高科数学专题复习课件：第一章 1_2命题及其关系、充分条件与必要条件
§
1.2
命题及其关系、充分条件与必要条件
基础知识
自主学习
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
基础知识 自主学习
1.
四种命题及相互关系
知识梳理
若
q
，则
p
若
綈
p
，则
綈
q
若
綈
q
，
则
綈
p
2.
四种命题的真假关系
(1)
两个命题互为逆否命题，它们
有
的
真假性；
(2)
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系
.
3.
充分条件与必要条件
(1)
如果
p
⇒
q
，则
p
是
q
的
条件
，同时
q
是
p
的
条件
；
(2)
如果
p
⇒
q
，但
q
⇏
p
，则
p
是
q
的
条件
；
(3)
如果
p
⇒
q
，且
q
⇒
p
，则
p
是
q
的
条件
；
(4)
如果
q
⇒
p
，且
p
⇏
q
，则
p
是
q
的
条件
；
(5)
如果
p
⇏
q
，且
q
⇏
p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件
.
相同
充分
必要
充分不必要
充要
必要不充分
从集合角度理解充分条件与必要条件
若
p
以集合
A
的形式出现，
q
以集合
B
的形式出现，即
A
＝
{
x
|
p
(
x
)}
，
B
＝
{
x
|
q
(
x
)}
，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)
若
A
⊆
B
，则
p
是
q
的充分条件；
(2)
若
A
⊇
B
，则
p
是
q
的必要条件；
(3)
若
A
＝
B
，则
p
是
q
的充要条件；
(4)
若
A
B
，则
p
是
q
的充分不必要条件；
(5)
若
A
B
，则
p
是
q
的必要不充分条件；
(6)
若
A
B
且
A
肟
B
，则
p
是
q
的既不充分也不必要条件
.
知识
拓展
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(1)
“
x
2
＋
2
x
－
3<0
”
是命题
.(
)
(2)
命题
“
若
p
，则
q
”
的否命题是
“
若
p
，则
綈
q
”.
(
)
(3)
若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题
.(
)
(4)
当
q
是
p
的必要条件时，
p
是
q
的充分条件
.(
)
(5)
当
p
是
q
的充要条件时，也可说成
q
成立当且仅当
p
成立
.(
)
(6)
若
p
是
q
的充分不必要条件，则
綈
p
是
綈
q
的必要不充分条件
.(
)
思考辨析
×
×
√
√
√
√
1.
下列命题中为真命题的
是
A.
命题
“
若
x
>
y
，则
x
>|
y
|
”
的逆命题
B.
命题
“
若
x
>1
，则
x
2
>1
”
的否命题
C.
命题
“
若
x
＝
1
，则
x
2
＋
x
－
2
＝
0
”
的否命题
D.
命题
“
若
x
2
>0
，则
x
>1
”
的逆否命题
考点自测
答案
解析
对于
A
，其逆命题是若
x
>|
y
|
，则
x
>
y
，是真命题，
这是因为
x
>|
y
|
≥
y
，必有
x
>
y
.
2.(
教材改编
)
命题
“
若
x
2
>
y
2
，则
x
>
y
”
的逆否命题
是
A.
若
x
<
y
，则
x
2
<
y
2
B
.
若
x
≤
y
，则
x
2
≤
y
2
C.
若
x
>
y
，则
x
2
>
y
2
D
.
若
x
≥
y
，则
x
2
≥
y
2
答案
解析
根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题
“
若
x
2
>
y
2
，
则
x
>
y
”
的逆否命题是
“
若
x
≤
y
，
则
x
2
≤
y
2
”.
3.(
教材改编
)
“
(
x
－
1)(
x
＋
2)
＝
0
”
是
“
x
＝
1
”
的
A.
充分不必要
条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
答案
解析
由
(
x
－
1)(
x
＋
2)
＝
0
可得
x
＝
1
或
x
＝－
2
，
∵
{1}
{1
，－
2}
，
∴“
(
x
－
1)(
x
＋
2)
＝
0
”
是
“
x
＝
1
”
的必要不充分条件
.
