  【解析】 【分析】 由平面向量模的运算可得： 2 22 2       a a b b ①， 2 22 3       a a b b ②，则①  ②即可得解． 【详解】因为向量 a  ， b 满足 2a b   ， 3a b   ， 所以 2 22 2       a a b b ①， 2 22 3       a a b b ②， 由①  ②得： 4 1    a b ，即 1 4     a b ， 故答案为： 1 4  ． 【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平，属基础题． 15. 已知 1F ， 2F 是双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的两个焦点， P 为C 上一点，O 为 坐标原点，若 2POFV 为等边三角形，则 C 的离心率 e  __________. 【答案】 3 1 【解析】 【分析】 设 F 为双曲线C 的右焦点， P 为双曲线C 在第一象限内的点，由题意可知 3,2 2 c cP       ，代入 计算得到答案. 【详解】设 F 为双曲线 C 的右焦点， P 为双曲线C 在第一象限内的点， - 14 - 由题意可知 3,2 2 c cP       ， 代入双曲线方程得 2 2 2 2 3 14 4 c c a b   ， 即 2 2 2 3 41 ee e   ，又 1e  ，解得 3 1e   . 故答案为： 3 1 . 【点睛】该题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于简单题目. 16. 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2b  ， 3 3c  ，tan 2tanA B ， 则 cos A  __________，△ ABC 的面积为__________. 【答案】 (1). 3 2 (2). 3 3 2 【解析】 【分析】 首先根据 tan 2tanA B ，切化弦整理得到 sin cos cos sin 3cos sinA B A B A B  ，利用正 弦和角公式以及诱导公式得到sin 3cos sinC A B ，再借助于正弦定理，利用题中所给的边 长，求得 3cos 2A  ，利用同角三角函数关系式求得 1sin 2A  ，之后利用面积公式 1 sin2S bc A 直接计算． 【详解】因为 tan 2tanA B ，所以 sin 2sin cos cos A B A B  ， sin cos cos sin 3cos sinA B A B A B  ， 即sin( ) 3cos sinA B A B  ，sin 3cos sinC A B ， 所以 sin3cos sin CA B  ， 由正弦定理可得 sin 3 3 sin 2 C c B b   ， 所以求得 3cos 2A  ，又因为 0 A   ，所以 2 3 1sin 1 cos 1 4 2A A     ， - 15 - 1 1 1 3 3sin 2 3 32 2 2 2△      ABCS bc A ， 故答案为：① 3 2 ；② 3 3 2 . 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦 和角公式，正弦定理，三角形面积公式，属于简单题目． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知数列 na 满足： 1 1a  ，  1 2 2n n nn a a a   ， *n N . （1）证明：数列 na n     是等比数列； （2）求数列 na 的前 n 项和 nS . 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 2 ( 1)n nS n   . 【解析】 【分析】 （1）依题意化简式子可得 1 21 n na a n n    ，根据等比数列的定义可得结果. （2）根据（1）的结论可得 12n na n   ，然后利用错位相减的方法进行求和，可得结果. 【详解】（1）由  1 2 2n n nn a a a   ，得 1 2( 1) nnna n a   ， 则 1 21 n na a n n    ，又 1 1a  ，所以 1 11 a  所以数列 na n     是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. （2）由（1）知， 12nna n  ， 12n na n   . 0 1 2 3 11 2 2 2 3 2 4 2 2n nS n            ， 1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n n nS n n           ， - 16 -  0 1 2 12 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1              n n n n nS n n ， 则 1 2 2n n nS n      ， 所以 1 2 ( 1)n nS n   . 【点睛】本题考查了利用定义证明等比数列,考查了错位相减法求和,熟悉常用的求和公式： 公式法、裂项相消法、错位相减法，属于中档题. 18. 