河北省衡水中学2020届高三第一次联合考试数学文科试题

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河北省衡水中学2020届高三第一次联合考试数学文科试题

河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试 文科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则中元素的个数是( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法依次表示出集合,再求出交集,再判断元素个数.‎ ‎【详解】解:∵,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,有3个元素,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查用列举法表示集合,考查集合的交集运算,属于基础题.‎ ‎2.已知复数z满足z(1+i)=1+3i,其中i是虚数单位,设是z的共轭复数,则的虚部是( )‎ A. i B. ‎1 ‎C. ﹣i D. ﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数代数形式的除法运算求出,再根据共轭复数的定义写出,从而得出的虚部.‎ ‎【详解】解:∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,则虚部为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算,考查共轭复数的定义及复数的虚部,属于易错题.‎ ‎3.等差数列{an}中,Sn为{an}的前n项和,若a2,a4是关于x的一元二次方程x2﹣4x+2=0的两个根,则S5=( )‎ A. 5 B. ‎10 ‎C. 12 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得,再利用等差数列的性质即可得出结论.‎ ‎【详解】解:∵是关于的一元二次方程的两个根,‎ ‎∴由韦达定理得,‎ 由等差数列的性质得,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前项和的计算,属于基础题.‎ ‎4.若f(x)=ex+ae﹣x是定义在R上的奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是( )‎ A. y=﹣x B. y=x C. y=﹣2x D. y=2x ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是定义在上的奇函数得,求出函数的解析式,再求出 ‎,从而可求出切线方程.‎ ‎【详解】解:∵函数是定义在上的奇函数,‎ ‎∴,得,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质,考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程,属于基础题.‎ ‎5.已知⊙O的半径为1,A,B为圆上两点,且劣弧AB的长为1,则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为( )‎ A. sin1 B. cos‎1 ‎C. sin D. cos ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先求出圆心角,再求出扇形的面积和△的面积,从而得出结论.‎ ‎【详解】解:设的半径为,劣弧所对的圆心角为,弧长为,‎ 由弧长公式得,‎ ‎∴弦与劣弧所围成图形的面积,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式,考查三角形的面积公式,属于基础题.‎ ‎6.某校为提高学生的身体素质,实施“每天一节体育课”,并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中,某班甲、乙、丙三位同学的成绩(单位:分)及班内排名如表(假定成绩均为整数)现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位,这两位同学成绩相同的概率是( )‎ 成绩/分 班内排名 甲 ‎95‎ ‎9‎ 乙 ‎94‎ ‎11‎ 丙 ‎93‎ ‎14‎ A. 0.2 ‎B. ‎0.4 ‎C. 0.5 D. 0.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得出成绩为95分的有2人,94分的有3人,本题是古典概型,求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数,从而求出答案.‎ ‎【详解】解:由表格可知,该班成绩为95分的有2人,94分的有3人,‎ ‎∴从这5名同学中随机抽取2名同学,‎ 基本事件总数为,‎ 这两位同学成绩相同包含的基本事件数是,‎ ‎∴这两位同学成绩相同的概率,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算,考查排列、组合问题,属于基础题.‎ ‎7.已知双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,若以F‎1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P,且△POF2恰好为正三角形,则双曲线C的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设,由题意知△是直角三角形,利用且恰好为正三角形,求出、,根据双曲线的定义求得,之间的关系,则双曲线的离心率可得.‎ ‎【详解】解:连接, 设,‎ 则由题意可得是直角三角形,‎ 由恰好为正三角形得,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质.考查数形结合的思想的运用,属于基础题.