中考数学专题复习——几何探究题

中考数学专题复习——几何探究题

几何探究题 ‎（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．‎ ‎①如图1，求证：；‎ ‎②探究：如图1， ；‎ 如图2， ；‎ 如图3， ．‎ ‎（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．‎ ‎①猜想：如图4， （用含的式子表示）；‎ ‎②根据图4证明你的猜想．‎ ‎（1）①证法一：与均为等边三角形，‎ ‎， 2分 且 3分 ‎，‎ 即 4分 ‎． 5分 证法二：与均为等边三角形，‎ ‎， 2分 且 3分 可由绕着点按顺时针方向旋转得到 4分 ‎． 5分 ‎②，，． 8分（每空1分）‎ ‎（2）① 10分 ‎②证法一：依题意，知和都是正边形的内角，，，‎ ‎，即． 11分 ‎． 12分 ‎，， 13分 ‎，‎ ‎ 14分 证法二：同上可证 ． 12分 ‎，如图，延长交于，‎ ‎，‎ ‎ 13分 ‎ 14分 证法三：同上可证 ． 12分 ‎．‎ ‎，‎ ‎ 13分 即 14分 证法四：同上可证 ． 12分 ‎．如图，连接，‎ ‎． 13分 即 14分 注意：此题还有其它证法，可相应评分 请阅读下列材料：‎ 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．‎ 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．‎ D C G P A B E F 图2‎ D A B E F C P G 图1‎ 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：‎ ‎（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；‎ ‎（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．‎ ‎（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．‎ 【解析】 ‎⑴ 线段与的位置关系是；‎ ‎． 2分 ‎⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．‎ 证明：如图，延长交于点，连结．‎ 是线段的中点， ‎ ‎．‎ D C G P A B E F H 由题意可知．‎ ‎．‎ ‎， ‎ ‎．‎ ‎，．‎ 四边形是菱形，‎ ‎，．‎ 由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，‎ 可得． ‎ ‎．‎ 四边形是菱形，‎ ‎． ‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 即．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎． 6分 ‎⑶ ． 8分 如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.‎ ‎（1）求AD的长；‎ ‎（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；‎ ‎（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.‎ ‎（第25题图） ）‎ ‎（备用图）‎ ‎（1）解法一：如图25-1‎ 过A作AE⊥CD，垂足为E .‎ ‎ 依题意，DE=. …………………………2分 ‎ 在Rt△ADE中，AD=. ………5分 图25-1‎ ‎ 解法二：如图25-2‎ ‎ 过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 . …2分 ‎ ∠AED=∠C=60°.‎ ‎ 又∵∠D=∠C=60°，‎ ‎ ∴△AED是等边三角形 . ‎ ‎ ∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分 ‎ （2）解：如图25-1‎ 图25-2‎ ‎∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为：‎ S=PD·h ………………………………………6分 ‎=(9－x)·x·sin60°‎ ‎=(9x－x2)‎ ‎ =－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分 由题意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分 当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分 ‎ （3）证法一：如图25-3‎ 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 ‎ 于是9－x=x，x=.‎ ‎ 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP .‎ ‎△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.‎ 连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 .‎ 图25-3‎ ‎ 易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ‎ ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .‎ ‎ 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分 ‎ 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=. ………………… 14分 ‎ [注] 本题仅回答存在，给1分.‎ ‎ 证法二：如图25-4‎ 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 ‎ 于是9－x=x，x=. ‎ ‎ 此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .‎ ‎ 易知∠1=∠C .‎ ‎ ∴PQ∥BC .‎ ‎ 又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD 图25-4‎ ‎ ∴MP= CD=PD ‎ 即MP=PD=DQ=QM ‎ ∴四边形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－= ……………… 14分 已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．‎ 答：对图（2）的探究结论为____________________________________．‎ ‎ 对图（3）的探究结论为_____________________________________．‎ 证明：如图（2）‎ 结论均是PA2＋PC2＝PB2＋PD2（图2 2分，图3 1分）‎ ‎ 证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，‎ 因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC 在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2‎ 在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2‎ 在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2‎ 在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2‎ ‎ 所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2‎ ‎ PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2‎ 因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形 所以MD＝NC，同理AM ＝ BN，‎ 所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2‎ 即PA2＋PC2＝PB2＋PD2‎ 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．