4.(2016·
北京
)
设
a
，
b
是向量，则
“
|
a
|
＝
|
b
|
”
是
“
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
”
的
A.
充分而不必要条件
B
.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D
.
既不充分也不必要条件
答案
解析
若
|
a
|
＝
|
b
|
成立，则以
a
，
b
为邻边构成的四边形为菱形，
a
＋
b
，
a
－
b
表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，
所以
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
不一定成立；
反之，若
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
成立，则以
a
，
b
为邻边构成的四边形为矩形，
而矩形的邻边不一定相等，所以
|
a
|
＝
|
b
|
不一定成立，
所以
“
|
a
|
＝
|
b
|
”
是
“
|
a
＋
b
|
＝
|
a
－
b
|
”
的既不充分也不必要条件
.
5.
在下列三个结论中，正确的是
________.(
写出所有正确结论的序号
)
①
若
A
是
B
的必要不充分条件，则
綈
B
也是
綈
A
的必要不充分条件；
③“
x
≠
1
”
是
“
x
2
≠
1
”
的充分不必要条件
.
易知
①②
正确
.
对于
③
，若
x
＝－
1
，
则
x
2
＝
1
，充分性不成立，故
③
错误
.
答案
解析
①②
题型分类 深度剖析
题型一 命题及其关系
例
1
(2016·
宿州模拟
)
下列命题：
①“
若
a
2
<
b
2
，则
a
<
b
”
的否命题；
②“
全等三角形面积相等
”
的逆命题；
③“
若
a
>1
，则
ax
2
－
2
ax
＋
a
＋
3>0
的解集为
R
”
的逆否命题；
④“
若
x
(
x
≠
0)
为有理数，则
x
为无理数
”
的逆否命题
.
其中正确的命题
是
A.
③④
B
.
①③
C
.
①②
D
.
②④
答案
解析
对于
①
，否命题为
“
若
a
2
≥
b
2
，则
a
≥
b
”
，为假命题；
对于
②
，逆命题为
“
面积相等的三角形是全等三角形
”
，是假命题；
对于
③
，当
a
>1
时，
Δ
＝－
12
a
<0
，原命题正确，从而其逆否命题正确，故
③
正确；
对于
④
，原命题正确，从而其逆否命题正确，故
④
正确
.
故选
A.
思维
升华
(1)
写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①
对于不是
“
若
p
，则
q
”
形式的命题，需先改写；
②
若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提
.
(2)
判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例
.
(3)
根据
“
原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假
”
这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假
.
跟踪训练
1
(1)
命题
“
若
x
>0
，则
x
2
>0
”
的否命题
是
A.
若
x
>0
，则
x
2
≤
0 B
.
若
x
2
>0
，则
x
>0
C.
若
x
≤
0
，则
x
2
≤
0 D
.
若
x
2
≤
0
，则
x
≤
0
答案
(2)
某食品的广告词为
“
幸福的人们都拥有
”
，这句话的等价命题
是
A.
不拥有的人们会幸福
B.
幸福的人们不都拥有
C
.
拥有的人们不
幸福
D
.
不拥有的人们不幸福
答案
题型二 充分必要条件的判定
例
2
(1)(2015·
四川
)
设
a
，
b
都是不等于
1
的正数，则
“
3
a
＞
3
b
＞
3
”
是
“
log
a
3
＜
log
b
3
”
的
A.
充要条件
B
.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D
.
既不充分也不必要条件
答案
解析
∵
3
a
>3
b
>3
，
∴
a
>
b
>1
，此时
log
a
3
3
b
>3
，
故
“
3
a
>3
b
>3
”
是
“
log
a
31
或
x
<
－
3
，条件
q
：
5
x
－
6>
x
2
，则
綈
p
是
綈
q
的
A.
充分不必要
条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
答案
解析
由
5
x
－
6>
x
2
，得
2<
x
<3
，
即
q
：
2<
x
<3.
所以
q
⇒
p
，
p
⇏
q
，所以
綈
p
⇒
綈
q
，
綈
q
⇏
綈
p
，
所以
綈
p
是
綈
q
的充分不必要条件，故选
A.
