中考数学专题复习——几何探究题

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中考数学专题复习——几何探究题

几何探究题 ‎(1)如图1,图2,图3,在中,分别以为边,向外作正三角形,正四边形,正五边形,相交于点.‎ ‎①如图1,求证:;‎ ‎②探究:如图1, ;‎ 如图2, ;‎ 如图3, .‎ ‎(2)如图4,已知:是以为边向外所作正边形的一组邻边;是以为边向外所作正边形的一组邻边.的延长相交于点.‎ ‎①猜想:如图4, (用含的式子表示);‎ ‎②根据图4证明你的猜想.‎ ‎(1)①证法一:与均为等边三角形,‎ ‎, 2分 且 3分 ‎,‎ 即 4分 ‎. 5分 证法二:与均为等边三角形,‎ ‎, 2分 且 3分 可由绕着点按顺时针方向旋转得到 4分 ‎. 5分 ‎②,,. 8分(每空1分)‎ ‎(2)① 10分 ‎②证法一:依题意,知和都是正边形的内角,,,‎ ‎,即. 11分 ‎. 12分 ‎,, 13分 ‎,‎ ‎ 14分 证法二:同上可证 . 12分 ‎,如图,延长交于,‎ ‎,‎ ‎ 13分 ‎ 14分 证法三:同上可证 . 12分 ‎.‎ ‎,‎ ‎ 13分 即 14分 证法四:同上可证 . 12分 ‎.如图,连接,‎ ‎. 13分 即 14分 注意:此题还有其它证法,可相应评分 请阅读下列材料:‎ 问题:如图1,在菱形和菱形中,点在同一条直线上,是线段的中点,连结.若,探究与的位置关系及的值.‎ 小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.‎ D C G P A B E F 图2‎ D A B E F C P G 图1‎ 请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:‎ ‎(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;‎ ‎(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.‎ ‎(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).‎ 【解析】 ‎⑴ 线段与的位置关系是;‎ ‎. 2分 ‎⑵ 猜想:(1)中的结论没有发生变化.‎ 证明:如图,延长交于点,连结.‎ 是线段的中点, ‎ ‎.‎ D C G P A B E F H 由题意可知.‎ ‎.‎ ‎, ‎ ‎.‎ ‎,.‎ 四边形是菱形,‎ ‎,.‎ 由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,‎ 可得. ‎ ‎.‎ 四边形是菱形,‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎.‎ 即.‎ ‎,,‎ ‎,.‎ ‎. 6分 ‎⑶ . 8分 如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值;‎ ‎(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.‎ ‎(第25题图) )‎ ‎(备用图)‎ ‎(1)解法一:如图25-1‎ 过A作AE⊥CD,垂足为E .‎ ‎ 依题意,DE=. …………………………2分 ‎ 在Rt△ADE中,AD=. ………5分 图25-1‎ ‎ 解法二:如图25-2‎ ‎ 过点A作AE∥BC交CD于点E,则CE=AB=4 . …2分 ‎ ∠AED=∠C=60°.‎ ‎ 又∵∠D=∠C=60°,‎ ‎ ∴△AED是等边三角形 . ‎ ‎ ∴AD=DE=9-4=5 . …………………………………5分 ‎ (2)解:如图25-1‎ 图25-2‎ ‎∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,△PDQ的面积S可表示为:‎ S=PD·h ………………………………………6分 ‎=(9-x)·x·sin60°‎ ‎=(9x-x2)‎ ‎ =-(x-)2+. ………………………………………………… 8分 由题意,知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分 当x=时(满足0≤x≤5),S最大值=. …………………………… 10分 ‎ (3)证法一:如图25-3‎ 假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 ‎ 于是9-x=x,x=.‎ ‎ 此时,点P、Q的位置如图25-3所示,连QP .‎ ‎△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点Q作QM∥DC,交BC于M,点M即为所求.‎ 连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形 .‎ 图25-3‎ ‎ 易证△MCP≌△QDP,∴∠D=∠3 . MP=PD ‎ ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .‎ ‎ 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分 ‎ 所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=. ………………… 14分 ‎ [注] 本题仅回答存在,给1分.‎ ‎ 证法二:如图25-4‎ 假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 ‎ 于是9-x=x,x=. ‎ ‎ 此时,点P、Q的位置如图25-4所示,△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连结PM、QM,则DM垂直平分PQ,∴ MP=MQ .‎ ‎ 易知∠1=∠C .‎ ‎ ∴PQ∥BC .‎ ‎ 又∵DO⊥PQ, ∴MC⊥MD 图25-4‎ ‎ ∴MP= CD=PD ‎ 即MP=PD=DQ=QM ‎ ∴四边形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分 所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-= ……………… 14分 已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图(1)所示)时,易证得结论:,请你探究:当点P分别在图(2)、图(3)中的位置时,又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图(2)证明你的结论.‎ 答:对图(2)的探究结论为____________________________________.‎ ‎ 对图(3)的探究结论为_____________________________________.‎ 证明:如图(2)‎ 结论均是PA2+PC2=PB2+PD2(图2 2分,图3 1分)‎ ‎ 证明:如图2过点P作MN⊥AD于点M,交BC于点N,‎ 因为AD∥BC,MN⊥AD,所以MN⊥BC 在Rt△AMP中,PA2=PM2+MA2‎ 在Rt△BNP中,PB2=PN2+BN2‎ 在Rt△DMP中,PD2=DM2+PM2‎ 在Rt△CNP中,PC2=PN2+NC2‎ ‎ 所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2‎ ‎ PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2‎ 因为MN⊥AD,MN⊥NC,DC⊥BC,所以四边形MNCD是矩形 所以MD=NC,同理AM = BN,‎ 所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2‎ 即PA2+PC2=PB2+PD2‎ 如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.