2019-2020学年江苏省海安高级中学高一12月月考(创新班)数学试题

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2019-2020学年江苏省海安高级中学高一12月月考(创新班)数学试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一12月月考(创新班)数学试题 一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分.单选题1~10,多选题11~13)‎ ‎1.已知集合,,则 ( )‎ A. B. {1} C. {3} D. {1,3}‎ ‎2. ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设、、,且,则(   ).‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知,,,则, ,的大小关系是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知,表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是 A.若则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎6. 在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,则A=(   )‎ ‎ A.30° B.45° C.60° D.75°‎ ‎7.已知数列的前n项和为,且,则等于(   )‎ A.4 B.2 C.1 D.-2‎ ‎8. 函数的图象如图所示,为了得到函数的图象,可以把函数的图象 ( )‎ A. 每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),‎ 再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位 C. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)‎ D. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)‎ ‎9. 已知,若实数满足,,实数满足,那么下列不等式中,一定成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图,以为直径在正方形内部作半圆,为半圆上与不重合的一动点,下面关于的说法正确的是( )‎ A. 无最大值,但有最小值 B. 既有最大值,又有最小值 C. 有最大值,但无最小值 D. 既无最大值,又无最小值 ‎11. 定义:若函数的定义域为,且存在非零常数,对任意,恒成立,则称为线周期函数,为的线周期.‎ 下列函数是线周期函数的是 ‎ A. B. ‎ C.(其中表示不超过x的最大整数), D.‎ ‎12.已知函数在区间上是增函数,则下列结论正确的是_______‎ A. 一定为正数;‎ B. 函数在区间上是增函数;‎ C. 满足条件的正整数的最大值为3;‎ D. .‎ ‎13.如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区(不含边界).已知下列四个向量:‎ A. ; ‎ B. ;‎ C. ; ‎ D. .‎ 对于点,,,,落在阴影区域内(不含边界)的有_____.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)‎ ‎14.已知角的终边过点,则____________.‎ ‎15.已知数列的前n项和为,且,则等于____________.‎ ‎16.函数()是区间上的增函数,则的取值范围 是_____________.‎ ‎17.已知的终边与单位圆交于点,点关于直线对称后的点为,点关于轴对称后的点为,设角终边为射线.‎ ‎(1)与的关系为______;‎ ‎(2)若,则______.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共82分.18题12分,其余每题14分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎18. 如图,在三棱柱中,侧面是矩形,侧面是菱形, 是的中点. 是与的交点, ,求证:‎ ‎(1) 平面;‎ ‎(2) ⊥平面.‎ ‎19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整;函数的解析式为= (直接写出结果即可); ‎ ‎(2)求函数的单调递增区间; ‎ ‎(3)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎20.(本小题满分14分)△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为, ‎ ‎(I)求a和sinC的值;‎ ‎(II)求 的值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,解关于的不等式;‎ ‎(3)若正数满足,且对于任意的恒成立,求实数的值.‎ ‎22.某水产养殖户制作一体积为立方米的养殖网箱(无盖),网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域(如图),网箱.上底面的一边长为米,网箱的四周与隔栏的制作价格是元/平方米,网箱底部的制作价格为元/平方米.设网箱上底面的另一边长为米,网箱的制作总费用为元.‎ ‎(1)求出与之间的函数关系,并指出定义域;‎ ‎(2)当网箱上底面的另一边长为多少米时,制作网箱的总费用最少.‎ ‎23.已知是公差不为零的等差数列, 是等比数列,且,,.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)记,求数列的前项和;‎ ‎(3)若满足不等式成立的恰有个,求正整数的值.‎ 高一数学月考 ‎ 一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分.单选题1~10,多选题11~13)‎ ‎1.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选D.‎ ‎2. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选D.‎ ‎3. ‎ ‎【答案】D ‎4. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,故,故选B.‎ ‎5. ‎ ‎【答案】B ‎6.‎ ‎【答案】A ‎7.‎ ‎【答案】A ‎8. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据函数的图象,设可得 ‎ 再根据五点法作图可得 ‎ 故可以把函数图象先向左平移个单位,得到 ‎ 的图象,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即可得到 函数的图象, 故选:C.‎ ‎9. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵在上是增函数,且, 中一项为负,两项为正数;或者三项均为负数; 即:;或 由于实数是函数)的一个零点, 当时, 当 时, ‎ 故选B ‎10. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设正方形的边长为2,如图建立平面直角坐标系,‎ 则D(-1,2),P(cosθ,sinθ),(其中0<θ<π)‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ∵cosθ∈(-1,1),∴∈(4,16).‎ 故选D.