思维
升华
充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)
定义法：根据
p
⇒
q
，
q
⇒
p
进行判断，适用于定义、定理判断性问题
.
(2)
集合法：根据
p
，
q
成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题
.
(3)
等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题
.
跟踪训练
2
(1)(2016·
四川
)
设
p
：实数
x
，
y
满足
x
>1
且
y
>1
，
q
：实数
x
，
y
满足
x
＋
y
>2
，则
p
是
q
的
A.
充分不必要条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
答案
解析
当
x
>1
，
y
>1
时，
x
＋
y
>2
一定成立，即
p
⇒
q
，
当
x
＋
y
>2
时，可以
x
＝－
1
，
y
＝
4
，即
q
⇏
p
，
故
p
是
q
的充分不必要条件
.
(2)
已知
p
：
x
＋
y
≠
－
2
，
q
：
x
，
y
不都是－
1
，则
p
是
q
的
A.
充分不必要
条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
答案
解析
(
等价法
)
因为
p
：
x
＋
y
≠
－
2
，
q
：
x
≠
－
1
或
y
≠
－
1
，
所以
綈
p
：
x
＋
y
＝－
2
，
綈
q
：
x
＝－
1
且
y
＝－
1
，
因为
綈
q
⇒
綈
p
但
綈
p
⇏
綈
q
，
所以
綈
q
是
綈
p
的充分不必要条件，
即
p
是
q
的充分不必要条件，故选
A.
题型三 充分必要条件的应用
例
3
已知
P
＝
{
x
|
x
2
－
8
x
－
20
≤
0}
，非空集合
S
＝
{
x
|1
－
m
≤
x
≤
1
＋
m
}.
若
x
∈
P
是
x
∈
S
的必要条件，求
m
的取值范围
.
解答
由
x
2
－
8
x
－
20
≤
0
，得－
2
≤
x
≤
10
，
∴
P
＝
{
x
|
－
2
≤
x
≤
10}
，
由
x
∈
P
是
x
∈
S
的必要条件，知
S
⊆
P
.
∴
当
0
≤
m
≤
3
时，
x
∈
P
是
x
∈
S
的必要条件
，
即
所求
m
的取值范围是
[0,3].
引申探究
1.
本例条件不变，问是否存在实数
m
，使
x
∈
P
是
x
∈
S
的充要条件
.
解答
若
x
∈
P
是
x
∈
S
的充要条件，则
P
＝
S
，
即不存在实数
m
，使
x
∈
P
是
x
∈
S
的充要条件
.
2.
本例条件不变，若
x
∈
綈
P
是
x
∈
綈
S
的必要不充分条件，求实数
m
的取值范围
.
解答
由例题知
P
＝
{
x
|
－
2
≤
x
≤
10}
，
∵
綈
P
是
綈
S
的必要不充分条件
，
∴
P
⇒
S
且
S
⇏
P
.
∴
[
－
2,10]
[
1
－
m,
1
＋
m
].
∴
m
≥
9
，即
m
的取值范围是
[9
，＋
∞
).
思维
升华
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上
.
解题时需注意：
(1)
把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式
(
或不等式组
)
求解
.
(2)
要注意区间端点值的检验
.
跟踪训练
3
(1)
已知命题
p
：
a
≤
x
≤
a
＋
1
，命题
q
：
x
2
－
4
x
<0
，若
p
是
q
的充分不必要条件，则
a
的取值范围是
______.
答案
解析
令
M
＝
{
x
|
a
≤
x
≤
a
＋
1}
，
N
＝
{
x
|
x
2
－
4
x
<0}
＝
{
x
|0<
x
<4}.
∵
p
是
q
的充分不必要条件，
∴
M
N
，
(0,3)
(2)
已知条件
p
：
2
x
2
－
3
x
＋
1
≤
0
，条件
q
：
x
2
－
(2
a
＋
1)
x
＋
a
(
a
＋
1)
≤
0.
若
綈
p
是
綈
q
的必要不充分条件，则实数
a
的取值范围是
______.
答案
解析
命题
p
为
{
x
|
≤
x
≤
1}
，命题
q
为
{
x
|
a
≤
x
≤
a
＋
1}.
