江西省上饶市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 上饶市2020届第三次高考模拟考试 数学（理科）试题卷 一、选择题 ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解不等式，再求交集即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了不等式的解法，属于简单题.‎ ‎2. 复数满足(为虚数单位)，则复数在复平面内所对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算法则，可求出，从而可求出在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，，则复数在复平面内所对应的点为，在第四象限.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.‎ - 28 -‎ ‎3. 展开式中项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出的展开式的通项，根据通项得到，即可求出项的系数.‎ ‎【详解】的展开式的通项为：.‎ 令，解得.‎ 所以展开式中项的系数.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查二项式定理中指定项的系数，熟记二项式定理的通项为解题的关键，属于简单题.‎ ‎4. 执行如图的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 28 -‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，逐步进行运算，直到退出循环体，输出即可.‎ ‎【详解】第一次循环，，，，继续循环，，‎ 第二次循环， ，继续循环，‎ 第三次循环，，继续循环，，‎ 第四次循环，，停止循环，输出.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查根据程序框图求运算结果，考查了学生阅读程序框图的能力，属于简单题.‎ ‎5. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将变换为，再利用诱导公式和二倍角公式计算即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查三角函数中的角变换，同时考查了三角函数的诱导公式和二倍角公式，属于简单题.‎ ‎6. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 28 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用等差数列的性质可得，再由求和公式可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式，意在考查学生灵活运用数学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎7. 将曲线围成的区域记为Ⅰ,曲线围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出曲线与曲线的图像,再根据几何概型的方法求解即可.‎ ‎【详解】当时,曲线、曲线分别为,.‎ 又、均关于轴，原点对称.故两曲线围成的区域Ⅰ（正方形和四个半圆）、Ⅱ(正方形）如图：可知区域Ⅰ的面积为 - 28 -‎ ‎；区域Ⅱ的面积为；‎ ‎∴由几何概率公式得：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的运用,需要根据题意去绝对值画出一象限的图像,再根据对称性补全图像.同时也考查了几何概型中面积型的问题.属于中档题.‎ ‎8. 在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，可以用根小木棍表示“”，则用根小木棍（要求用完根）能表示不含“”且没有重复数字的三位数的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根小木棍可能组成数字、、，、、，、、，、、，分别对其进行全排列即可得出结果.‎ ‎【详解】数字、、组成个，数字、、组成个，数字、、组成个，数字、、组成个，共个符合要求的三位数.‎ 故选:C.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查两个基本的计数原理中数字排列的实际应用,考查学生分析问题的能力,属于中档题.‎ ‎9. 已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，结合解绝对值不等式的公式法进行求解即可.‎ ‎【详解】∵‎ 为偶函数.‎ 由函数的单调性的性质可知： 当时，为单调递减函数.‎ 由， ‎ 根据偶函数的性质由，可得，‎ 所以有.∴，且，‎ 解得不等式的解集为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式解集问题，考查了解绝对值不等式，考查了数学运算能力.‎ ‎10. 半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用 - 28 -‎ ‎，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，‎ 在中，，化为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，此时.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.‎ ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ - 28 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，连结，因为，所以可得，设，根据双曲线的定义求出，再由勾股定理得出，得出，再由直线的斜率为，即可求出离心率.‎ ‎【详解】如图，因为，则取中点，连结，可得，设，因为，则，又因为，则，，则，则，‎ 在中有，在中有，‎ 所以，解得，因为直线的斜率为，‎ 所以，所以，，‎ 所以离心率.‎ - 28 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查双曲线的性质即离心率的求法，解题的关键是找出双曲线中间的关系.‎ ‎12. 已知函数和函数，关于这两个函数图像的交点个数，下列四个结论：①当时，两个函数图像没有交点；②当时，两个函数图像恰有三个交点；③当时，两个函数图像恰有两个交点；④当时，两个函数图像恰有四个交点.正确结论的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两个函数图像交点个数,转化为的解的个数，进而转化为的解的个数，令，利用导数求得函数单调性与最值，结合函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意,两个函数和函数图像交点个数,‎ - 28 -‎ 即为方程的解的个数，即方程的解的个数，‎ 令，‎ ‎①当时，函数，则，‎ 所以在上为增函数，值域为；‎ ‎②当时，，，‎ 由，得.