上海市中考数学试题分类解析汇编专题7平面几何基础

上海市中考数学试题分类解析汇编专题7平面几何基础

2002 年-2011 年上海市中考数学试题分类解析汇编 专题 7：平面几何基础和向量 锦元数学工作室 编辑 一、选择题 1.（上海市 2002 年 3 分）下列命题中，正确的是【 】 　　（A）正多边形都是轴对称图形； 　　（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； 　　（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； 　　（D）边数大于 3 的正多边形的对角线长相等． 【答案】A，C。 【考点】正多边形和圆，命题与定理。 【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解： A、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确； B、正多边形一个内角的大小=(n－2)×180n，不符合正比例的关系式，故错误； C、正多边形的外角和为 360°，每个外角= ，随着 n 的增大，度数将变小，故正确； D、正五边形的对角线就不相等，故错误。 故选 A，C。 2.（上海市 2008 年Ⅱ组 4 分）计算 的结果是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】向量的计算。 【分析】根据向量计算的法则直接计算即可： 。故选 B。 3.（上海市 2008 年Ⅱ组 4 分）如图，在平行四边形 中，如果 ， ，那么 等于【 】 0360 n 3 2a a−  a a a− a− 3 2 =a a a−   ABCD AB a=  AD b=  a b+  A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】向量的几何意义。 【分析】根据向量的意义， 。故选 B。 4.（上海市 2009 年 4 分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 C．正三边形 【答案】C。 【考点】多边形内角与外角。 【分析】正 边形的内角和可以表示成 ，则它的内角是等于 ， 边形的中心 角等于 ，根据中心角等于内角就可以得到一个关于 的方程： ，解这个方程 得 =4，即这个多边形是正四边形。故选 C。 5.（上海市 2009 年 4 分）如图 1，已知 ，那么下列结论正确的是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】已知 ，根据平行线分线段成比例定理，得 。故选 A。 二、填空题 1. 上海市 2002 年 2 分）在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，如果 AD＝8，DB＝ 6，EC＝9，那么 AE＝ ▲ ． 【答案】12。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得 AE 的长： BD AC DB CA =a b AC+   n 02 180n − ⋅（ ） 02 180n n − ⋅（ ） n 0360 n n 0 02 180 360n n n − ⋅ =（ ） n AB CD EF∥ ∥ AD BC DF CE = BC DF CE AD = CD BC EF BE = CD AD EF AF = AB CD EF∥ ∥ AD BC DF CE = ∵DE∥BC，∴ 。 ∵AD=8，DB=6，CE=9，∴ 。 2.（上海市 2002 年 2 分）在 Rt△ABC 中，∠A＜∠B，CM 是斜边 AB 上的 中线，将△ACM 沿直线 CM 折叠，点 A 落在点 D 处，如果 CD 恰好与 AB 垂直，那么∠A 等于 ▲ 度． 【答案】30。 【考点】翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上 的中线性质。 【分析】根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答 案： 在 Rt△ABC 中，∠A＜∠B，CM 是斜边 AB 上的中线， ∴∠A=∠ACM。 将△ACM 沿直线 CM 折叠，点 A 落在点 D 处，设∠A=∠ACM=x 度， ∴∠A+∠ACM=∠CMB。∴∠CMB=2x。 又根据折叠的性质可知∠MCG =∠ACM=x， 如果 CD 恰好与 AB 垂直，则在 Rt△CMG 中，∠MCG+∠CMB=90°， 即 3x=90°，x=30°，即∠A 等于 30°。 3.（上海市 2004 年 2 分）正六边形是轴对称图形，它有 ▲ 条对称轴。 【答案】6。 【考点】轴对称的性质。 【分析】根据轴对称图形的特点，知正六边形有 6 条对称轴，分别是 3 条对角线和三组对边的垂直平分线， ∴正六边形是轴对称图形，它有 6 条对称轴。 