如图，四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， PAD△ 为等边三角 形， E ， F 分别为 PC 和 BD 的中点，且 EF CD . （1）证明：平面 PAD  平面 ABCD ； （2）求 EF 与平面 PDB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 21 7 . 【解析】 【分析】 （1）首先连接 AC ，根据题意易证 PA CD ， AD CD ，从而得到 CD  平面 PAD ，再 根据面面垂直的判定即可得到平面 PAD  平面 ABCD . （2）首先根据 / /EF PA 得到 EF 与平面 PDB 所的成角等于 PA 与平面 PDB 所成角，再以O 为原点，OA， OF ，OP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求 解线面角即可. 【详解】连接 AC ，如图所示： - 17 - 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， F 是 BD 的中点，也是 AC 的中点， 又 E 是 PC 的中点，∴ / /EF PA ， ∵ EF CD ，∴ PA CD ， ∵ AD CD ， AD AP A ，∴CD  平面 PAD ， 又∵CD 平面 ABCD ，∴平面 PAD  平面 ABCD . （2）由（1）知 / /EF PA ， ∴ EF 与平面 PDB 所的成角等于 PA 与平面 PDB 所成角， 取 AD 中点O ，连接 PO ， ∵ PAD△ 是边长为 2的等边三角形， ∴ PO AD 且 3PO  ， 由（1）知平面 PAD  平面 ABCD ，故 PO  平面 ABCD ， 以O 为原点，OA， OF ， OP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz ，如图所示： 则  0,0,0O ，  1,0,0A ，  1,2,0B ，  0,0, 3P ，  1,0,0D  ，  1,0, 3PA   ，  1,2, 3PB   ，  1,0, 3PD    ， - 18 - 设平面 PDB 的法向量为  , ,n x y z ， 则 0 0 n PB n PD         ， 2 3 0 3 0 x y z x z        ，令 1z  ，∴  3, 3,1n   ， 设 EF 与平面 PDB 所成角为 ， 则 2 3 21sin 72 7 PA n PA n           ， ∴ EF 与平面 PDB 所成角的正弦值为 21 7 . 【点睛】本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查向量法求解线面角，同时考查学生的 计算能力，属于中档题. 19. 已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的上顶点 A 与左、右焦点 1F ， 2F 构成一个面积为 1 的直角三角形. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线 l 与椭圆C 相切，求证：点 1F ， 2F 到直线l 的距离之积为定值. 【答案】（1） 2 2 12 x y  ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用已知条件可得 , 1b c bc  ，求出 ,b c ，利用 , ,a b c 的关系求 a ，即可得出结果. （2） 首先讨论直线 l 的斜率是否存在，当不存在时直线 l 的方程为 2x   ，求出点 1F ， 2F 到直 线l 的距离之积；当存在时设其方程为 y kx m  ，与椭圆的方程联立消元，让 0  ，得出 ,m k 的关系式，求出点 1F ， 2F 到直线 l 的距离之积，即可证明出结论. 【详解】（1）解：∵椭圆C 的上顶点 A 与左、右焦点 1F ， 2F 构成一个面积为 1 的直角三角形， ∴ 1 b c bc    ， ∴ 1b c  ， ∴ 2 2 2 2a b c   ， - 19 - ∴椭圆C 的方程为 2 2 12 x y  . （2）证明：①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 2x   ， 点 1F ， 2F 到直线l 的距离之积为  2 1 2 1 1   ， ②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m  ， 联立 2 2 12 y kx m x y     得 2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m     ，     2 2 2 2 2(4 ) 4 1 2 2 2 8 2 1 0km k m m k          ， ∴ 2 21 2m k  ， 点 1F 到直线l ： y kx m  的距离 1 2 1 k md k    ， 点 2F 到直线l ： y kx m  的距离 2 2 1 k md k   . ∴ 2 2 2 2 1 2 2 22 2 2 1 11 11 1 m k k kk m k md d k kk k            . 综上，可知当直线 l 与椭圆C 相切时，点 1F ， 2F 到直线l 的距离之积为定值 1. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系.属于中档题. 20. 