中考反比例函数解答题

中考反比例函数解答题

‎2010中考反比例函数 ‎（河北省22）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．‎ ‎（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；‎ ‎（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；‎ x M N y D A B C E O 图13‎ ‎（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．‎ ‎22．解：（1）设直线DE的解析式为，‎ ‎∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ‎ 解得 ∴ ． ‎ ‎∵ 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，‎ ‎∴ 点M的纵坐标为2．‎ 又 ∵ 点M在直线上，‎ ‎∴ 2 = ．∴ x = 2．∴ M（2，2）． ‎ ‎（2）∵（x＞0）经过点M（2，2），∴ ．∴. ‎ 又 ∵ 点N在BC边上，B（4，2），∴点N的横坐标为4．‎ ‎∵ 点N在直线上， ∴ ．∴ N（4，1）． ‎ ‎∵ 当时，y == 1，∴点N在函数 的图象上． ‎ ‎（3）4≤ m ≤8．‎ ‎(福建省泉州市)25．（12分）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 ‎ 可以利用这一结论解决问题.‎ 如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.‎ ‎（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形的形状一定是 ; ‎ ‎（2）①当点为时，四边形是矩形，试求、α、和有值；‎ ‎②观察猜想：对①中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)‎ ‎（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.‎ ‎25.（本小题12分）‎ 解：（1）平行四边形 …………（3分）‎ ‎（2）①∵点在的图象上，∴‎ ‎∴………………………………（4分）‎ 过作，则 在中，‎ α=30° ……………………………………………………………（5分）‎ ‎∴‎ 又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，‎ ‎∴点B、D关于原点O成中心对称 ………………………………………（6分）‎ ‎∴OB=OD= ‎ ‎∵四边形为矩形，且 ‎ ‎∴………………………………………………………（7分）‎ ‎∴； ……………………………………………………………（8分）‎ ②能使四边形为矩形的点B共有2个； ………………………………（9分）‎ ‎（3）四边形不能是菱形. ……………………………………………（10分）‎ 法一：∵点、的坐标分别为、‎ ‎∴四边形的对角线在轴上.‎ 又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.‎ ‎∴对角线与不可能垂直.‎ ‎∴四边形不能是菱形 法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，‎ 因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）‎ 所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. ……………………………………（11分）‎ 所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，‎ 所以四边形ABCD不可能为菱形. ……………………………………………………（12分）‎ ‎（2010北京市）23. 已知反比例函数y=的图像经过点A(-，1)。‎ ‎ (1) 试确定此反比例函数的解析式；‎ ‎ (2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；‎ ‎ (3) 已知点P(m，m+6)也在此反比例函数的图像上(其中m<0)，过P点作x轴的垂线，交 x轴于点M。若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，‎ ‎ 求n2-2n+9的值。‎ ‎23. 解：(1) 由题意得1=，解得k= -，∴反比例函数的解析式为y= -；‎ ‎ (2) 过点A作x轴的垂线交x轴于点C，在Rt△AOC中，OC=，‎ O y x C D A B ‎ AC=1，可得OA==2，ÐAOC=30°，由题意，ÐAOB=30°，‎ ‎ OB=OA=2，∴ÐBOC=60°，过点B作x轴的垂线交x轴于点D。‎ ‎ 在Rt△BOD中，可得BD=，OD=1，∴B点坐标为(-1，)，‎ ‎ 将x= -1代入y= -中，得y=，∴点B(-1，)在反比例函 ‎ 数y= -的图像上。‎ ‎ (3) 由y= -得xy= -，∵点P(m，m+6)在反比例函数y= -的图像上，其中m<0，‎ ‎ ∴m(m+6)= -，∴m2+‎2‎m+1=0，∵PQ^x轴，∴Q点的坐标为(m，n)。‎ ‎ ∵△OQM的面积是，∴OM´QM=，∵m<0，∴mn= -1，∴m2n2+2mn2+n2=0，‎ ‎ ∴n2-2n= -1，∴n2-2n+9=8。‎ ‎(河南省)21．（9分）如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）直接写出时x的取值范围；‎ ‎（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．‎ 22. ‎（常德市22）已知图7中的曲线函数(m为常数)图象的一支.‎ (1) 求常数m的取值范围；‎ (2) 若该函数的图象与正比例函数图象在第一象限的交点为A（2，n）,求点A的坐标及反比例函数的解析式.‎ O A y x 图7‎ ‎22．解：（1）∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，‎ ‎ ，解得. ………………3分 ‎（2）∵点A (2,)在正比例函数的图象上，‎ ‎,则A点的坐标为(2,4) . ………………4分 又点在反比例函数的图象上，‎ ‎，即.‎ 反比例函数的解析式为 . .……………7分 ‎（成都市）18．如图，已知反比例函数与一次函数 的图象在第一象限相交于点．