綈
p
对应的集合
A
＝
{
x
|
x
>1
或
x
< }
，
綈
q
对应的集合
B
＝
{
x
|
x
>
a
＋
1
或
x
<
a
}.
∵
綈
p
是
綈
q
的必要不充分条件，
典例
(1)(2016·
湖北七校联考
)
已知
p
，
q
是两个命题，那么
“
p
∧
q
是真命题
”
是
“
綈
p
是假命题
”
的
A.
充分不必要
条件
B
.
必要不充分条件
C.
充分
必要条件
D
.
既不充分也不必要条件
(2)
已知条件
p
：
x
2
＋
2
x
－
3>0
；条件
q
：
x
>
a
，且
綈
q
的一个充分不必要条件是
綈
p
，则
a
的取值范围
是
A.
[
1
，＋
∞
)
B
.(
－
∞
，
1
]
C.
[
－
1
，＋
∞
)
D
.(
－
∞
，－
3
]
等价
转化思想在充要条件中的应用
思想与方法系列
1
答案
解析
思想方法指
导
等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成
简单
的
、
熟悉的问题，在解题中经常用到
.
本题
可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化
.
返回
(1)
因为
“
p
∧
q
是真命题
”
等价于
“
p
，
q
都为真命题
”
，
且
“
綈
p
是假命题
”
等价于
“
p
是真命题
”
，
所以
“
p
∧
q
是真命题
”
是
“
綈
p
是假命题
”
的充分不必要条件
.
(2)
由
x
2
＋
2
x
－
3>0
，得
x
<
－
3
或
x
>1
，
由
綈
q
的一个充分不必要条件是
綈
p
，
可知
綈
p
是
綈
q
的充分不必要条件，等价于
q
是
p
的充分不必要条件
.
∴
{
x
|
x
>
a
}
{
x
|
x
<
－
3
或
x
>1}
，
∴
a
≥
1.
返回
课时作业
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.
命题
“
如果
x
≥
a
2
＋
b
2
，那么
x
≥
2
ab
”
的逆否命题
是
A.
如果
x
<
a
2
＋
b
2
，那么
x
<2
ab
B.
如果
x
≥
2
ab
，那么
x
≥
a
2
＋
b
2
C.
如果
x
<2
ab
，那么
x
<
a
2
＋
b
2
D.
如果
x
≥
a
2
＋
b
2
，那么
x
＜
2
ab
√
答案
解析
命题
“
若
p
，则
q
”
的逆否命题是
“
若
綈
q
，则
綈
p
”
，
“≥”
的否定是
“
<
”.
故答案
C
正确
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3.
给出命题：若函数
y
＝
f
(
x
)
是幂函数，则函数
y
＝
f
(
x
)
的图象不过第四象限
.
在它的逆命题、否命题、逆否命题
3
个命题中，真命题的个数
是
A.3
B.2 C.1 D.0
√
答案
解析
原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；
它的逆命题为
“
若函数
y
＝
f
(
x
)
的图象不过第四象限
，
则
函数
y
＝
f
(
x
)
是幂函数
”
，
显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题
.
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题
3
个命题中真命题只有
1
个
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4.(2015·
重庆
)
“
x
＞
1
”
是
“
”
的
A.
充要条件
B
.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D
.
既不充分也不必要条件
√
答案
解析
由
x
＞
1
⇒
x
＋
2
＞
3
⇒
，
⇒
x
＋
2
＞
1
⇒
x
＞－
1
，
故
“
x
＞
1
”
是
“
”
成立的充分不必要条件
.
故选
B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.(2016·
山东
)
已知直线
a
，
b
分别在两个不同的平面
α
，
β
内，则
“
直线
a
和直线
b
相交
”
是
“
平面
α
和平面
β
相交
”
的
A.
充分不必要条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
√
答案
解析
若直线
a
和直线
b
相交，则平面
α
和平面
β
相交；
若平面
α
和平面
β
相交，那么直线
a
和直线
b
可能平行或异面或相交
，
故
选
A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.
