2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省示范高中高一上学期第二次联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定集合，由集合运算的定义求解．‎ ‎【详解】‎ 因为集合，所以，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，属于基础题．‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】使解析式有意义，因此必须有且．‎ ‎【详解】‎ 由，得，即，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．‎ ‎3．下列各角中，与终边相同的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据终边相同的角的公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以与终边相同的角是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查终边相同角的公式，属于基础题.‎ ‎4．集合，则集合的真子集的个数为（ ）‎ A．7 B．8 C．15 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】解对数不等式得，根据集合元素的个数可得真子集个数.‎ ‎【详解】‎ 由，得，又，‎ 所以集合，‎ 集合的真子集有个.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合真子集的个数，关键是要确定集合元素的个数，利用子集个数公式求得真子集个数，是基础题.‎ ‎5．若为钝角,则是( )‎ A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第一或第三象限角 ‎【答案】C ‎【解析】若为钝角,则终边落在第二象限,对赋值,即可判断终边所在象限 ‎【详解】‎ 由题,若为钝角,则终边落在第二象限,‎ 当时,为第二象限角；‎ 当时,为第四象限角,‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查象限角的判断,属于基础题 ‎6．若实数，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】与中间值 0和1比较后可得．‎ ‎【详解】‎ 因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．‎ ‎7．若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数是幂函数,‎ 所以,解得或.‎ 又因为在上单调递增,所以,‎ 所以,‎ 即,‎ 从而，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.‎ ‎8．已知函数是定义在 上的奇函数，则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．2 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，再由，列方程组求出，进而求出代入求函数值即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数是定义在上的奇函数，‎ 得，所以，，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的性质，特别的定义域关于原点对称不要忽略，是基础题.‎ ‎9．在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可 ‎【详解】‎ 若点在第一象限,则,,则 ‎,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题 ‎10．已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在上恒成立，则抛物线在间的部分都在轴上方或在轴上，只需最低点，即区间的两个端点满足即可，可得，求解即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为在上恒成立，‎ 所以解得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式在给定区间恒成立，转为为二次函数图像特征，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎11．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（为常数，为原污染物总量）.若前个小时废气中的污染物被过滤掉了，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（ ）（参考数据：取）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据已知条件得出，可得出，然后解不等式，解出的取值范围，即可得出正整数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，前个小时消除了的污染物，因为，所以，所以，即，所以，‎ 则由，得，‎ 所以，‎ 故正整数的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12．已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为,,‎ 所以.‎ 因为在区间内没有零点,‎ 所以.‎ 解得.‎ 因为,所以,‎ 因为.所以或.‎ 当时;‎ 当时,，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知角的终边经过点,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合三角函数的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 则,‎ 所以,‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义，属基础题.‎ ‎14．若函数，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出，再代入，求即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的函数值的求解，是基础题.‎ ‎15．已知为第三象限角,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 又为第三象限角,则，‎ 故原式 ，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.‎ ‎16．定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由于定义在R上的偶函数满足,‎ 所以的图象关于直线对称,‎ 画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,‎ 由图可知：当时,有5个交点,‎ 又和都是偶函数,‎ 所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，‎ 故答案为：10.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合或,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】（1）计算，或，再计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，故或，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,即,‎ 当时,或,所以或.‎ ‎(2)因为,所以, ,‎ 则或,即或,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.‎ ‎18．已知角的终边经过点,求下列各式的值.‎ ‎（1）;‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）-2 （2）‎ ‎【解析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.‎ ‎（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由角的终边经过点,可知,‎ 则.‎ ‎（2）由已知有，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎19．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的解析式;‎ ‎(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析,.(2)-1‎ ‎【解析】（1）由表格中数据,可得,即可求得,由可得,则,进而补全表格即可；‎ ‎（2）由图像变换原则可得,进而将代入求解即可 ‎【详解】‎ 解:(1)根据表中已知数据,可得,解得,‎ 又,所以,‎ 所以.‎ 数据补全如下表:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎ (2)由(1)知,‎ 把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图像,‎ 再把得到的图像向左平移个单位长度,得到的图像,即,‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力 ‎20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；‎ ‎（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，‎ 当时，，则，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）若是上的单调函数，且，‎ 则实数满足，‎ 解得，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．‎ ‎21．已知函数,当时,函数的值域是.‎ ‎(1)求常数,的值;‎ ‎(2)当时,设,判断函数在上的单调性.‎ ‎【答案】(1),或,.(2)函数在上单调递增.函数在上单调递减.‎ ‎【解析】（1）先求得,再讨论和的情况,进而求解即可；‎ ‎（2）由（1）,则 ‎,进而判断单调性即可 ‎【详解】‎ 解:(1)当时,,‎ 所以,‎ ‎①当时,由题意可得,‎ 即,解得,；‎ ‎②当时,由题意可得,‎ 即,解得,‎ ‎(2)由（1）当时,,,所以,‎ 所以,‎ 令,,解得,,‎ 当时,,则,‎ 所以函数在上单调递增,‎ 同理,函数在上单调递减 ‎【点睛】‎ 本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 ‎22．已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:在上单调递增；‎ ‎(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）用增函数定义证明；‎ ‎（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，，∴，即，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎（2）总存在，对任意都成立，即，‎ 的最大值为，‎ 是偶函数，在是增函数，∴当时，，‎ ‎∴，整理得，，‎ ‎∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，‎ 如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．‎