‎ 当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，‎ 所以函数在上有最大值为，‎ 令，方程，化为，‎ 当时，方程无解，原方程无解，两个函数图像无交点；‎ 当时，方程有唯一解，，原方程有唯一解，‎ 两个函数图像恰有一个交点；‎ 当时，方程有两解，，原 方程有两解，两个函数图像恰有两个交点；‎ 当时，方程有两解，，原方程有三解，两个函数图像恰有三个交点；‎ 当时，方程有两解，，原方程有四解，两个函数图像恰有四个交点.‎ - 28 -‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数零点问题，其中解答中把函数图象的交点个数，转化为方程的根的个数，分离参数，转化为函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.‎ 二、填空题 ‎13. 对于正在培育的一颗种子，它可能天后发芽，也可能天后发芽，，如表是颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是________.中位数是________.‎ 发芽前所需培育天数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎≥8‎ 种子数 ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将颗种子发芽天数从小到大排列，再结合众数、中位数的概念求解即可.‎ ‎【详解】解：由图中数据可知，该颗种子发芽天数从小到大排列为：‎ ‎、、、、、、、、、、、、、、、、、、、；‎ 则众数是，中位数为.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查了众数、中位数的概念，重点考查了对数据的处理能力，属基础题.‎ - 28 -‎ ‎14. 若实数x，y满足条件，则的最大值为______.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件对应的可行域，再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．‎ ‎【详解】实数，满足条件，对应的可行域如下图所示：‎ ‎ 由，解得，时，目标函数经过时，目标函数取得最大值，即. ∴的最大值为13.‎ 故答案为：13.‎ ‎【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15. 在扇形中，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ - 28 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，再结合三角函数值域的求法求解即可.‎ ‎【详解】解：由题意可知，在扇形中，，为弧上的一个动点.‎ 不妨设，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，‎ 令，则，，,，‎ 又，‎ 则，则，‎ 则，‎ 又，‎ 则，‎ 则，‎ 即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换的辅助角的应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.‎ ‎16. 正方形的两个顶点在直线上，另两个顶点分别在直线，上，那么正方形的边长为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 28 -‎ 先设直线的方程为，再求出的坐标，然后结合两点的距离公式及两平行线的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】解：设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 联立，得，‎ ‎∴由两点的距离公式可得，‎ 又直线与的距离为，‎ ‎∴，‎ 解得或，‎ 即或.‎ 即正方形的边长为或，‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查了两点的距离公式及两平行线的距离公式，重点考查了直线交点坐标的求法，属中等题.‎ 三、解答题 ‎17. 已知的内角的对边分别为，且满足，为锐角.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，点为边上的动点（不与点重合），设，求 - 28 -‎ 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由二倍角的正弦公式及辅助角公式可得，再求即可；‎ ‎（2）在中，由正弦定理可得，则有，然后结合三角函数的值域的求法求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵为锐角，则 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（2）由，可知，‎ ‎∵在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故的取值范围为.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及辅助角公式，重点考查了正弦定理的应用及三角函数值域的求法，属中档题.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点是棱的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，即可证明平面.‎ ‎（2）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，取平面的一个法向量为，结合空间向量数量积运算即可得解.‎ ‎【详解】证明：（1）如图，取的中点，连接、.‎ ‎∵是的中点，∴，，‎ 又，，所以，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ - 28 -‎ ‎∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）在平面内过点作的垂线，由题意知，，两两垂直，以 为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空 间直角坐标系，由题意知，，，‎ 可得，，，∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由，即，令，则，，‎ ‎∴为平面的一个法向量.‎ ‎∵底面，∴可取平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∵二面角为锐二面角，‎ ‎∴二面角的大小为.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属中档题.‎ ‎19. 为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.‎ ‎（1）经过轮投篮，记甲得分为，求的分布列及期望；‎ ‎（2）若经过轮投篮，用表示第轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.‎ ‎①求；‎ ‎②规定，经过计算机模拟计算可得，请根据①中值求出的值，并由此求出数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）①，，②，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先阅读题意，可得的可能取值为，然后求出对应的概率，然后求出的分布列及期望即可；‎ - 28 -‎ ‎（2）结合题意求出，然后求出的值，再利用累加法求数列的通项公式即可.