‎ ‎8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动,每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践,且各班的选择互不相同.已知1班不选“农耕”“采摘”;2班不选“农耕”“酿酒”;如果1班不选“酿酒”,那么4班不选“农耕”;3班既不选“野炊”,也不选“‎ 农耕”;5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是( )‎ A. 2班 B. 3班 C. 4班 D. 5班 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题的关键是找出1,2,3,5班都不选农耕,则只有4班选农耕,再根据逆否命题的真假性,可得1班选酿酒,所以5班只有选采摘,逐一选择可得出结果.‎ ‎【详解】解:由题意,1,2,3,5班都不选农耕,则只有4班选农耕,‎ 根据逆否命题,1班选酿酒,所以5班只有选采摘,‎ 只剩下“野炊”和“饲养”,‎ 因3班既不选“野炊”,‎ 故选择“饲养”的班级是3班.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查合情推理能力,以及逆否命题的真假性的判断能力,属于基础题.‎ ‎9.下列关于函数的说法,正确的是( )‎ A. 是函数f(x)的一个极值点 B. f(x)在区间[0,]上是增函数 C. 函数f(x)在区间(0,π)上有且只有一个零点 D. 函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得到 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数解析式,然后再逐一判断选项即可.‎ ‎【详解】解:函数,‎ 当时,,所以不是函数的一个极值点,所以A不正确;‎ 当时,函数取得最大值,所以函数在区间上不是增函数,所以B不正确;‎ 由得,则,所以在区间上有两个零点,,所以C不正确;‎ 由函数的图象向左平移个单位长度得到,所以正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用,属于基础题.‎ ‎10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中,直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V﹣E+F=2,这个等式称为欧拉多面体公式,被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一,现实生活中存在很多奇妙的几何体,现代足球的外观即取自一种不完全正多面体,它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的.20世纪80年代,化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构,排列出全世界最小的一颗“足球”,称为“巴克球(Buckyball)”.则“巴克球”的顶点个数为( )‎ A. 180 B. ‎120 ‎C. 60 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设巴克球顶点数、棱数及面数,计算出面数和棱数即可求出顶点数.‎ ‎【详解】解:依题意,设巴克球顶点数、棱数及面数,‎ 则,‎ 每条棱被两个面公用,故棱数,‎ 所以由得:,解得.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题为阅读型题目,计算出棱数是解决问题的关键,属于基础题.‎ ‎11.已知正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1,E,F是线段AC1上的点,且AE=EF=FC1,分别过点E,F作与直线AC1垂直的平面α,β,则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造平面,平面,设正方体边长为1,根据等体积法计算到平面的距离,从而可得出,分别为与平面和平面的交点,计算中间几何体的体积得出答案.‎ ‎【详解】解:‎ 构造平面,平面,则平面,平面,‎ 设正方体边长为1,则,,,‎ ‎,‎ 设到平面的距离为,则,解得,‎ 平面,同理可得平面,‎ 正方体夹在平面与之间的部分体积为,‎ ‎∴体积之比是,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上且异于长轴端点.点M,N在△PF‎1F2所围区域之外,且始终满足,,则|MN|的最大值为( )‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,的中点分别为,,则,在分别以,为圆心的圆上,直线与两圆的交点△所围区域之外)分别为,时,的最大,可得的最大值为即可.‎ ‎【详解】解:设,的中点分别为,,‎ ‎,,则,在分别以,为圆心的圆上,‎ ‎∴直线与两圆的交点△所围区域之外)分别为,时,最大,‎ ‎∴的最大值为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质,考查了转化思想,属于中档题.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知非零向量满足,,则与的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意,,得,所以,‎ 所以夹角是.‎ ‎14.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为_____.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥,其中,底面,是正方形,边长为3,,由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长.