全国中学生物理竞赛课件16：热力学基础
热一律应用于理想气体等值过程♠
( )2 2 2
i m i iE N kT RT pVM
i为分子自由度
单原子分子 i=3
双原子分子 i=5
多原子分子 i=6
定容比热 cV
定容比热 cp
p VC C R
2p
V
C i
C i
Q E W 放
ΔE＝Ｗ
绝热膨胀降压降
温时，对外做功，
内能减少；绝热
压缩升压升温时，
外界做功，内能
增加；功量等于
内能增量
ΔE ＝Q
等容升温升压时，
气体吸热，内能
增加；等容降温
降压时，气体放
热，内能减
少．热量等于内
能增量
0＝W+Q
等温膨胀降压时，
对外做功，气体吸
热；等温压缩升压
时，外界做功，气
体放热；功量等于
热量，内能保持不
变
热
一
律
形
式
Q＝０Q,W,ΔE≠0W＝0ΔE＝０
特
征
绝热变化等压变化等容变化等温变化过
程
1
1
2
2
l
ln
n
Vm RTM V
Q W
pm RTM p
等压降温压缩时，
放热并外界做功，
内能减少
ΔE＝Q +W
等压升温膨胀时，
吸热并对外做功，
内能增加 2 1
0
VQ m c T T
W
M
Q E W 吸
2 1
2 1p V V
T
W
m R TM
2 1
0
V
mW c T TM
Q
0 W Q
0E
E Q
2 1V
mE C T TM
E W Q
2 1V
mE c T TM
E W
2 1V
mE c T TM
绝热膨胀时,对外做功量等于内能的减少:
0( )2
iW E NR T T
0 0( )2
p Vi pVNR NR NR
0 0
1
p V pV
2i
i
理想气体做绝热膨胀，由初状态（p0，V0）至末状态（p，
V），试证明在此过程中气体所做的功为
0 0
1
p V pVW
等容升温时,吸收的电热全部用作增加内能:
1 0( )VQ E C n T T
1 0( )pQ E W C n T T
1 0 0 0( )V
p V p VC n nR nR
1 0 0( )VC p p VR
0 1 0 0( )p
p V p VC n nR nR
0 1 0
pC p V VR
则 p
V
C
C
为了测定气体的γ( )，有时用下列方法：一定量的气体初始的温
度、压强和体积分别为T0、p0、V0．用一根通有电流的铂丝对它加热．设两次加热的电流
和时间都相同．第一次保持气体体积V0不变，温度和压强各变为T１和p１；第二次保持压
强p0不变，而温度和体积各变为T２和V１．试证明
p
V
C
C
1 0 0
1 0 0
( )
( )
p p V
V V p
等压升温时,吸收的电热用作增加内能与对外做功:
0 1 0
0 1 0
V p p
p V V
1中活塞下气体压强为
1 2
/ 2m0n M T
mg
S
0
0
nRTmgV nRT hS mg
由
1中活塞下气体内能为 0 0
3
2E n RT
打开活栓重新平衡后
m
2中活塞下气体压强为 2
mg
S
2
2
mg nRTV nRT HS mg
由
2中活塞下气体内能为 0
3
2E n RT
由能量守恒可得: 0
3
2 2 2 2
h H HnR T T nMg mg h
0 0 0
3 22 2
nMgnR T T nR T T nR T Tmg
0
26
27T T
两个相同的绝热容器用带有活栓的绝热细管相连，开始时活栓是关闭
的，如图，容器1里在质量为m的活塞下方有温度T0、摩尔质量M、摩尔数n的单原子理想
气体；容器2里质量为m/2的活塞位于器底且没有气体．每个容器里活塞与上顶之间是抽成
真空的．当打开活栓时容器1里的气体冲向容器2活塞下方，于是此活塞开始上升（平衡时
未及上顶），不计摩擦，计算当活栓打开且建
立平衡后气体的温度T，取
5m
nM
热容量定义 p
P tC T
1 1
4 40 0 0 01 1T t t t T t tT
t t
其中
1 3 1
4 4 40 0 0 0
11 1 14T t t t t t t t
t
3
0 4014
T t t
3
0 0
4
T T
T
3
0 0
4
p
P T
T Tc
在大气压下用电流加热一个绝热金属片，使其在恒定的功率P下获得
电热能，由此而导致的金属片绝对温度T随时间t的增长关系为 ．其中Ｔ0、
α、t0均为常量．求金属片热容量Cp(T)．（本题讨论内容，自然只在一定的温度范围内适
用） 1/ 4
0 0( ) 1 ( )T t T t t
设混合气体的自由度为i, 2 11
7
i
i
由 7
2i
1 2 1 2
3 5 7
2 2 4RT RT RT
混合前后气体总内能守恒:
1 23
3 即
由v1摩尔的单原子分子理想气体与v2摩尔双原子分子理想气体混合组
成某种理想气体，已知该混合理想气体在常温下的绝热方程为 常量．试求v1与v2的
比值α.