4.（上海市 2005 年 3 分）在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE∥BC，如果 AD＝2， DB＝4，AE＝3，那么 EC＝ ▲ 【答案】6。 【考点】平行线分线段成比例。 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到 EC 的长： AD AE DB CE = AD CE 72AE 12DB 6 ⋅= = = ∵DE∥BC，∴CE：AE=BD：AD。 ∵AD=2，DB=4，AE=3，∴EC=6。 5,（上海市 2005 年 3 分）在三角形纸片 ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， AC＝3，折叠该纸片，使点 A 与点 B 重合，折痕与 AB、AC 分别相交于点 D 和 点 E（如图），折痕 DE 的长为 ▲ 【答案】1。 【考点】翻折变换（折叠问题）。 【分析】∵△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3， ∴ 。 又∵△BDE 是△ADE 翻折而成，DE 为折痕， ∴DE⊥AB， ， ∴在 Rt△ADE 中， 。 6.（上海市 2006 年 3 分）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。图是一个 破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。 【答案】 【考点】用旋转设计图案，中心对称图形。 【分析】通过画中心对称图形来完成，找出关键点这里半径长，画弧，连接关键点即可。 7.（上海市 2007 年 3 分）图是 正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形 并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形． AC 3AB 2 3cos A 3 2 = = =∠ 1 1AD BD AB 2 3 32 2 = = = × = 3DE AD tan A 3 tan30 3 13 = ⋅ ∠ = × ° = × = 4 4× 【答案】 。 【考点】利用旋转设计图案，中心对称图形。 【分析】图中中间的相邻的 2 对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对 称图形，它原来在右上方，那么旋转 180°后将在左下方。 8.（上海市 2008 年 4 分）如图，已知 ， ，那么 的度数等 于 ▲ 0． 【答案】40。 【考点】平行线的性质，对顶角的性质。 【分析】∵ ，∴∠2 等于∠1 的对顶角，∴ 。 9.（上海市 2009 年 4 分）如图，在 中， 是边 上的中线，设向量 ， ，如果 用向量 ， 表示向量 ，那么 = ▲ ． 【答案】 。 【考点】向量的计算。 【分析】∵ ， ，∴根据平行四边形法则， 。 又∵在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，∴ 。 ∴用向量 ， 表示向量 为 。 10.（上海市 2009 年 4 分）在 中， 为边 上的点，联结 （如 图所示）．如果将 沿直线 翻折后，点 恰好落在边 的中点处， 那么点 到 的距离是 ▲ ． 【答案】2。 【考点】翻折变换（折叠问题）。 a b∥ 1 40∠ =  2∠ a b∥ 2= 1 40∠ ∠ =  ABC△ AD BC AB a=  BC b=  a b AD AD 1 2a+ b  AB a=  BC b=  AC AB BC a b= + = +     1 1 2 2CD BC b= − = −   a b AD 1 1 2 2AD AC CD a+b+ b a+ b = + = − =           Rt ABC△ 90 3BAC AB M∠ = =°， ， BC AM ABM△ AM B AC M AC 【分析】∵ 沿直线 翻折后，点 恰好落在边 的中点处，假设这个点是 ′。作 ，垂足分别为 。 ∵在 中， ， ∴ ′=3， ， ′= ′ =3， 。 ∴ ，即 。 ∴ ，即 。 所以点 M 到 AC 的距离是2。 11.（上海市 2010 年 4 分）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交 于点 O 设向量 ， ，则向量 ▲ .（结果用 、 表示） 【答案】 。 【考点】平面向量，平行四边形的性质。 【分析】根据平行四边形的性质，可知 ，则 ，所以 。 12.（上海市 2010 年 4 分）已知正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE = 2，EC = 1 （如图所示） 把线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，则 F、C 两点的距离为 ▲ . 