高考数学复习 17-18版 附加题部分 第6章 第75课 不等式的证明

高考数学复习 17-18版 附加题部分 第6章 第75课 不等式的证明

第75课 不等式的证明 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 不等式的证明(比较法、综合法、分析法)‎ ‎√‎ 算术—几何平均不等式与柯西不等式 ‎√‎ 利用不等式求最大(小)值 ‎√‎ ‎1．不等式证明的方法 ‎(1)比较法：‎ ‎①作差比较法：‎ 知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b只要证明a－b＞0即可，这种方法称为作差比较法．‎ ‎②作商比较法：‎ 由a＞b＞0⇔＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时，要证明a＞b，只要证明＞1即可，这种方法称为作商比较法．‎ ‎(2)综合法：‎ 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法，即“由因导果”的方法．‎ ‎(3)分析法：‎ 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．‎ ‎(4)反证法和放缩法：‎ ‎①‎ 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．‎ ‎②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．‎ ‎(5)数学归纳法：‎ 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：‎ ‎①证明当n＝n0时命题成立；‎ ‎②假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．‎ 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．‎ ‎2．几个常用基本不等式 ‎(1)柯西不等式：‎ ‎①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．‎ ‎②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，等号当且仅当α，β共线时成立．‎ ‎③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.‎ ‎④柯西不等式的一般形式：设n为大于1的自然数，ai，bi(i＝1,2，…，n)为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等号当且仅当＝＝…＝时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)．‎ ‎(2)算术—几何平均不等式：‎ 若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　)‎ ‎(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　)‎ ‎(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　)‎ ‎(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是________．‎ x＞y　[x－y＝a＋－ ‎＝a－b＋＝.‎ 由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，‎ 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]‎ ‎3．(教材改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．‎ M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．‎ 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，‎ 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]‎ ‎4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．‎ ‎4　[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝2＋＋ ‎≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a＝b＝时等号成立．]‎ ‎5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.‎ ‎[证明]　因为x＞0，y＞0，‎ 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，‎ 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.‎ 比较法证明不等式 ‎　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋. 【导学号：62172386】‎ ‎[证明]　法一：－(＋)‎ ‎＝＋＝＋ ‎＝＝≥0，‎ ‎∴＋≥＋.‎ 法二：由于＝ ‎＝＝－1≥－1＝1.‎ 又a＞0，b＞0，＞0，∴＋≥＋.‎ ‎[规律方法]　1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a＞b转化为证明＞1(b＞0)．‎ ‎2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．‎ 提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号．‎ ‎[变式训练1]　设a，b是非负实数，‎ 求证：a2＋b2≥(a＋b)．‎ ‎[证明]　因为a2＋b2－(a＋b)‎ ‎＝(a2－a)＋(b2－b)‎ ‎＝a(－)＋b(－)‎ ‎＝(－)(a－b)‎ ‎＝.‎ 因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与同号，所以(a－b)≥0，‎ 所以a2＋b2≥(a＋b).‎ 综合法证明不等式 ‎　(2017·苏州模拟)(1)已知x，y均为正数，且x＞y.求证：2x＋≥2y＋3；‎ ‎(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.‎ ‎[证明]　(1)因为x＞0，y＞0，x－y＞0，‎ ‎2x＋－2y ‎＝2(x－y)＋ ‎＝(x－y)＋(x－y)＋≥‎ ‎3＝3，‎ 所以2x＋≥2y＋3.‎ ‎(2)因为a，b，c>0，‎ 所以要证a＋b＋c≥，‎ 只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．‎ 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎[规律方法]　1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．‎ ‎2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．‎ ‎[变式训练2]　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；‎ ‎(2)＋＋≥1. 【导学号：62172387】‎ ‎[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，‎ 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 则＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.‎ 柯西不等式的应用 ‎　已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－－b|＋c的最小值为4.‎ ‎(1)求a＋b＋c的值；‎ ‎(2)求a2＋b2＋c2的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．‎ 又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b.‎ 所以f(x)的最小值为a＋b＋c.‎ 又已知f(x)的最小值为4，‎ 所以a＋b＋c＝4.‎ ‎(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)‎ ‎≥2＝(a＋b＋c)2＝16，‎ 即a2＋b2＋c2≥.‎ 当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．‎ 故a2＋b2＋c2的最小值为.‎ ‎[规律方法]　1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．‎ ‎2．利用柯西不等式求最值的一般结构为(a＋a＋…＋a)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．