‎ 点睛:本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系的方法,引入三角函数来解决使得思路清晰,计算简便,遇见正方形,圆,等边三角形,直角三角形等特殊图形常用建系的方法.‎ ‎11. ‎ ‎【答案】CD ‎12. ‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】由题函数在区间上是增函数,则由可得为奇函数, 则B函数在区间(,0)上是增函数,正确; 由 可得 ,即有满足条件的正整数的最大值为3,故C正确; 由于 由题意可得对称轴 ,即有.,故D正确.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质,重点是对称性和单调性的运用,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎13. ‎ ‎【答案】AB 若为中点,则由向量的加法法则可得 ;‎ 设在阴影区域内,则射线与线段有公共点,记为 , ‎ 则存在实数,使得 ‎ 且存在实数,使得 从而 ‎ 且 又由于 ,故 对于①中 ,解得 满足也满足,故①满足条件. 对于② 解得 ,满足也满足故②满足条件, 对于③ 解得,不满足,故③不满足条件, 对于④ ‎ 解得 ,不满足,故④不满足条件,‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上)‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵角的终边经过点 则 ‎ 故答案为.‎ ‎15.‎ ‎【答案】4‎ ‎16.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数()的图象如图:由图像可知函数 ‎()是区间上的增函数, 则须. 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的画法,分段函数的应用,函数的单调性的应用,解题时注意数形结合思想的应用 ‎17.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)与的关系为 由题意可得:点为单位圆上点,并且以射线为终边的角的大小为, 所以 又因为 两点关于直线 对称, 所以 即即 ‎ ‎(2)‎ ‎ 故 ‎ 即答案为(1). (2). ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共82分.18题12分,其余每题14分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎18. ‎ ‎【答案】详见解析;‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)由三角形中位线定理可得,根据线面平行的判定定理可得平面;(2)先证明平面,则,由菱形的性质,可得,‎ 根据线面垂直的判定定理可得平面.‎ 详解: (1)由四边形是菱形,可得为中点,‎ 又因为为的中点,可得,‎ 又因为平面,平面,‎ 可得平面;‎ ‎(2) 由四边形为矩形,可得,‎ 又因为,平面,平面,,‎ 可得平面,则,‎ 由四边形是菱形,可得,‎ 因为,,平面,平面,,‎ 可得平面.‎ ‎19. ‎ ‎【答案】(1);(2),;(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式. (2)利用正弦函数的单调性,求得函数)的单调递增区间. (3)利用正弦函数的定义域、值域,求得函数)在区间上的最大值和最小值 试题解析:‎ ‎(1)‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 根据表格可得 ‎ 再根据五点法作图可得 ,‎ 故解析式为: ‎ ‎(2)令 函数的单调递增区间为,.‎ ‎(3)因为,所以. ‎ 得:. ‎ 所以,当即时,在区间上的最小值为. ‎ 当即时,在区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,正弦函数的单调性以及定义域、值域,属于基础题.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)依题意,,即,‎ 由此得. 4分 因此,所求通项公式为 ‎,.① 6分 ‎(Ⅱ)由①知,,‎ 于是,当时,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,‎ ‎.‎ 又.‎ 综上,所求的的取值范围是. 12分 ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎【答案】(I)a=8,;(II).解(1) 在三角形ABC中,由及,可得又,有,所以 ‎(2) 在三角形ABC中,由,可得,于是,所以 ‎21. ‎ ‎【答案】(1) ; ‎ ‎(2) 时;时;时;‎ ‎(3) ;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由可得结果;(2)时, ,分三种情况讨论,分别利用一元二次不等式的解法求解即可;(3)时恒成立,当且仅当,即,即,由,可得,则,解不等式即可的结果.‎ ‎【详解】(1) 时,,‎ 由函数有零点,可得,即或;‎ ‎(2) 时, ,‎ 当即时,的解集为,‎ 当即时,的解集为,‎ 当即时,的解集为;‎ ‎(3)二次函数开口响上,对称轴,由可得在单调递增,‎ 时恒成立,当且仅当,即,即,‎ 由,可得,‎ 则,由可得,即,则,‎ 此时,则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用,属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ ‎22.‎ ‎【答案】(1) ,定义域为;(2) ;‎ ‎【解析】‎ 分析:(1) 隔栏与四周总面积为平方米,底部面积为平方米,结合不同位置的价格即可的结果;(2),由可得,从而可得结果.‎ 详解: (1)网箱的高为米,‎ 由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点,‎ 隔栏与四周总面积为平方米,‎ 底部面积为平方米,‎ 则 ,定义域为;‎ ‎(2) ,‎ 由可得,当且仅当即时等号成立,‎ 答: ,定义域为;网箱上底面的另一边长为多少米时,制作网箱的总费用最少.‎ 点睛:本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题题意的关键是:求出与之间的函数关系,‎ 进而利用基本不等式求解.‎ ‎23.‎ ‎【答案】(1) ,.(2) .(3) .‎ ‎【解析】‎ 分析:(1) 根据,,列出关于首项、,公差与公比的方程组,解方程组可得、,公差与公比的值,从而可得数列,的通项公式;(2)由(1)可得,利用错位相减法求和即可的结果;(3) 不等式可化为,先判断的增减性,可得则时, 中最大的三项值为,由时满足的共有两个,可得,由解得,则正整数.‎ 详解: (1)设的公差为, 的公比为,‎ ‎,;,;‎ 由,可得,,‎ 由可得,‎ 则,,‎ 则,;‎ ‎(2) ,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 作差可得 ,‎ 则 ;‎ ‎(3) 不等式可化为,‎ 即 ,即,‎ ‎,时一定成立,‎ 则时,满足的共有两个,此时,,‎ 即满足的共有两个,‎ 令,,‎ ‎ ,‎ 则时, ‎ 时, ,‎ ‎,,,,‎ 则时, 中最大的三项值为,‎ 由时满足的共有两个,可得,‎ 由解得,则正整数. ‎ 点睛:本题主要考查等比数列和等差数列通项以及错位相减法求数列的前 项和,属于中档题.一般地,如果数列是等差数列,是等比数列,求数列的前项和时,可采用“错位相减法”求和,一般是和式两边同乘以等比数列的公比,然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎
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