‎ ‎（第22题）‎ ‎（1）直接写出点E、F的坐标；‎ ‎（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：（1）；．‎ ‎（2）在中，，‎ ‎．‎ 设点的坐标为，其中，‎ 顶点，‎ 设抛物线解析式为．‎ ‎①如图①，当时，，‎ ‎．‎ 解得（舍去）；．‎ ‎．‎ ‎．‎ 解得．‎ 抛物线的解析式为 ‎②如图②，当时，，‎ ‎．‎ 解得（舍去）．‎ ‎③当时，，这种情况不存在．‎ 综上所述，符合条件的抛物线解析式是．‎ ‎（3）存在点，使得四边形的周长最小．‎ 如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于点，则点就是所求点．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，‎ ‎，此时四边形的周长最小值是．‎ 如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： ‎ ‎（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；‎ ‎②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．‎ ‎（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．‎ ‎（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．‎ ‎(1)① ………………………………………………………………2分 ‎②仍然成立 ……………………………………………………1分 在图（2）中证明如下 ‎∵四边形、四边形都是正方形 ‎∴ ，， ‎ ‎∴…………………………………………………………………1分 ‎ ‎ ∴ （SAS）………………………………………………………1分 ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ …………………………………………………………………………1分 ‎（2）成立，不成立 …………………………………………………2分 简要说明如下 ‎∵四边形、四边形都是矩形，‎ 且，，，(，)‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴………………………………………………………………………1分 ‎∴‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ ……………………………………………………………………………1分 ‎（3）∵ ∴‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴ ………………………………………………1分 ‎ ∴ ………………………………………………………………………1分 正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．‎ ‎⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。‎ ‎ ①求证：DF＝EF；‎ ‎ ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；‎ O D C B A 图3‎ P ‎⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）‎ 图2‎ O D C B A E F P F P(O)‎ D C B A 图1‎ ‎⑴ ①略；②PC－PA＝CE；⑵结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA－PC＝CE；‎ 将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．‎ ‎（1）用含的代数式表示；‎ ‎（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；‎ ‎（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？‎ 与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y ‎（第24题图）‎ 图2‎ O P A x B C Q y E 解：（1），．‎ 图1‎ O P A x B D C Q y 图2‎ O P A x B C Q y 图3‎ O F A x B C y E Q P ‎（2）当时，过点作，交于，如图1，‎ 则，，‎ ‎，．‎ ‎（3）①能与平行．‎ 若，如图2，则，‎ 即，，而，‎ ‎．‎ ‎②不能与垂直．‎ 若，延长交于，如图3，‎ 则．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，而，‎ 不存在．‎ A B D C 图 1‎ ‎（1）探究新知：‎ 如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， ‎ 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． ‎ ‎（2）结论应用： ‎ x O y N M 图 2‎ E F x N ‎① 如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． ‎ 试证明：MN∥EF． ‎ x O y D M 图 3‎ N ‎ ‎ ‎② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N ‎ 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行．‎ ‎（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，‎ 垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．……1分 ‎ ‎∴ CG∥DH． ‎ ‎∵ △ABC与△ABD的面积相等， ‎ ‎∴ CG＝DH． …………………………2分 ‎ x O y N M 图 2‎ E F ‎∴ 四边形CGHD为平行四边形． ‎ ‎∴ AB∥CD． ……………………………3分 ‎ ‎（2）①证明：连结MF，NE． …………………4分 ‎ 设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2）．‎ ‎∵ 点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，‎ ‎∴ ，． ‎ ‎∵ ME⊥y轴，NF⊥x轴， ‎ x O y D N M 图 3‎ E F ‎∴ OE＝y1，OF＝x2． ‎ ‎∴ S△EFM＝， ………………5分 ‎ S△EFN＝． ………………6分 ‎ ‎∴S△EFM ＝S△EFN． ……………… 7分 由（1）中的结论可知：MN∥EF． ………8分 ‎② MN∥EF． …………………10分 ‎ ‎（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）‎ ‎ ‎