【答案】1 或 5。 【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。 【分析】旋转两种情况如图所示： 顺时针旋转得到 F1 点，由旋转对称的性质知 F1C=EC =1。 逆时针旋转得到 F2 点，则 F2B=DE = 2, F2C =F2B＋BC=5。 13.（上海市 2011 年 4 分）如图，AM 是△ABC 的中线，设向量 ， ，那么向量 ▲ （结果用 、 表示）． 【答案】 。 【考点】平面向量。 a b ABM△ AM B AC B ,MN AC MD AB⊥ ⊥ ,M D Rt ABC△ 90 3BAC AB∠ = =°， AB AB= DM MN= AB B C 6AC = BAC BAM MACS S S∆ ∆ ∆= + 1 1 13 6 3 62 2 2DM MN⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 99 2 MN= =2MN AD a=  AB b=  AO = ( )1= 2AO b a+   AD BC a= =   AC AB BC= 2b a AO= + + =      ( )1= 2AO b a+   AB a=  BC b=  AM = a b 1 2a b+  F2 F1 E D CB A 【分析】∵AM 是△ABC 的中线， ，∴ 。又∵ ，∴ 。 14.（上海市 2011 年 4 分） 如图， 点 B、C、D 在同一条直线上，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°， 那 么∠A＝ ▲ ． 【答案】54°。 【考点】平行线的性质，三角形内角和定理。 【分析】由 CE∥AB，，根据平行线同位角相等的性质，得∠B＝∠ECD＝36°，从而根据三角形内角和定 理，得∠A＝180°－∠ACB－∠B＝180°－90°－36°＝54°。 15.（上海市 2011 年 4 分）Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点 D 在边 BC 上， BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m（0＜m＜180）度后，如果点 B 恰 好落在初始 Rt△ABC 的边上， 那么 m＝ ▲ ． 【答案】80°或 120°。 【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三 角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。 【分析】由已知，B 恰好落在初始 Rt△ABC 的边上且旋转角 0°＜m＜180°，故 点 B 可落在 AB 边上和 AC 边上两种情况。 当点 B 落在 AB 边上时（如图中红线），由旋转的性质知△DBE 是等腰 三角形，由∠B＝50°和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得 m＝∠BDE＝80°。 当点 B 落在 AC 边上时（如图中蓝线），在 Rt△CDH 中，由已知 BD＝2CD，即 DH＝2CD，得∠CDH 的余弦等于 ，从而由特殊角三角函数值得∠CDH＝60°，所以根据邻补角定义得 m＝∠BDH＝120°。 三、解答题 1.（上海市 2004 年 10 分）如图所示，在△ABC 中， ，延长 BA 到点 D，使 ，点 E、F 分别为 BC、AC 的中点。 （1）求证：DF=BE； （2）过点 A 作 AG//BC，交 DF 于点 G，求证：AG=DG。 【答案】证明：（1）过点 F 作 。 BC b=  1 1BM BC2 2 b= =   AB a=  1AM AB BM 2a b= + = +     1 2 ∠ =BAC 90° AD AB= 1 2 / /FH CB ∵点 E、F 分别为 BC、AC 的中点， ∴ ，点 H 是 AB 的中点。 ∴ 。 ∴ 。 又∵ ，∴ 是 的垂直平分线。∴ 。 （2）画出线段 AG ∵ ， ∴ 。 由（1）知 ，∴ 。 【考点】三角形中位线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质。 【分析】（1）过点 F 作 ，由点 E、F 分别为 BC、AC 的中点，根据三角形中位线的判定和性质 证明 是 的垂直平分线即可得出结论。 （2）由（1）的结论，根据三角形中位线的判定和性质即可得出结论。 2.