‎ ‎【详解】解:由题意几何体的直观图如图,‎ 其中,底面,是正方形,‎ 边长为3,,,‎ 所以,,‎ 所以最长的棱长为4,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图,考查四棱锥中最长棱的求法,属于基础题.‎ ‎15.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,且,则b+c的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知等式和余弦定理,可推出,即,,又知,所以;因为三角形是锐角三角形,所以角为锐角,;由,设,用表示出,并求出的取值范围,进而得的取值范围.‎ ‎【详解】解:,且,‎ ‎,即,‎ 又由余弦定理可得,‎ 可得,即,‎ ‎,,又为锐角,,‎ ‎,,‎ 设,由余弦定理知,‎ ‎,‎ ‎,,,‎ 故,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想,转化思想,属于中档题.‎ ‎16.已知曲线y=|lnx|与直线y=m有两个不同的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1<x2),设直线l1,l2分别是曲线y=|lnx|在点P1,P2处的切线,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B.△P2AB 为等边三角形,则实数m的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的运算性质可得,,分别求得和的导数,可得切线的斜率和切线的方程,以及,的坐标,可得等边三角形的边长,可得,进而得到的值.‎ ‎【详解】解:由曲线与直线有两个不同的交点,可得,即有,,‎ 由的导数为,可得切线的斜率为,切线的方程为,‎ 令得,即,‎ 由的导数为,可得切线的斜率为,切线的方程为,‎ 令得,即,则,‎ 由△为等边三角形,可得,‎ 则,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,考查直线方程的运用,属于中档题.‎ 三、解答題:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.端午节是中国传统节日之一节日期间,各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响.某记者走访市场发现,各大商场粽子种类繁多,价格不一根据数据统计分析,得到了某商场不同种类的粽子销售价格(单位:元/千克)的频数分布表,如表一所示.‎ 表一:‎ 价格/(元/千克)‎ ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ 种类数 ‎4‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎6‎ ‎2‎ 在调查中,记者还发现,各大品牌在馅料方面还做足了功课,满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽,很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内,记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查,结果如表二.‎ 表二:‎ 喜欢传统馅料粽 喜欢特色馅料粽 总计 ‎40岁以下 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎40岁及以上 ‎50‎ ‎5‎ ‎55‎ 总计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎(1)根据表一估计该商场粽子的平均销售价(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);‎ ‎(2)根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关?‎ 参考公式和数据:(其中为样本容量)‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克(2)有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据表一的数据计算平均数即可;‎ ‎(2)根据表二信息计算观测值,对照临界值即可得出结论.‎ ‎【详解】解:(1)根据表一的数据,‎ ‎,‎ 估计该商场粽子的平均销售价为21.25;‎ ‎(2)根据表二信息,‎ ‎,‎ 所以有的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题,属于基础题.‎ ‎18.已知{an}是等比数列,,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】(1)an=()n(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设等比数列的公比为,运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,可得首项和公比的方程,解方程可得首项和公比,进而得到所求通项公式;‎ ‎(2)求得,再由数列的裂项相消求和.‎ ‎【详解】解:(1)设是公比为的等比数列,,且成等差数列,‎ 可得,,即,‎ 解得,‎ 则;‎ ‎(2),‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力,属于中档题.‎ ‎19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,E为CD的中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上,且DFPD.‎ ‎(1)求证:PB∥平面AEF;‎ ‎(2)若,求三棱锥E﹣PAD的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法证明平面;‎ ‎(2)求出,,由,求出,三棱锥的体积,由此能求出结果.