已知集合
A
＝
{
x
∈
R
| <
2
x
<8}
，
B
＝
{
x
∈
R
|
－
1<
x
<
m
＋
1}
，若
x
∈
B
成立的一个充分不必要条件是
x
∈
A
，则实数
m
的取值范围
是
A.{
m
|
m
≥
2}
B
.{
m
|
m
≤
2}
C.{
m
|
m
>2}
D
.{
m
|
－
2<
m
<2}
√
答案
解析
A
＝
{
x
∈
R
| <
2
x
<8}
＝
{
x
|
－
1<
x
<3}
，
∵
x
∈
B
成立的一个充分不必要条件是
x
∈
A
，
∴
A
B
，
∴
m
＋
1>3
，
即
m
>2
，故选
C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7.
设
U
为全集，
A
，
B
是集合，则
“
存在集合
C
使得
A
⊆
C
，
B
⊆
∁
U
C
”
是
“
A
∩
B
＝
∅
”
的
A.
充分不必要
条件
B
.
必要不充分条件
C.
充要条件
D
.
既不充分也不必要条件
√
答案
解析
由
Venn
图易知充分性成立
.
反之，
A
∩
B
＝
∅
时，由
Venn
图
(
如图
)
可知
，
存在
A
＝
C
，同时满足
A
⊆
C
，
B
⊆
∁
U
C
.
故
“
存在集合
C
使得
A
⊆
C
，
B
⊆
∁
U
C
”
是
“
A
∩
B
＝
∅
”
的充要条件
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A.
p
是
q
的必要条件，但不是
q
的充分条件
B.
p
是
q
的充分条件，但不是
q
的必要条件
C.
p
是
q
的充分必要条件
D.
p
既不是
q
的充分条件，也不是
q
的必要条件
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
若
p
成立，设
a
1
，
a
2
，
…
，
a
n
的公比为
q
，
(
a
1
a
2
＋
a
2
a
3
＋
…
＋
a
n
－
1
a
n
)
2
＝
(
a
1
a
2
)
2
(1
＋
q
2
＋
…
＋
q
2
n
－
4
)
2
，
故
q
成立，故
p
是
q
的充分条件
.
取
a
1
＝
a
2
＝
…
＝
a
n
＝
0
，则
q
成立，而
p
不成立，故
p
不是
q
的必要条件，故选
B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9.
设
a
，
b
为正数，则
“
a
－
b
>1
”
是
“
a
2
－
b
2
>1
”
的
_______
__
_
条件
.(
填
“
充分不必要
”“
必要不充分
”“
充要
”“
既不充分也不必要
”
)
答案
解析
∵
a
－
b
>1
，即
a
>
b
＋
1.
又
∵
a
，
b
为正数，
∴
a
2
>(
b
＋
1)
2
＝
b
2
＋
1
＋
2
b
>
b
2
＋
1
，即
a
2
－
b
2
>1
成立
，
反之
，当
a
＝
，
b
＝
1
时，满足
a
2
－
b
2
>1
，但
a
－
b
>1
不成立
.
所以
“
a
－
b
>1
”
是
“
a
2
－
b
2
>1
”
的充分不必要条件
.
充分不必要
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.
有三个命题：
①“
若
x
＋
y
＝
0
，则
x
，
y
互为相反数
”
的逆命题
；
②
“
若
a
>
b
，则
a
2
>
b
2
”
的逆否命题
；
③
“
若
x
≤
－
3
，则
x
2
＋
x
－
6>0
”
的否命题
.
其中真命题的序号为
____.
答案
解析
①
命题
①
为
“
若
x
，
y
互为相反数，则
x
＋
y
＝
0
”
是真命题；
因为命题
“
若
a
>
b
，则
a
2
>
b
2
”
是假命题，故命题
②
是假命题；
命题
③
为
“
若
x
>
－
3
，则
x
2
＋
x
－
6
≤
0
”
，因为
x
2
＋
x
－
6
≤
0
⇔
－
3
≤
x
≤
2
，故命题
③
是假命题
.
综上知只有命题
①
是真命题
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11.