已知函数   lnxf x axe x b   在 1x  处的切线方程为  2 1y e x e   . （1）求 a ，b 值； （2）若  f x mx 恒成立，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） 1a  ， 1b   ；（2） 1m £ . 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，根据切线斜率和切点纵坐标建立方程组即可求解； （2）分离参数 ln 1xxe xm x   ，求出 ln 1( ) xxe xx x    的最小值即可得解. 【详解】解：（1）   1x xae axe xf x    ， - 20 - 因为函数   lnxf x axe x b   在 1x  处的切线为  2 1y e x e   ， 所以 (1) 1 (1) 2 1 2 1 f ae b e f ae e           ， 解得 1a  ， 1b   . （2）由  f x mx 得： ln 1 ( 0)xxe x mx x    ，即 ln 1xxe xm x   ， 令 ln 1( ) xxe xx x    ，则 2 2 ln( ) xx e xx x    ， 令   2 lnxh x x e x  ，    2 12 0xh x x x e x      ,  h x 在 0,  单调递增， 1 2 2 2 1 1 1 1 0e eh ee e e          ，  1 0h e  ，  h x 在 1 ,1e      存在零点 0x ， 即   02 0 0 0ln 0xh x x e x   ， 0 0 0 1ln 2 0 0 0 0 0 0 ln 1ln 0 lnx x xxx e x x e ex x               ， 令 xy xe 由于  1 0xy x e    ，所以 xy xe 在 0,  单调递增，故 0 0 0 1ln lnx xx    ， 即 0 0 1xe x  ，  x 在 00, x 减，在 0,x  增， 0 0 0 0 min 0 0 ln 1 1 1( ) 1 xx e x xx x x        ， 所以 1m £ . 【点睛】此题考查导数的几何意义，根据曲线上某点处的切线方程求解参数值，涉及参数的 不等式问题利用分离参数，对新函数利用导函数讨论函数单调性解决最值问题，属于难题. 21. 当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科 技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核 心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产 品年研发费用 x（单位：千万元）对年销售量 y（单位：千万件）和年利润 z （单位：千万元） - 21 - 的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据  , 1,2,3, ,10i ix y i   进行初步处理，得到散 点图及一些统计量的值如下： 10 1 i i i u v   10 1 i i u   10 1 i i v   10 2 1 i i u   30.5 15 15 46.5 表中 lni iu x ， lni iv y . （1）根据散点图判断， y a bx  与 dy cx 哪一个更适合作为年销售量 y 关于年研发费用 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； 附：对于一组数据  , 1,2,3, ,i iu v i n  ，其回归直线  v u   的斜率和截距的最小二乘 估计分别为       1 1 2 22 1 1 n n i i i i i i n n i i i i u u v v u v nuv u u u nu                 ，  v u   . （2）已知年利润 z 与 x ， y 的关系为 27z y xe   （其中 e 为自然对数的底数），要使企业下 一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ （3）科技升级后，该产品的效率 X 大幅提高，经试验统计得 X 大致服从正态分布  20.52,0.01N .企业对科技升级团队的奖励方案如下：若 X 不超过50%，不予奖励；若 X 超过50% ，但不超过53%，每件产品奖励 2 元；若 X 超过53%，每件产品奖励 4 元.记Y 为 - 22 - 每件产品获得的奖励，求  E Y （精确到 0.01）. 附：若随机变量   2, 0X N     ，则   0.6827P X        ，  2 2 0.9545P X        . 【答案】（1） dy cx 更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型， 1 3y ex ；（2）54 千万元；（3） 2.27 元. 【解析】 【分析】 （1）观察散点图中各点更靠近曲线 dy cx ，因此得结论； 对 dy cx 取对数有 ln ln lny c d x  ，即 lnv c du  这是线性的方程，根据已知数据求出 系数 ,lnd c 后可得回归方程； （2）把（1）的结论代入 z ，利用导数求出最大值； （3）根据正态分布的概率公式计算出 (0.50 0.53)P X  ， ( 0.53)P X  ，由期望公式可得 期望． 