‎ ‎【详解】解：（1）的可能取值为，‎ 则；‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ 期望.‎ 即经过轮投篮，甲得分的期望为分.‎ ‎（2）①由（1）知，‎ 经过两轮投球，甲的累计得分低的有两种情况：‎ 一是甲两轮都得分为；二是两轮中甲一轮得分，另一轮得分，则.‎ 经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：；；；，‎ 则；‎ ‎②将的值分别代入得，‎ 得，.‎ - 28 -‎ ‎∴，即，‎ 又，所以是首项、公比都是的等比数列.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列及期望，重点考查了累加法求数列的前项和及数列的通项公式，属中档题.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若过点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，分别为弦的中点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线上到准线的距离最小的点是顶点可求得，得抛物线方程；‎ ‎（2）首先题意说明两直线斜率都存在且均不为，设直线的斜率为 - 28 -‎ ‎，则直线的斜率为，设点，，由直线方程与抛物线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点的坐标，求出，同理可得，计算后应用基本不等式可得最小值．‎ ‎【详解】（1）∵抛物线上的点到准线的最小距离为，∴，解得，‎ ‎∴抛物线的方程为：；‎ ‎（2）由（1）可知焦点为，‎ 由已知可得，∴两直线的斜率都存在且均不为，‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 联立方程，消去得：，‎ 设点，，则，‎ ‎∵为弦的中点，所以，‎ 由，得，‎ ‎∴点，‎ 同理可得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，等号成立，‎ ‎∴的最小值为.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线与抛物线相交中的最值，解题时可设交点坐标，设出直线方程，与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，求得中点坐标，得线段长，这是圆锥曲线中的“设而不求”思想的应用．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间情况；‎ ‎（2）若函数有且只有两个零点，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，根据的正负确定函数的单调区间，可按的正、负、零分类讨论；‎ ‎（2）由（1）需分和讨论，时，在上有且只有一个零点；因此在上最大值为0，即最大值点为零点，由此可得零点及，从而可确定另一零点的范围证得结论，时类似讨论可得．‎ ‎【详解】（1）的定义域为，，‎ 当时，时，，在上递减，时，，在上递增；‎ 当时，在上，，在上，，在上递减，在和上分别递增；‎ 当时，在上，，在上，，在和上分别递减，在上递增.‎ ‎（2）由（1）可知，当时，在上递减，在和上分别递增，‎ - 28 -‎ 在上，当时，，当时，，在上有且只有一个零点；‎ 在上，当时，，当时，，为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点，则需在的最大值，可得，零点；‎ 而当时，，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴另一个零点满足：，‎ ‎∴，‎ 由（1）可知，当时，在和上分别递减，在上递增，‎ 在上，当时，，当时，，在上有且只有一个零点；‎ 在上，当时，，当时，，为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点，则需在的最大值，可得，零点；‎ 而当时，，，，由上面证明可知，，‎ - 28 -‎ ‎∴另一个零点满足：，‎ ‎∴，‎ 综上可知，.‎ ‎【点睛】本题考查导数与单调性的关系，考查用导数研究函数的零点．解题时要注意零点存在定理的应用，在某个区间上函数是单调的，则在此区间上函数至多有一个零点．本题还考查了学生的转化与化归思想，运算求解能力，属于难题．‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，，，），使点、到的距离都为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据题意求出曲线的参数方程为（为参数），从而得到直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可.根据，，将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程即可.‎ ‎（2）首先计算曲线的圆心到直线的距离，结合图象得到存在这样的点，再利用极坐标计算的值即可.‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），‎ - 28 -‎ 将曲线上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），‎ 得到曲线的参数方程为（为参数），‎ 得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，‎ 又直线的极坐标方程为，‎ 故其直角坐标方程为.‎ ‎（2）曲线是以为圆心，为半径的圆，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以存在这样的点，，且点到直线的距离为，‎ 如图所示：‎ 因为，所以，‎ 即：.‎ 又因为，，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题第一问考查圆的极坐标方程和参数方程，同时考查了直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查直线与圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎23. 设函数.‎ - 28 -‎ ‎（1）若，求实数的取值范围.‎ ‎（2）证明：对于任意的，成立.‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.‎ ‎（2）首先将题意转化为证明，再利用绝对值三角不等式和均值不等式证明即可.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，可化为：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上所述：或.‎ ‎（2）要证恒成立，‎ 即证恒成立，‎ 也就是证明恒成立.‎ ‎∵的最大值为，‎ - 28 -‎ 即证.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴原结论成立.‎ ‎【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式和均值不等式，属于中档题.‎ - 28 -‎ - 28 -‎