（上海市 2005 年 8 分）（1）在图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于 y 轴对称的两 个三角形的编号为　　　　　　　　；关于坐标原点 O 对称的两个三角形的编号为　　　　　　　　； （2）在图 4 中，画出与△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 【答案】解：（1）：①，②；①，③； （2）如图，△A1B1C1 即为所求： 1 2HF BC BE= = 1 1 2 2AD AB AH AB= =， AD AH= ∠ =BAC 90° AF DH DF HF BE= = AD AH= / /AG BC 1 1 2 2AG HF DG DF= =， DF HF= AG DG= / /FH CB AF DH 【考点】作图（轴对称变换），中心对称。 【分析】（1）根据轴对称的性质，对应点到对称轴的距离相等，可知 1，2 两个图形是轴对称图形，根据 中心对称的性质，对应点到原点的距离相等可知 1，3 是中心对称图形。 （2）从三角形三个顶点向 x 轴引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接。 3.（上海市 2008 年 10 分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形 和数据看不清楚（如图 1 所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆 的半径 所在的直线为对称轴的轴对称图形， 是 与圆 的交点． （1）请你帮助小王在图 2 中把图形补画完整（3 分）； （2）由于图纸中圆 的半径 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中 是坡面 的坡度）， 求 的值（7 分）． 【答案】解：（1）图形补画如下： O OC A OD O O r 1:0.75i = CE r 图 1 O CA （ 上 海 市 20 08 年 10 分） “创 意 设 计” 公 司 员 工 小 王 不 慎 将 墨 水 泼 在 一 张 设 计 图 纸 上， 导 致 其 中 部 分 图 形 和 数 据 看 不 清 楚 （ 如 图 1 所 示） ． 已 知 图 纸 上 的 图 形 是 某 建 筑 物 横 断 面 的 示 意 图， 它 是 以 圆 O 的 半 径 OC 所 在 的 直 线 为 对 称 轴 的 轴 对 称 图 形， A 是 OD 与 圆 O 的 交 点． （ 1） 请 你 帮 助 小 王 在 图 2 中 把 图 形 补 画 完 整 （ 3 分） ； （ 2） 由 于 图 纸 中 圆 O 的 半 径 r 的 值 已 看 不 清 楚， 根 据 上 述 信 息 （ 图 纸 中 1:0.75i = 是 坡 面 CE 的 坡 度） ， 求 r 的 值 （ 7 分） ． 【 答 案】 解： （ 1） 图 形 补 画 如 下： （ 2） 由 已 知 OC DE⊥ ， 垂 足 为 点 H ， 则 90CHE∠ =  ． ∵ 1:0.75i = ， ∴ 4 3 CH EH = 。 在 Rt HEC△ 中， 2 2 2EH CH EC+ = ． 设 4CH k= ， 3 ( 0)EH k k= > ， 又 ∵ 5CE = ， 得 2 2 2(3 ) (4 ) 5k k+ = ， 解 得 1k = 。 ∴ 3EH = ， 4CH = 。 ∴ 7DH DE EH= + = ， 7OD OA AD r= + = + ， 4OH OC CH r= + = + 。 在 Rt ODH△ 中， 2 2 2OH DH OD+ = ， ∴ 2 2 2( 4) 7 ( 7)r r+ + = + ， 解 得 8 3r = 。 【 考 点】 轴 对 称 图 形， 解 直 角 三 角 形 的 应 用， 勾 股 定 理。 【 分 析】 （ 1） 根 据 轴 对 称 图 形 的 性 质 画 出 图 形。 （ 2） 在 Rt HEC△ 和 Rt ODH△ 中 分 别 应 用 勾 股 定 理 求 解 即 可。 D E H 图 2 （2）由已知 ，垂足为点 ，则 ． ∵ ，∴ 。 在 中， ．设 ， ， 又∵ ，得 ，解得 。∴ ， 。 ∴ ， ， 。 在 中， ，∴ ，解得 。 【考点】轴对称图形，解直角三角形的应用，勾股定理。 【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出图形。 （2）在 和 中分别应用勾股定理求解即可。 OC DE⊥ H 90CHE∠ =  1:0.75i = 4 3 CH EH = Rt HEC△ 2 2 2EH CH EC+ = 4CH k= 3 ( 0)EH k k= > 5CE = 2 2 2(3 ) (4 ) 5k k+ = 1k = 3EH = 4CH = 7DH DE EH= + = 7OD OA AD r= + = + 4OH OC CH r= + = + Rt ODH△ 2 2 2OH DH OD+ = 2 2 2( 4) 7 ( 7)r r+ + = + 8 3r = Rt HEC△ Rt ODH△