已知
f
(
x
)
是定义在
R
上的偶函数，且以
2
为周期，则
“
f
(
x
)
为
[0,1]
上的增函数
”
是
“
f
(
x
)
为
[3,4]
上的减函数
”
的
________
条件
.(
填
“
充分不必要
”“
必要不充分
”“
充要
”“
既不充分也不必要
”
)
答案
解析
充要
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
若当
x
∈
[
0,1
]
时，
f
(
x
)
是增函数，
又
∵
y
＝
f
(
x
)
是偶函数，
∴
当
x
∈
[
－
1,0]
时，
f
(
x
)
是减函数
.
当
x
∈
[3,4]
时，
x
－
4
∈
[
－
1,0]
，
∵
T
＝
2
，
∴
f
(
x
)
＝
f
(
x
－
4).
故
x
∈
[3,4]
时，
f
(
x
)
是减函数，充分性成立
.
反之，若
x
∈
[3,4]
时，
f
(
x
)
是减函数
，此时
x
－
4
∈
[
－
1,0]
，
∵
T
＝
2
，
∴
f
(
x
)
＝
f
(
x
－
4)
，则
当
x
∈
[
－
1,0]
时，
f
(
x
)
是减函数
.
∵
y
＝
f
(
x
)
是偶函数，
∴
当
x
∈
[0,1]
时，
f
(
x
)
是增函数，必要性也成立
.
故
“
f
(
x
)
为
[0,1]
上的增函数
”
是
“
f
(
x
)
为
[3,4]
上的减函数
”
的充要条件
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.
若
x
<
m
－
1
或
x
>
m
＋
1
是
x
2
－
2
x
－
3>0
的必要不充分条件，则实数
m
的取值范围是
________.
答案
解析
[0
,
2]
由已知易得
{
x
|
x
2
－
2
x
－
3>0}
{
x
|
x
<
m
－
1
或
x
>
m
＋
1}
，
又
{
x
|
x
2
－
2
x
－
3>0}
＝
{
x
|
x
<
－
1
或
x
>3}
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13.
若
“
数列
a
n
＝
n
2
－
2
λn
(
n
∈
N
*
)
是递增数列
”
为假命题，则
λ
的取值范围是
___________.
答案
解析
若数列
a
n
＝
n
2
－
2
λn
(
n
∈
N
*
)
为递增数列，则有
a
n
＋
1
－
a
n
>0
，
即
2
n
＋
1>2
λ
对任意的
n
∈
N
*
都成立，于是可得
3>2
λ
，即
λ
< .
故所求
λ
的取值范围是
[
，＋
∞
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
*14.
下列四个结论中：
①“
λ
＝
0
”
是
“
λ
a
＝
0
”
的充分不必要条件
；
②
在
△
ABC
中，
“
AB
2
＋
AC
2
＝
BC
2
”
是
“△
ABC
为直角三角形
”
的充要条件
；
③
若
a
，
b
∈
R
，则
“
a
2
＋
b
2
≠
0
”
是
“
a
，
b
全不为零
”
的充要条件
；
④
若
a
，
b
∈
R
，则
“
a
2
＋
b
2
≠
0
”
是
“
a
，
b
不全为零
”
的充要条件
.
其中
正确
的是
________.
答案
解析
①④
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
由
λ
＝
0
可以推出
λ
a
＝
0
，但是由
λ
a
＝
0
不一定推出
λ
＝
0
成立，所以
①
正确；
由
AB
2
＋
AC
2
＝
BC
2
可以推出
△
ABC
是直角三角形，但是由
△
ABC
是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以
②
不正确；
由
a
2
＋
b
2
≠
0
可以推出
a
，
b
不全为零，
反之，由
a
，
b
不全为零可以推出
a
2
＋
b
2
≠
0
，
所以
“
a
2
＋
b
2
≠
0
”
是
“
a
，
b
不全为零
”
的充要条件，而不是
“
a
，
b
全不为零
”
的充要条件，
③
不正确，
④
正确
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解答
由
x
＋
m
2
≥
1
，得
x
≥
1
－
m
2
，
∴
B
＝
{
x
|
x
≥
1
－
m
2
}.
∵“
x
∈
A
”
是
“
x
∈
B
”
的充分条件
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