【详解】解：（1）根据散点图可判断， dy cx 更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型. 对 dy cx 两边取对数，得 ln ln lny c d x  ，即 lnv c du  ， 由表中数据得： 1.5v u  ， 10 1 10 22 1 30.5 10 1.5 1.5 1 46.5 10 1.5 1.5 3 i i i i i u v nuv d u nu             ，  1ln 1.5 1.5 13c v du      ，所以 c e ， 所以 y 关于 x 的回归方程为 1 3y ex . （2） 1 3( ) 27z x x x  ， 2 3'( ) 9 1z x x    ，令  ' 0z x  ，得 27x  ， 当  0,27x 时，  ' 0z x  ，  z x 单调递增； 当  27,x  时，  ' 0z x  ，  z x 单调递减. 所以预计下一年投入 27x  千万元时， - 23 - 年利润 z 取得最大值为 1 3(27) 27 27 27 54z     千万元. （3）因为 2 0.5   ， 0.53   ，所以 (0.50 0.53) ( 2 )P X P X          ( 2 ) ( )P X P X                 0.9545 0.6827 0.6827 0.81862    ， 1 0.6827( 0.53) ( ) 2P X P X        ， 1 0.6827( ) 0 2 0.8186 4 2.2718 2.272E Y        （元）. 【点睛】本题考查回归分析，考查用导数求最值，考查正态分布的概率公式，非线性的回归 方程可通过取对数化为线性回归直线方程，从而求出，本题考查学生的数据处理能力，运算 求解能力．属于中档题． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一 题计分. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 1 x cos y sin       （φ为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2 3 cos  ，曲线 C1 和 C2 在第一象限交于点 A． （1）求点 A 的直角坐标； （2）直线 ( (0, ), )3       R 与曲线 C1，C2 在第一象限分别交于点 B，C，若△ABC 的面 积为 3 ，求α的值． 【答案】（1）（ 3 3 2 2 ， ）；（2） 12   . 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形面积公式和三角函数关系式，求出结果． - 24 - 【详解】（1）曲线 C1 的参数方程为 1 x cos y sin       （ 为参数）， 转换为直角坐标方程为 22 ( 1) 1yx    .根据 2 2 2 x cos y sin x y            22 ( 1) 1yx    转换为极坐标方程为 2sin  . 联立曲线 C1 和 C2 得到： 2 3 2sin cos       ，解得 3 3      ， 即 ( 3 )3 ，A 转换为直角坐标为（ 3 3 2 2 ， ）． （2）连接 OA，由（1）得： ( 3 )3 ，A ， 可得：|OA| 3 ， 3AOx   ， 将直线  与曲线 C1 和 C2 联立可得： (2sin )， B ， (2 3 )， C cos . 2sin OB ， 2 3OC cos ，    COx BOx ，所以 3AOB AOC       ． 则：S△ABC＝S△AOC﹣S△AOB 1 1 2 2OA OC sin AOC OA OB sin AOB       ， 1 13 2 3 3 22 3 2 3sin sin sin sin                       ，  3 33sin cos sin         ， 22 3 33sin        ， 整理得 2 1 3 2sin       ， 所以 12   ． 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、 三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题. - 25 - [选修 4—5：不等式选讲] 23. 关于 x 的不等式  *| 2 |x m m N   的解集为 A，且 3 2 ∈A， 1 2 ∉ A． （1）求 m 的值； （2）设 a，b，c 为正实数，且 3a b c m   ，求  a b c 的最大值． 【答案】（1） 1m  ；（2）3． 【解析】 【分析】 （1）根据集合的特点可得 3 2 ∈A， 1 2 ∉ A，从而得到关于 m 的不等式，即可得答案； （2）利用基本不等式，即可得答案； 【详解】（1）∵ 3 2 ∈A， 1 2 ∉ A， 3 12 , 22 2m m     ，∴ 1 3 2 2m  *, 1m N m   . （2）a，b，c 为正实数，且 3a b c   ， ∴ 1 1 1a b c a b c        1 1 1 ( ) 3 3 3 32 2 2 2 2 a b c a b c            ． 当且仅当 1a b c   时取等号． ∴  a b c 的最大值为 3． 【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础 题. - 26 -