人教版高中数学选修4-5练习：第一讲复　习　课word版含解析

人教版高中数学选修4-5练习：第一讲复　习　课word版含解析

复 习 课 整合·网络构建] 警示·易错提醒] 1．不等式性质的两个易错点． (1)忽略不等式乘法中“大于 0”这一条件． (2)求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误． 2．应用基本不等式求最值的三个注意点． (1)“一正”：各项或各因数都是正数． (2)“二定”：积(或和)为定值． (3)“三等”：等号成立的条件． 3．绝对值不等式的两个注意点． (1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉 绝对值符号． (2)在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分 类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形． 专题一 基本不等式的应用 在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题 设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法 有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等． 例 1] 已知 x＞1，求函数 y＝x2－2x＋2 2x－2 的最小值． 解：y＝x2－2x＋2 2x－2 ＝ （x－1）2＋1 2（x－1） ＝ 1 2 （x－1）＋ 1 x－1 ≥1， 当且仅当 x－1＝ 1 x－1 ，即 x＝2时，等号成立， 所以当 x＝2时，y有最小值，最小值为 1. 归纳升华 1．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一 正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若 和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件， 若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值． 2．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本 不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需 要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不 等式的形式再进行求解． 变式训练] 已知 x＞0，y＞0，且 1 x ＋ 9 y ＝1，求 x＋y的最小值． 解：法一：因为 x＞0，y＞0，1 x ＋ 9 y ＝1， 所以 x＋y＝1·(x＋y)＝ 1 x ＋ 9 y (x＋y)＝y x ＋ 9x y ＋10≥2 y x · 9x y ＋ 10＝6＋10＝16， 当且仅当 y x ＝ 9x y ，且 1 x ＋ 9 y ＝1， 所以当 x＝4，y＝12时，x＋y有最小值为 16. 法二：因为由 1 x ＋ 9 y ＝1得(x－1)(y－9)＝9(定值)， 且 x＞0，y＞0， 所以 x＞1，y＞9， 所以 x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2 （x－1）（y－9）＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9， （x－1）（y－9）＝9 即 x＝4， y＝12 时，等号成立， 所以 x＋y有最小值为 16. 专题二 绝对值三角不等式的应用 绝对值三角不等式指的是||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.这是一类特殊 的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关 系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明． 例 2] 求函数 y＝|x－2|＋|x＋5|的最小值． 解：y＝|x－2|＋|x＋5|≥|(x－2)－(x＋5)|＝7. 当且仅当(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2时等号成立， 故函数的最小值为 7. 归纳升华 绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺 度”还要仔细把握，如下面的式子： |a|－|b|≤||a|－|b||≤|a＋b|≤|a＋b|. 我们较为常用的形式是|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，但有些学生就会 误认为只能如此，而实质上，|a＋b|是不小于|a|－|b|的． 变式训练] (2016·江苏卷)设 a＞0，|x－1|＜a 3 ，|y－2|＜a 3 ，求证： |2x＋y－4|＜a. 证明：因为|x－1|＜a 3 ，|y－2|＜a 3 ，a＞0， 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2a 3 ＋ a 3 ＝a， 故不等式成立． 专题三 绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的基本思想就是去掉绝对值符号，使不等式变成 不含绝对值的一般不等式或不等式组，(1)利用|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c 型的解法可以解决形如|f(x)|≤g(x)，c≤|ax＋b|≤b的不等式． (2)根据绝对值的意义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函 数，或利用平方去掉绝对值符号，是常用的思维方法． 例 3] 解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x. 解：把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x， 令|x－1|＝0，得 x＝1；令|x－2|＝0，得 x＝2. 这样，1，2的对应点把数轴分成了三个部分． (1)当 x≤1时，x－1≤0，x－2＜0， 所以原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x， 解得 x＜0. 由 x≤1， x＜0 得 x＜0. (2)当 1＜x≤2时，x－1＞0，x－2≤0， 所以原不等式变为 x－1－(x－2)＞3＋x， 解得 x＜－2. 由 1＜x≤2， x＜－2 得 x∈∅. (3)当 x＞2时， x－1＞0，x－2＞0， 所以原不等式变为 x－1＋x－2＞3＋x，解得 x＞6. 由 x＞2， x＞6 得 x＞6. 综上所示，原不等式的解集为(－∞，0)∪(6，＋∞)． 归纳升华 1．|ax＋b|≤c(c＞0)，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法． c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 等价于 ax ＋b≥c或 ax＋b≤－c，然后根据 a，b的值解出即可． 2．对于形如|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c的不等式，可通 过分类讨论或利用绝对值的几何意义求解． 利用绝对值的几何意义或者画出函数的图象去解不等式，更为直 观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性． 变式训练] 解不等式|x＋2|＋|1－x|＜x＋4. 解：原不等式为|x＋2|＋|x－1|＜x＋4. 所以可把全体实数分为三部分： x＜－2，－2≤x＜1，x≥1. 于是原不等式的解集是下面三个不等式组的解集的并集： (1) x＜－2， －x－2＋1－x＜x＋4， 得解集为∅. (2) －2≤x＜1， x＋2＋1－x＜x＋4， 得－1＜x＜1. (3) x≥1， x＋2＋x－1＜x＋4， 得 1≤x＜3. 所以原不等式的解集是{x|－1＜x＜3}． 专题四 数形结合思想 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分 为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作 为手段，数为目的；或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的． 例 4] 解不等式|x＋1|＋|x|＜2. 解：法一：由绝对值的几何意义知， |x＋1|表示数轴上点 P(x)到点 A(－1)的距离，|x|表示数轴上点 P(x) 到点 O(0)的距离． 由条件知这两个距离之和小于 2. 由数轴(如图①所示)可知原不等式的解集为 x|－ 3 2 ＜x＜1 2|. 图① 图② 法二：令 f(x)＝|x＋1|＋|x|－2， 则 f(x)＝ 2x－1（x≥0）， －1（－1＜x＜0）， －2x－3（x≤－1）. 作函数 f(x)的图象(如图②所示)， 由图象可知，当 f(x)＜0时，－ 3 2 ＜x＜1 2 . 故原不等式的解集为 x|－ 3 2 ＜x＜1 2 . 归纳升华 1．利用函数图象解题，直观快捷，注意作图的准确性． 2．在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图象结合起来， 使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和 转化，即把数量关系转化为图象的性质来确定或者把图象的性质转化 为数量关系的问题来研究． 变式训练] 已知关于 x的不等式|3x－1|＋x＜ax有解，求 a的取 值范围． 解：设 y1＝|3x－1|＋x，y2＝ax，则 y1＝ 1－2x，x＜1 3 ， 4x－1，x≥1 3 . 分别作出两函数的图象，如图所示． 当 y2＝ax的图象过点 A 1 3 ， 1 3 时，a＝1， 若 y1＜y2有解， 则 y1的图象与 y2的图象应有交点，且 y1在 y2的下方应有图象，故 a＞1或 a＜－2， 即 a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．