‎ ‎（1）试确定这两个函数的表达式；‎ ‎（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．‎ ‎18.解：（1）∵已知反比例函数经过点，‎ ‎ ∴，即 ‎ ∴‎ ‎∴A(1，2)‎ ‎∵一次函数的图象经过点A(1，2)，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴反比例函数的表达式为，‎ 一次函数的表达式为。‎ ‎（2）由消去，得。‎ 即,∴或。‎ ‎∴或。‎ ‎∴或 ‎∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。‎ 由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。‎ ‎(泸州市)20.如图6，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点A(-2．1)、B()．‎ ‎ (1)求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎(2)若一次函数的图象交y轴于点C，‎ 求△AOC的面积(O为坐标原点)；‎ ‎ (3)求使时的取值范围。‎ 六、（本题满分10分）‎ ‎（1）反比例函数为，一次函数为。‎ ‎（2）△AOC的面积为1。‎ ‎（3）要使，即函数的图象总在函数的图象上方。‎ ‎∴或。‎ ‎（天津市）（20）（本小题8分）‎ 已知反比例函数（为常数，）．‎ ‎（Ⅰ）若点在这个函数的图象上，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由．‎ ‎（20）（本小题8分）‎ 解：（Ⅰ）∵ 点在这个函数的图象上，‎ ‎∴ ．解得． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎（Ⅱ）∵ 在函数图象的每一支上，随的增大而减小，‎ ‎∴ ．解得． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎ ‎（Ⅲ）∵ ，有．‎ ‎∴ 反比例函数的解析式为． ‎ 将点的坐标代入，可知点的坐标满足函数关系式，‎ ‎∴ 点在函数的图象上． ‎ 将点的坐标代入，由，可知点的坐标不满足函数关系式，‎ ‎∴ 点不在函数的图象上． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎(珠海市)14.已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x>0)的图象交于点M（a,1），MN⊥x轴于点N（如图），若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式.‎ 解：∵MN⊥x轴，点M（a，1）‎ ‎∴S△OMN==2‎ ‎∴a=4‎ ‎∴M(4,1)‎ ‎∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数(x>0)的图象交于点M（4,1）‎ ‎∴ 解得 ‎ ‎∴正比例函数的解析式是，反比例函数的解析式是 ‎（2010嘉兴）20．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：t＝，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A（40，1）和B（m，0.5）． ‎ ‎（1）求k和m的值；‎ ‎（2）若行驶速度不得超过‎60 km/h，则汽车通过该路段 最少需要多少时间？‎ ‎(德州市)22． (本题满分10分) ‎ ‎●探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．‎ 第22题图1‎ O x y D B A C ‎①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；‎ ‎②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；‎ ‎(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，‎ 求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的 代数式表示），并给出求解过程．‎ O x y D B 第22题图2‎ A ‎●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，‎ 当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，‎ x=_________，y=___________．（不必证明）‎ ‎●运用 在图2中，一次函数与反比例函数 x y y=‎ y=x-2‎ A B O 第22题图3‎ 的图象交点为A，B．‎ ‎①求出交点A，B的坐标；‎ ‎②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，‎ 请利用上面的结论求出顶点P的坐标．‎ ‎22．（本题满分10分）‎ 解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，)；-------------------------------2分 ‎(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为 A′‎ D′‎ B′‎ O x y D B A ‎，， ，则∥∥．-------------------------------3分 ‎∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得 ‎=．‎ ‎∴O=．‎ x y y=‎ y=x-2‎ A B O O P 即D点的横坐标是．------------------4分 同理可得D点的纵坐标是．‎ ‎∴AB中点D的坐标为(，)．--------5分 归纳：，．-------------------------------6分 运用 ①由题意得 解得或．‎ ‎∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．-------------8分 ‎②以AB为对角线时，‎ 由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．‎ ‎∵平行四边形对角线互相平分，‎ ‎∴OM=OP，即M为OP的中点．‎ ‎∴P点坐标为(2，-2) ．