‎ ‎[变式训练3]　已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.‎ ‎[解]　(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，‎ 所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.‎ ‎(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，‎ 又因为p，q，r是正实数，‎ 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法关键在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0)．‎ ‎2．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)．‎ ‎(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．‎ ‎3．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)．‎ ‎(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件．‎ ‎2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立．‎ 课时分层训练(十九)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得00，b>0，且＋＝.‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值；‎ ‎(2)是否存在a，b，使得‎2a＋3b＝6？并说明理由．‎ ‎[解]　(1)由＝＋≥，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ 故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4.‎ ‎(2)由(1)知，‎2a＋3b≥2·≥4.‎ 由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.‎ ‎3．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．‎ ‎[解]　∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥2＝18，‎ ‎∴＋＋≥2，当且仅当a＝b＝c＝3时取等号．‎ ‎∴＋＋的最小值为2.‎ ‎4．(2017·如皋市高三调研一)已知数列{an}满足a1＝3，且an＋1＝a－nan－n(n∈N＋)．‎ ‎(1)计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式(不必证明)；‎ ‎(2)求证：当n≥2时，a≥4nn. 【导学号：62172388】‎ ‎[解]　(1)n＝1时，a2＝4；n＝2时，a3＝5，n＝3时 ，a4＝6；n＝4时，a5＝7；‎ 猜想：an＝n＋2.‎ ‎(2)要证a≥4nn(n≥2)成立，‎ 只要证(n＋2)n≥4nn(n≥2)，‎ 只要证(x＋2)x≥4xx(x≥2)，‎ 只要证xln(x＋2)≥ln 4＋xln x(x≥2)，‎ 即证xln(x＋2)－ln 4－xln x≥0(x≥2)，‎ f(x)＝xln( x＋2)－ln 4－xln x(x≥2)．‎ f′(x)＝ln(x＋2)＋－ln x－1＝ln ＋－1‎ 令t＝＝1＋(10，‎ 所以y＝ln t＋－1在(1,2]上单调递增，所以y>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(2，＋∞)单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0得证．‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；‎ ‎(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.‎ ‎[证明]　(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.‎ 因为a，b都是正数，所以a＋b>0.‎ 又因为a≠b，所以(a－b)2>0.‎ 于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，‎ 所以a3＋b3>a2b＋ab2.‎ ‎(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥‎2a2bc.①‎ 同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.②‎ c2(a2＋b2)≥2abc2.③‎ ‎①②③相加得 ‎2(a2b2＋b‎2c2＋c‎2a2)≥‎2a2bc＋2ab‎2c＋2abc2，‎ 从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．‎ 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，‎ 因此≥abc.‎ ‎2．已知a，b为实数，且a>0，b>0.‎ ‎(1)求证：≥9；‎ ‎(2)求(5－‎2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值. 【导学号：62172389】‎ ‎[解]　(1)证明：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3＝3>0，①‎ 同理可证：a2＋＋≥3>0.②‎ 由①②及不等式的性质得 ＝3×3＝9.‎ ‎(2)[(5－‎2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]≥[(5－‎2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2.‎ 所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.‎ 当且仅当＝＝时取等号，‎ 即a＝，b＝.‎ 所以当a＝，b＝时，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.‎ ‎3．已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ ‎[解]　(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x＞3；‎ 当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；‎ 当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x≥6.‎ 综上，f(x)的最小值m＝3.‎ ‎(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，‎ 因为＋＋＋(a＋b＋c)‎ ‎＝＋＋ ‎≥2＝2(a＋b＋c)．‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”)‎ 所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.‎ ‎4．已知函数f(x)＝|x＋1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；‎ ‎(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．‎ ‎[解]　(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；‎ ‎②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此时原不等式无解；‎ ‎③当x≥－时，原不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.‎ 综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．‎ ‎(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，‎ 所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，‎ 即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，‎ 即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，‎ 即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.‎ 因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，‎ 所以原不等式成立．‎