11
7PV
一个高为152 cm的底部封闭的直玻璃管中下半部充满双原子分子理
想气体，上半部是水银且玻璃管顶部开口，对气体缓慢加热，到所有的水银被排出管外时，
封闭气体的摩尔热容随体积如何变化？传递给气体的总热量是多少？ (大气压强p0=76
cmHg)
取76cmHg为单位压强,76cm长管容为单位体积,
在此单位制下,气体的p-V关系为
1 2 3p V V
1
2
21
p
2
0
1
1 2
2T T nR
由图知
1 max
32 1 V V
T T
由
1.5
2.25
m RT n
从T1到Tm 过程,对外做功,内能增加,故:
1Q W E 吸
2 1.5 0.52
5 2.25 2
2 nR nR
3
2
从Tm到T2 过程,对外做功,内能减少,故:
Q W E 吸2
p
1 1.5 3 1.52 p p
2.25 35
2
p pnR nR
续解
已知0.1摩尔单原子气体作如图所示变化,求变
化过程中出现的最高温度与吸收的热量
B
31
p/atm
1.5
0 V/L
0.5
2
p
A
1.0
气体的p-V关系为 12 2p V
由气体方程 0.1pV RT
2 2 0.1p p RT
当p=1.0atm、V=2L时有最高温度
至此气体对外做功，吸收热量，
内能增大！ 1Q W E 吸1
此后气体继续对外做功，吸收热量，内能减少，
1W
2 2Q W E 吸2
2W
全过程气体共吸收热量为 Q Q Q 吸 吸1 吸2
返回
23 7.5 4.5p p
2 33 1.25 16p
当 时0 2
3
16
1.25
3 mp p Q 吸
全过程气体共吸收热量为
0 0
27
16Q p V吸
2.25 351 1.5 3 1.52 2
p pnRp nRQ p
吸2
查阅
在两端开口的竖直Ｕ型管中注入水银，水银柱的全长为h．将一边
管中的水银下压，静止后撤去所加压力，水银便会振荡起来，其振动周期为 ;
若把管的右端封闭，被封闭的空气柱长L，然后使水银柱做微小的振荡，设空气为理想气体，
且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相当h0水银柱产生
的压强．空气的绝热指数为γ．(1)试求水银振动的周期T2；(2)求出γ与T1、T2的关系式.