---------------------------------9分 同理可得分别以OA，OB为对角线时，‎ 点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．‎ ‎∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．------10分 ‎（达州市）21.（8分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：‎ ‎（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；‎ ‎（2）当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下‎3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？‎ ‎（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?‎ 图11‎ ‎21.解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，‎ 所以可设y与x的函数关系式为 由图象知过点（0，4）与（7，46）‎ ‎∴. 解得,‎ ‎∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.‎ ‎(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中) …………………………2分 因为爆炸后浓度成反比例下降，‎ 所以可设y与x的函数关系式为.‎ 由图象知过点（7,46），‎ ‎∴. ∴,‎ ‎∴，此时自变量的取值范围是＞7. …………………………4分 ‎（2）当=34时，由得,6+4=34，=5 .‎ ‎∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).‎ ‎∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h). …………………………6分 ‎(3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).‎ ‎∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井. …………………………8分 ‎（2010郴州市）21. 已知：如图，双曲线y=的图象经过A（1，2）、B（2，b）两点.‎ ‎（1）求双曲线的解析式；‎ 第21题 ‎（2）试比较b与2的大小. ‎ ‎21．解：（1）因为点A（1，2）在函数y=上 …………………………1分 ‎ 所以2=，即k=2 ……………………………3分 ‎ 所以双曲线的解析式为； …………………………4分 ‎ （2）由函数的性质可得在第一象限y随x的增大而减小 ………5分 ‎ 因为2>1 所以b<2 ………………………………………………6分 ‎ （注：还可用点在函数图象上求出b的值，从而比较b与2的大小）‎ E D B A x y O C ‎（绵阳市）22．如图，已知正比例函数y = ax（a≠0）的图象与反比例函致（k≠0）的图象的一个交点为A（－1，2－k2），另—个交点为B，且A、B关于原点O对称，D为OB的中点，过点D的线段OB的垂直平分线与x轴、y轴分别交于C、E．‎ ‎（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式；‎ ‎（2）试计算△COE的面积是△ODE面积的多少倍．‎ ‎22．（1）由图知k＞0，a＞0．∵ 点A（－1，2－k2）在图象上，‎ ‎∴ 2－k2 =－k，即 k2－k－2 = 0，解得 k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为．‎ 此时A（－1，－2），代人y = ax，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x．‎ ‎（2）过点B作BF⊥x轴于F．∵ A（－1，－2）与B关于原点对称，‎ ‎∴ B（1，2），即OF = 1，BF = 2，得 OB =．‎ 由图，易知 Rt△OBF∽Rt△OCD，∴ OB : OC = OF : OD，而OD = OB∕2 =∕2，‎ ‎∴ OC = OB · OD∕OF = 2.5．由 Rt△COE∽Rt△ODE得 ，‎ 所以△COE的面积是△ODE面积的5倍．‎ ‎ ‎ ‎（宁夏）24．(8分)‎ 如图，已知：一次函数：的图像与反比例函数： 的图像分别交于A、B两点，点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；‎ ‎（1）若设点M的坐标为(x，y)，请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；‎ ‎（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．‎ ‎ ‎ ‎24. (1) ------------------2分 ‎=‎ 当时， -------------------------4分 ‎（2）∵‎ 由可得： ‎ ‎∴ ----------------------------------5分 通过观察图像可得：‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时， -----------------------------------------8分 ‎（重庆市江津区）24．如图，反比例函数y＝ 的图象经过点A(4,b)，过点作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．‎ ‎（1）求k和b的值；‎ ‎（2）若一次函数y＝ax－3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．‎ A B ‎(第24题)‎ O x y 所谓复合形式的待定系数法是指满足函数关系的“对应值”组，并未直接悉数给出，而是要先从条件中求出需要的“对应值”，而后再由待定系数法求出函数关系表达式；或则通过其他条件直接构造关于函数系数的方程，得出表达式．‎ y x E B F O C 图3—3‎ A 例2　如图3—3，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k=________．‎ ‎【观察与思考】 因为点F、E均在双曲线上，则S矩形OABC=S四边形OEBF==1．‎ 设F的坐标为（a，），则．‎ 解：应填 2 ．‎ ‎【说明】本题的解答需要对反比例函数性质以及与之相关矩形间的关系有深入的认识．‎