‎ ‎【详解】(1)证明:四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,与交于点,平面,‎ 为的中点连接交于,点在侧棱上,且,‎ 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设,则,,,,,,,‎ ‎,,,‎ 设平面的法向量,‎ 则,取,得,‎ ‎,平面,‎ 平面;‎ ‎(2)解:,,‎ ‎,,‎ 由,解得,,‎ 三棱锥的体积:‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎20.已知函数(为自然对数的底数).‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)问:是否存在实数,使得有两个相异零点?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ①当时,函数无极值.②当时,函数有极小值为,无极大值;(2)存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导,根据的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数的极值;‎ ‎(2)根据的不同取值范围,进行分类讨论,结合、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】解:(1)因为,所以.‎ ‎①当时,,‎ 所以时,,所以函数在上单调递减.‎ 此时,函数无极值.‎ ‎②当时,令,得,‎ 当时,,所以函数上单调递减;‎ 当时,,所以函数在上单调递增.‎ 此时,函数有极小值为,无极大值.‎ ‎(2)存在实数,使得有两个相异零点.‎ 由(1)知:①当时,函数在上单调递减;‎ 又,所以此时函数仅有一个零点;‎ ‎②当时,‎ 因为,则由(1)知;‎ 取,令,‎ 易得,所以在单调递减,‎ 所以,所以.‎ 此时,函数在上也有一个零点.‎ 所以,当时,函数有两个相异零点.‎ ‎③当时,,,‎ 此时函数仅有一个零点.‎ ‎④当时,,因为,则由(1)知;‎ 令函数,易得,‎ 所以所以,即.‎ 又,所以函数在上也有一个零点,‎ 所以,当时,函数有两个相异零点.‎ 综上所述,当时,函数有两个相异零点.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.‎ ‎21.已知抛物线C:x2=2py(p>0),直线l交C于A,B两点,且A,B两点与原点不重合,点M(1,2)为线段AB的中点.‎ ‎(1)若直线l的斜率为1,求抛物线C的方程;‎ ‎(2)分别过A,B两点作抛物线C的切线,若两条切线交于点S,证明点S在一条定直线上.‎ ‎【答案】(1)x2=2y(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设直线方程为,代入抛物线方程,消去,设,,,,运用韦达定理,以及中点坐标公式,可得,即可得到所求抛物线方程;‎ ‎(2)求得的导数,可得抛物线在,处的切线的斜率,由点斜式方程和点,满足抛物线方程,可得在,处的切线方程,联立两切线方程,相加,结合中点坐标公式,即可得到所求点所在的定直线方程.‎ ‎【详解】解:(1)设直线的方程为,代入抛物线,‎ 可得,‎ 设,,则,‎ 点为线段的中点,可得,即,‎ 则抛物线的方程为;‎ ‎(2)证明:设,,点为线段的中点,‎ 可得,,‎ 由的导数为,可得抛物线在处的切线斜率为,切线方程为,‎ 由,可得,①‎ 同理可得,②‎ ‎①②可得,‎ 即为,即.‎ 可得交点在一条定直线上.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第2223题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为(ρ﹣2cosθ)2=5﹣4sin2θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相切,求m的值.‎ ‎【答案】(1)直线l的普通方程为x+2y﹣4﹣‎2m=0;曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣1=0(2)m或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由消参法可得直线的普通方程;由,,,代入化简可得曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)求得曲线表示的圆的圆心和半径,由直线和圆相切的条件:,运用点到直线的距离公式,解方程可得所求值.‎ ‎【详解】解:(1)直线的参数方程为,为参数),‎ 可得,‎ 即直线的普通方程为,‎ 曲线的极坐标方程为,‎ 即为,‎ 由,,,‎ 可得;‎ ‎(2)由(1)可得曲线表示以为圆心,为半径的圆,‎ 由直线与曲线相切,可得圆心到直线的距离为半径,‎ 即为,解得或.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化,考查直线和圆相切的条件,考查化简运算能力,属于中档题.‎ ‎23.已知函数f(x)=|x+‎4m|+|x+‎2m+1﹣3|.‎ ‎(1)当m=1时,求不等式f(x)≥7的解集;‎ ‎(2)试证明f(x)≥2.‎ ‎【答案】(1){x|x≥1或x≤﹣6}(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入中,然后将写为分段函数的形式,再根据分别解不等式可得解集;‎ ‎(2)由绝对值三角不等式可得,从而证明结论.‎ ‎【详解】解:(1)当时,.‎ 因为,所以或,‎ 所以或,‎ 所以不等式的解集为或;‎ ‎(2)证明:‎ ‎,‎ 当且仅当,即时取等号,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式,考查分类讨论思想和转化思想,属于中档题.‎
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