1 2 2
hT g
y (Δm)max
yyma
x
Δm
O
A B C
考虑封闭气体,从A状态到C状态,由泊松方程:
0 ( ) [( ) ]yp LS p L y S
γ
0 0[( ) 1]y
Lp p pL y
0(1 1)y pL
0h g yL
0 2( )yF p S p S m g
0( ) 2yp p S ySg
0 2h gyS ySgL
0( 2 )h gS Sg yL
考虑封闭气体在C状态时液柱受
力,以位移方向为正,有:
2 2 mT k
0
2
2
hS
h gS SgL
0
2
(2 )
h
h gL
2
01
2
1 2
hT
T L
2
1
0 2
2 1TL
h T
设热气球具有不变的容积VB=1.1 m3，气球蒙皮体积与VB 相比可
忽略不计，蒙皮的质量为mH=0.187 kg，在外界气温t1=20℃，正常外界大气压
p1=1.013×105 Pa的条件下，气球开始升空，此时外界大气的密度是ρ1=1.2 kg/m3．(1)
试问气球内部的热空气的温度t2应为多少，才能使气球刚好浮起？(2) 先把气球系在地面上，
并把其内部的空气加热到稳定温度t3=110℃，试问气球释放升空时的初始加速度a等于多少？
（不计空气阻力）(3) 将气球下端通气口扎紧，使气球内部的空气密度保持恒定．在内部空
气保持稳定温度t3=110℃的情况下，气球升离地面，进入温度恒为20℃的等温大气层
中．试问，在这些条件下，气球上升到多少高度h能处于力学平衡状态？（空气密度随高度
按玻尔兹曼规律 分布，式中m为空气分子质量，k为玻耳兹曼常数，T为绝
对温度）(4) 在上升到第3问的高度h时，将气球在竖直方向上拉离平衡位置10 cm，然后再
予以释放，试述气球将做何种运动
1/
1
mgh kT
h e
解答
H tm g mF g 浮BV g
1 1 2 2T T 而由 2 1
2
293
Bm VT
可得 2 68.4t ℃
⑵热气球内加热到t3
1 1 3 3T T 由
1 3 3B H B H BV g m g V g m V a
21.03m/sa
⑶气球上升到h高处平衡时满足 3h B H BV g m g V g
1/3
1
mgh kTH B
h
B
m V eV
1 1 B
H 3 B
lnkT Vh mg m V
827m
⑷气球在平衡位置上方x(<
0
W=W1-W2<0
Q W吸
逆循环中:
W
2 W
1
Q
W1<0
p
0 V
W2>0
W=W2-W1>0
Q W放
做正循环的系统，在膨胀阶段所吸收的热量Q1大于在压缩阶段
放出热量Q2，其差值Q1-Q2在循环中转变为系统对外所做的功W，
能完成这种转变的机械称为热机，热机就是正循环工作机.
水池
水泵
锅炉
水泵
冷凝器
气缸
Q
1
Q2
1
W
Q
1 2
1
Q Q
Q
2
1
1 Q
Q
1 mol 氦气经过如图所示的循环过程，其中 , 求
1→2、2→3、3→4、4→1各过程中气体吸收的热量和热机的效率
2 12p p 4 12V V
1 4
1V 4V
2 3
1p
2p
P
Vo
12Q 34Q
41Q
23Q
由理想气体状态方程得
2 12T T 3 14T T 4 12T T
12 ,m 2 1 ,m 1( )V VQ C T T C T
23 ,m 3 2 ,m 1( ) 2p pQ C T T C T
34 ,m 4 3 ,m 1( ) 2V VQ C T T C T
41 ,m 1 4 ,m 1( )p pQ C T T C T
1 12 23Q Q Q ,m 1 ,m 12V pC T C T
2 1 4 1
( )( )W p p V V 1 1 1pV RT
1 2
1 1
Q Q WQ Q 1
1 ,m(3 2 )V
RT
T C R
15.3%
,m3 2VC R
做逆循环的系统，依靠外界对系统所做的功,使系统从低温热源
处吸收热量，并将外界对系统做的功和由低温热源所吸取的热在
高温处通过放热传递给外界，能完成这种转变的机械称为致冷机，
致冷机是逆循环工作机.
2e Q
W
1
W
Q
1 2
1
Q Q
Q
2
1
1 Q
Q
卡诺循环是由两个准静态等温过程和两个准静
态绝热过程组成 ,只在两个有恒定温度的高、低温热
源吸、放热的理想循环.
W
1T1p
2p
4p
3p
1V 4V 2V 3V
1 2T T
V
p
o
A
B
C
2T
D
低温热源 2T
高温热源 1T
卡诺热机
1Q
2Q
W
1 2W Q Q
2 1
1 2
1 1Q T
Q T
1 2
1 2
Q Q
T T
可逆过程与不可逆过程♠
一台电冰箱放在室温为 的房间里 ，冰箱储
藏柜中的温度维持在 . 现每天有 的热量自房
间传入冰箱内 , 若要维持冰箱内温度不变 , 外界每天需做多
少功 , 其功率为多少? 设在 至 之间运转的致冷机
( 冰箱 ) 的致冷系数, 是卡诺致冷机致冷系数的 55% .
