2019-2020学年江苏省海安高级中学高一12月月考（创新班）数学试题

2019-2020学年江苏省海安高级中学高一12月月考（创新班）数学试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一12月月考（创新班）数学试题 一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.单选题1~10，多选题11~13）‎ ‎1.已知集合，，则 （ ）‎ A. B. {1} C. {3} D. {1,3}‎ ‎2. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设、、，且，则(　 　)．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，，，则， ，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎6. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin B，则A＝(　 　)‎ ‎ A.30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎7．已知数列的前n项和为，且，则等于(　 　)‎ A．4 B．2 C．1 D．－2‎ ‎8. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象 （ ）‎ A. 每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），‎ 再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位 C. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）‎ D. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）‎ ‎9. 已知，若实数满足，，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（ ）‎ A. 无最大值，但有最小值 B. 既有最大值，又有最小值 C. 有最大值，但无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 ‎11. 定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．‎ 下列函数是线周期函数的是 ‎ A. B. ‎ C.（其中表示不超过x的最大整数）， D.‎ ‎12.已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确的是_______‎ A. 一定为正数；‎ B. 函数在区间上是增函数；‎ C. 满足条件的正整数的最大值为3；‎ D. .‎ ‎13.如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量:‎ A. ; ‎ B. ;‎ C. ; ‎ D. .‎ 对于点,,,,落在阴影区域内（不含边界）的有_____.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）‎ ‎14.已知角的终边过点，则____________.‎ ‎15．已知数列的前n项和为，且，则等于____________.‎ ‎16.函数（）是区间上的增函数，则的取值范围 是_____________.‎ ‎17.已知的终边与单位圆交于点,点关于直线对称后的点为,点关于轴对称后的点为,设角终边为射线.‎ ‎（1）与的关系为______;‎ ‎（2）若,则______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共82分.18题12分，其余每题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎18. 如图,在三棱柱中,侧面是矩形,侧面是菱形, 是的中点. 是与的交点, ，求证:‎ ‎(1) 平面；‎ ‎(2) ⊥平面.‎ ‎19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为= （直接写出结果即可）； ‎ ‎（2）求函数的单调递增区间； ‎ ‎（3）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎20.（本小题满分14分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为, ‎ ‎（I）求a和sinC的值;‎ ‎（II）求 的值.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎(1)若，且函数有零点，求实数的取值范围；‎ ‎(2)当时，解关于的不等式；‎ ‎(3)若正数满足，且对于任意的恒成立，求实数的值．‎ ‎22.某水产养殖户制作一体积为立方米的养殖网箱(无盖),网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域(如图),网箱.上底面的一边长为米,网箱的四周与隔栏的制作价格是元/平方米,网箱底部的制作价格为元/平方米.设网箱上底面的另一边长为米,网箱的制作总费用为元.‎ ‎(1)求出与之间的函数关系,并指出定义域；‎ ‎(2)当网箱上底面的另一边长为多少米时,制作网箱的总费用最少.‎ ‎23.已知是公差不为零的等差数列, 是等比数列,且,,.‎ ‎(1)求数列,的通项公式；‎ ‎(2)记,求数列的前项和；‎ ‎(3)若满足不等式成立的恰有个,求正整数的值.‎ 高一数学月考 ‎ 一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.单选题1~10，多选题11~13）‎ ‎1.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选D.‎ ‎2. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选D.‎ ‎3. ‎ ‎【答案】D ‎4． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，故，故选B．‎ ‎5. ‎ ‎【答案】B ‎6.‎ ‎【答案】A ‎7.‎ ‎【答案】A ‎8. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据函数的图象，设可得 ‎ 再根据五点法作图可得 ‎ 故可以把函数图象先向左平移个单位，得到 ‎ 的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到 函数的图象， 故选：C．‎ ‎9. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵在上是增函数，且， 中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数； 即：；或 由于实数是函数）的一个零点， 当时， 当 时， ‎ 故选B ‎10. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，‎ 则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ ∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了向量的加法及向量模的计算，利用建系的方法，引入三角函数来解决使得思路清晰，计算简便，遇见正方形，圆，等边三角形，直角三角形等特殊图形常用建系的方法.‎ ‎11. ‎ ‎【答案】CD ‎12. ‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】由题函数在区间上是增函数，则由可得为奇函数， 则B函数在区间(,0)上是增函数，正确； 由 可得 ，即有满足条件的正整数的最大值为3，故C正确； 由于 由题意可得对称轴 ，即有.，故D正确．‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，重点是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎13. ‎ ‎【答案】AB 若为中点,则由向量的加法法则可得 ；‎ 设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为 ， ‎ 则存在实数，使得 ‎ 且存在实数，使得 从而 ‎ 且 又由于 ，故 对于①中 ，解得 满足也满足，故①满足条件． 对于② 解得 ，满足也满足故②满足条件， 对于③ 解得，不满足，故③不满足条件， 对于④ ‎ 解得 ，不满足，故④不满足条件，‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵角的终边经过点 则 ‎ 故答案为．‎ ‎15．‎ ‎【答案】4‎ ‎16.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数（）的图象如图：由图像可知函数 ‎（）是区间上的增函数， 则须． 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，解题时注意数形结合思想的应用 ‎17.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）与的关系为 由题意可得：点为单位圆上点，并且以射线为终边的角的大小为， 所以 又因为 两点关于直线 对称， 所以 即即 ‎ ‎（2）‎ ‎ 故 ‎ 即答案为(1). (2). ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共82分.18题12分，其余每题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎18. ‎ ‎【答案】详见解析；‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得平面；(2)先证明平面,则，由菱形的性质,可得，‎ 根据线面垂直的判定定理可得平面.‎ 详解： (1)由四边形是菱形,可得为中点,‎ 又因为为的中点,可得，‎ 又因为平面,平面，‎ 可得平面；‎ ‎(2) 由四边形为矩形,可得，‎ 又因为,平面，平面，，‎ 可得平面,则，‎ 由四边形是菱形,可得，‎ 因为,,平面,平面，，‎ 可得平面.‎ ‎19. ‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式． （2）利用正弦函数的单调性，求得函数）的单调递增区间． （3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数）在区间上的最大值和最小值 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 根据表格可得 ‎ 再根据五点法作图可得 ，‎ 故解析式为： ‎ ‎（2）令 函数的单调递增区间为，.‎ ‎（3）因为，所以. ‎ 得：. ‎ 所以,当即时，在区间上的最小值为. ‎ 当即时，在区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得． 4分 因此，所求通项公式为 ‎，．① 6分 ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是． 12分 ‎20.（本小题满分14分）‎ ‎【答案】（I）a=8,;（II）.解(1) 在三角形ABC中，由及，可得又，有，所以 ‎(2) 在三角形ABC中，由，可得，于是，所以 ‎21. ‎ ‎【答案】(1) ； ‎ ‎(2) 时；时；时；‎ ‎(3) ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由可得结果；(2)时， ，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)时恒成立，当且仅当，即，即，由，可得，则，解不等式即可的结果．‎ ‎【详解】(1) 时，，‎ 由函数有零点，可得，即或；‎ ‎(2) 时， ，‎ 当即时，的解集为，‎ 当即时，的解集为，‎ 当即时，的解集为；‎ ‎(3)二次函数开口响上，对称轴，由可得在单调递增，‎ 时恒成立，当且仅当，即，即，‎ 由，可得，‎ 则，由可得，即，则，‎ 此时，则．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．‎ ‎22.‎ ‎【答案】(1) ，定义域为；(2) ；‎ ‎【解析】‎ 分析：(1) 隔栏与四周总面积为平方米,底部面积为平方米,结合不同位置的价格即可的结果；(2)，由可得,从而可得结果.‎ 详解： (1)网箱的高为米,‎ 由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点,‎ 隔栏与四周总面积为平方米,‎ 底部面积为平方米,‎ 则 ，定义域为；‎ ‎(2) ，‎ 由可得,当且仅当即时等号成立,‎ 答: ，定义域为；网箱上底面的另一边长为多少米时,制作网箱的总费用最少.‎ 点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及几何概型概率公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.解答本题题意的关键是：求出与之间的函数关系，‎ 进而利用基本不等式求解.‎ ‎23.‎ ‎【答案】(1) ，.(2) .(3) .‎ ‎【解析】‎ 分析：(1) 根据,,列出关于首项、,公差与公比的方程组，解方程组可得、,公差与公比的值，从而可得数列，的通项公式；(2)由(1)可得，利用错位相减法求和即可的结果；(3) 不等式可化为，先判断的增减性，可得则时, 中最大的三项值为，由时满足的共有两个,可得，由解得，则正整数.‎ 详解： (1)设的公差为, 的公比为，‎ ‎，；，；‎ 由，可得，，‎ 由可得，‎ 则，，‎ 则，；‎ ‎(2) ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 作差可得 ，‎ 则 ；‎ ‎(3) 不等式可化为，‎ 即 ，即，‎ ‎，时一定成立,‎ 则时,满足的共有两个,此时,，‎ 即满足的共有两个,‎ 令，，‎ ‎ ，‎ 则时, ‎ 时, ，‎ ‎，，，，‎ 则时, 中最大的三项值为，‎ 由时满足的共有两个,可得，‎ 由解得，则正整数. ‎ 点睛：本题主要考查等比数列和等差数列通项以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