‎ ‎(第22题)‎ ‎(1)直接写出点E、F的坐标;‎ ‎(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;‎ ‎(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(1);.‎ ‎(2)在中,,‎ ‎.‎ 设点的坐标为,其中,‎ 顶点,‎ 设抛物线解析式为.‎ ‎①如图①,当时,,‎ ‎.‎ 解得(舍去);.‎ ‎.‎ ‎.‎ 解得.‎ 抛物线的解析式为 ‎②如图②,当时,,‎ ‎.‎ 解得(舍去).‎ ‎③当时,,这种情况不存在.‎ 综上所述,符合条件的抛物线解析式是.‎ ‎(3)存在点,使得四边形的周长最小.‎ 如图③,作点关于轴的对称点,作点关于轴的对称点,连接,分别与轴、轴交于点,则点就是所求点.‎ ‎,.‎ ‎.‎ ‎.‎ 又,‎ ‎,此时四边形的周长最小值是.‎ 如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系: ‎ ‎(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;‎ ‎②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.‎ ‎(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (ab,k0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由.‎ ‎(3)在第(2)题图5中,连结、,且a=3,b=2,k=,求的值.‎ ‎(1)① ………………………………………………………………2分 ‎②仍然成立 ……………………………………………………1分 在图(2)中证明如下 ‎∵四边形、四边形都是正方形 ‎∴ ,, ‎ ‎∴…………………………………………………………………1分 ‎ ‎ ∴ (SAS)………………………………………………………1分 ‎∴ ‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ …………………………………………………………………………1分 ‎(2)成立,不成立 …………………………………………………2分 简要说明如下 ‎∵四边形、四边形都是矩形,‎ 且,,,(,)‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴………………………………………………………………………1分 ‎∴‎ 又∵ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴ ……………………………………………………………………………1分 ‎(3)∵ ∴‎ ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴ ………………………………………………1分 ‎ ∴ ………………………………………………………………………1分 正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F。如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.‎ ‎⑴如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E。‎ ‎ ①求证:DF=EF;‎ ‎ ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;‎ O D C B A 图3‎ P ‎⑵若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立?若不成立,写出相应的结论(所写结论均不必证明)‎ 图2‎ O D C B A E F P F P(O)‎ D C B A 图1‎ ‎⑴ ①略;②PC-PA=CE;⑵结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC=CE;‎ 将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,.动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点的运动时间为(秒).‎ ‎(1)用含的代数式表示;‎ ‎(2)当时,如图1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标;‎ ‎(3)连结,将沿翻折,得到,如图2.问:与能否平行?‎ 与能否垂直?若能,求出相应的值;若不能,说明理由.‎ 图1‎ O P A x B D C Q y ‎(第24题图)‎ 图2‎ O P A x B C Q y E 解:(1),.‎ 图1‎ O P A x B D C Q y 图2‎ O P A x B C Q y 图3‎ O F A x B C y E Q P ‎(2)当时,过点作,交于,如图1,‎ 则,,‎ ‎,.‎ ‎(3)①能与平行.‎ 若,如图2,则,‎ 即,,而,‎ ‎.‎ ‎②不能与垂直.‎ 若,延长交于,如图3,‎ 则.‎ ‎.‎ ‎.‎ 又,,‎ ‎,‎ ‎,而,‎ 不存在.‎ A B D C 图 1‎ ‎(1)探究新知:‎ 如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等, ‎ 试判断AB与CD的位置关系,并说明理由. ‎ ‎(2)结论应用: ‎ x O y N M 图 2‎ E F x N ‎① 如图2,点M,N在反比例函数(k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,F. ‎ 试证明:MN∥EF. ‎ x O y D M 图 3‎ N ‎ ‎ ‎② 若①中的其他条件不变,只改变点M,N ‎ 的位置如图3所示,请判断 MN与EF是否平行.‎ ‎(1)证明:分别过点C,D,作CG⊥AB,DH⊥AB,‎ 垂足为G,H,则∠CGA=∠DHB=90°.……1分 ‎ ‎∴ CG∥DH. ‎ ‎∵ △ABC与△ABD的面积相等, ‎ ‎∴ CG=DH. …………………………2分 ‎ x O y N M 图 2‎ E F ‎∴ 四边形CGHD为平行四边形. ‎ ‎∴ AB∥CD. ……………………………3分 ‎ ‎(2)①证明:连结MF,NE. …………………4分 ‎ 设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2).‎ ‎∵ 点M,N在反比例函数(k>0)的图象上,‎ ‎∴ ,. ‎ ‎∵ ME⊥y轴,NF⊥x轴, ‎ x O y D N M 图 3‎ E F ‎∴ OE=y1,OF=x2. ‎ ‎∴ S△EFM=, ………………5分 ‎ S△EFN=. ………………6分 ‎ ‎∴S△EFM =S△EFN. ……………… 7分 由(1)中的结论可知:MN∥EF. ………8分 ‎② MN∥EF. …………………10分 ‎ ‎(若学生使用其他方法,只要解法正确,皆给分.)‎ ‎ ‎
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