5 C 20 C
72.0 10 J
5 C 20 C
2
1 2
5555% 10.2100
Te e T T
卡
由致冷机致冷系数
2
1 2
Qe Q Q
21
1
eQ e Q得
房间传入冰箱的热量 ' 72.0 10 JQ '
2Q Q热平衡时
' 7
1 2
1 1 2.2 10 Je eQ Q Qe e
則
保持冰箱储藏柜在 , 每天需做功 5 C
' 7
1 2 1 0.2 10 JW Q Q Q Q
70.2 10
24 3600
WP Wt
故功率 23W
定容摩尔热容量CV为常量的某理想气体，
经历如图所示的p—V平面上的两个循环过程A1B1C1A1和
A2B2C2A2，相应的效率分别为η1和η2，试比较η1和η2的
大小.
p B1
B2
C2
C1A1
A2
O
V1 V2 V
1
W
Q
1 1 1 11 2 1 2 1
1 1( )( ) ( )( )2 2B C B AW p p V V p p V V
1 1 2 1 )(B Ap p k V V 又
2
1 2 1
1 ( )2W k V V
W
1
W
22
2 2 1
1 ( )2W k V V 同理
A1→B1过程吸热: 1 1 1B A
mQ C T TM
吸
对此多方过程,多
方指数 n=-1!
1 V
n Cn
1 2BMP V
mR
1 1AMP V
mR
2
2kV
2
1kV 2 2
1 2 1
1
2 V
kQ C V VR
吸
2 2
2 1
1
2 V
kQ C V VR
2吸同理
1 2
2 1
2 11 V
R V V
C V V
设有一以理想气体为工作物质的热机循环，如图所示，
试证明其效率为
绝热
p
VV2 V1
p2
p1 1
23
W
Q
吸
1→2过程对外做功,且:
1 2 2 1
1 2 1
p V p VW E
2→3过程外界对气体做功:
2 3 2 1 2W p V V
3→1过程吸热: 1 2 2 2
1 32 2
p V p Vi iQ n R T T n R nR nR
1 2
2 1
2
2
2
1 2
2
1
1
1 p V
p V
p
p V
VV p V
1
2
1
2
1
1
1
V
V
p
p
1 2 2 2
1
p V p V
2
1
1
ln 8.31 400 ln 5JVQ RT V
在400 K等温过程中对外做的功与从高温热源所吸收的热
相同:
35.35 10 J
1 2
1 2
Q Q
T T
由
2 1
3
4Q Q
在300 K等温过程中向低温热源放热为:
34.01 10 J
在卡诺循环中的净功为:
1
3
2 1.34 10 JW Q Q
１mol理想气体在400 K—300 K之间完成一卡诺循
环．在400K等温线上，起始体积为0.0010 m3，最后体积为0.0050 m3，
计算气体在此过程中所做的功，以及从高温热源吸收的热量和传给
低温热源的热量.
对过程12341:
12341 0 0W p V净功
吸热 1 2 2 1 0 0
3
2
3
2Q T V pR T
2 3 3 2 0 02p
p
CQ C T T p VR
2 p
p
Ci
i C R
由 5
21 2 3 4 1
2
1 3
W
Q
吸
对过程15641: 15641 0 03W p V
1 4 4 5 0 0 0 0
3 3 42
pCQ Q p V p VR 0 0
29
2 p V
1 5 6 4 1
6
2 9
W
Q
吸
15641
12341
39
29
2 3
P
4p0
3p0
2p0
p0
V0 2V0 V
65
1 4
0
如图所示为单原子理想气体的两个封闭热循环：12341
和15641，比较这两个热循环过程的效率哪个高？高多少倍？
用N mol的理想气体作为热机的工作物质，随着热机
做功，气体的状态变化，完成一个循环1-2-3-1，如图所示，过程1-2
和2-3在图象中是直线段，而过程3-1可表达为 ，式中
B是一个未知常量，T1是图示坐标轴上标出的给定绝对温度．求气体
在一个循环中做的功
10.5 3T T BV BV
对过程3→1:
10.5 3T T BV BV 由
T=T1时有: 1 21, 2BV BV
2 1 32V V V 即
T
2T1
T1
V
1
2
3
0
V1 V21 2 3
1 1 1p V T 1 1 12 2p V T 1
1 122
p V T
1 1p BNRT其中 续解
3→1的P-V关系为
10.5 3p BT NR BV
V2V1
p
p1
0 V
1
2
p
1 2
3
1
1
1
2 2
pW V
1
4
NRT
一热机工作于两个相同材料的物体A和B之间，两物
体的温度分别为TA和TB（TA＞TB），每个物体的质量为m、比热恒
定，均为s．设两个物体的压强保持不变，且不发生相变．
(a)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体A
和B最终达到的温度T0的表达式，给出解题的全部过程．
(b)由此得出允许获得的最大功的表达式．
(c)假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50 m3，一箱水
的温度为350 K，另一箱水的温度为300 K．计算可获得的最大机械
能．
已知水的比热容＝4.19×103 ，水的密度＝1.00×103kg.m-3．
续解
(a)设热机工作的全过程由n(n→∞)个元卡诺循环组成，第i次卡诺循环中，
卡诺热机从高温热源（温度设为Ti）处吸收的热量为ΔQ1后，温度降为Ti+1；
在低温热源（温度设为Tj）处放出的热量为ΔQ2后，温度升高为Tj+1，满足
1 1( )i iQ m s T T
1 2
i j
Q Q
T T
2 1( )j jQ ms T T
11 j ji i
i j
T TT T
T T
1i i
i
T T A
T n
令 1 1
nn AAi
i
T A
T n
1
1 1
1lim lim
nn An n Ai
n nii i
T A
T n
0
ln A
TA T得 0 A
A
T eT
0
ln B
TA T同理可得
0 A BT T T
(b)由卡诺热机的循环过程可知：
1 2 0 0 2A B A B A BW Q Q ms T T ms T T ms T T T T
2
A Bms T T
一反复循环运转的装置在水流速度为u=0.1 m/s的海洋上将大海
的热能转化为机械能．考虑深度h=1 km的海水最上层的温度T1=300 K，而与水面相邻的
空气温度为T2=280 K．装置在垂直于水流方向上的宽度为L=1 km．估计该装置所能提供
的最大功率，已知水的比热为c=4200 J/(kg.K)，水的密度ρ=103 kg/m3．
解答
工作物质为单位时间流过的水 uLh
取温度从T1→T2中的某一元过程： 2
1
i
i i i
i
T Tp cm T T T
Q吸 i
热机总功率：
1
1 2
1 1
lim lim
n n
i i
i i i
n n ii i
T Tp p cm T T T T
1
1 2 2
1
lim
n
i i
n ii
T Tcm T T cmT T
1 1 2
21
lim
n
i i
n ii
T T cm T T P
T cmT
1
lim
n
n i
A
n
1i i
i
T T A
T n
1 1
nn AAi
i
T A
T n
1
2
T
T
1
2
lnA T
T
1
1 2 2
2
ln Tp cm T T cmT T
82.9 10 kW
读题
某空调器按卡诺循环运转，其中的做功装置连续工作时所提供的功
率为p0．
⑴夏天，室外温度为恒定的T1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的
T2．室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于（T1－T2）（牛顿冷却定律），
比例系数为A．试用T1、p0和A来表示T2．
⑵当室外温度为30℃时，若这台空调器只有30％的时间处于工作状态，则室温可维持在
20℃．试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20℃？
⑶冬天，可将空调器吸热、放热反向．试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温
在20℃？
解答
⑴ 夏天，空调为致冷机，从室内吸热Q2，向室外放热
Q11 2
1 2
Q Q
T T
0 1 2p Q Q
2 1 2( )Q A T T
2
1 2
2
0 0 0
1 1 22 0 2 2( ,
4
)AT T p pT Ap pT TA A
T
⑵代入数据:
2
0
2
1 0
10 0.3 293
293 293
A p
A T p
1 38.3T ℃
⑴ 冬天，空调为热机，从室外吸热 ，向室内放热1Q 2Q
2
0
1 0
10 0.3 293
(293 ) 293
A p
A T p
1 1.7T ℃
读题
