2014全国（理科数学）高考试题
2014·全国卷(理科数学)
1．[2014·全国卷] 设z＝，则z的共轭复数为( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
1．D [解析] z＝＝＝＝1＋3i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.
2．、[2014·全国卷] 设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( )
A．(0，4] B．[0，4)
C．[－1，0) D．(－1，0]
2．B [解析] 因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1
b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
3．C [解析] 因为b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b＞a.因为cos 35°<1，所以>1，所以>sin 35°.又c＝tan 35°＝>sin 35°，所以c>b，所以c>b>a.
4．[2014·全国卷] 若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2 B.
C．1 D.
4．B [解析] 因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋b·a＝0.因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝|a|＝.
5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．
6．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
6．A [解析] 根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－
1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
7．[2014·全国卷] 曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
7．C [解析] 因为y′＝(xex－1)′＝ex－1＋xex－1，所以y＝xex－1在点(1，1)处的导数是y′|x＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y＝xex－1在点(1，1)处的切线斜率是2.
8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A. B．16π C．9π D.
8．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R，又知△AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.
9．[2014·全国卷] 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B. C. D.
9．A [解析] 根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝＝
＝.
10．[2014·全国卷] 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
10．C [解析] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，根据题意可得，解得所以an＝a1qn－1＝×＝2×，所以lg an＝lg 2＋(n－4)lg，所以前8项的和为
8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg＝8lg 2＋4lg＝4lg＝4.
11．[2014·全国卷] 已知二面角αlβ为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
11．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C作CF∥AB，过点F作FE⊥β，垂足为点E，连接CE，则CE⊥l，所以∠ECF＝60°.过点E作DE⊥CE，交CD于点D1，连接FD1.不妨设FC＝2a，则CE＝a，EF＝a.因为∠ACD＝135°，所以∠DCE＝45°，所以，在Rt△DCE中，D1E＝CE＝a，CD1＝a，∴FD1＝2a，∴cos∠DCF＝＝.
12．[2014·全国卷] 函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＋y＝0对称，则y＝f(x)的反函数是( )
A．y＝g(x) B．y＝g(－x)
C．y＝－g(x) D．y＝－g(－x)
12．D [解析] 设(x0，y0)为函数y＝f(x)的图像上任意一点，其关于直线x＋y＝0的对称点为(－y0，－x0)．根据题意，点(－y0，－x0)在函数y＝g(x)的图像上，又点(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为(y0，x0)，且(y0，x0)与(－y0，－x0)关于原点对称，所以函数y＝f(x)的反函数的图像与函数y＝g(x)的图像关于原点对称，所以－y＝g(－x)，即y＝－g(－x)．
13．[2014·全国卷] 的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)
13．70 [解析] 易知二项展开式的通项Tr＋1＝C＝(－1)rCx8－y－4.要求x2y2的系数，需满足8－＝2且－4＝2，解得r＝4，所以T5＝(－1)4Cx2y2＝70x2y2，所以x2y2的系数为70.
14．[2014·全国卷] 设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．
14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界), z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋z的纵截距最大时z的值．结合题意，当y＝－x＋z经过点A时，z
取得最大值．
由可得点A的坐标为(1，1)，
所以zmax＝1＋4＝5.
15．、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
15. [解析] 如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2 ，所以tan∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝，
即l1与l2的夹角的正切值等于.
16．、[2014·全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，则a的取值范围是________．
16．(－∞，2] [解析] f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈，所以t∈，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈.因为f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈(－∞，2]．
17．[2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.
17．解：由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin Ccos A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝.
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝
＝－1，
所以B＝135°.
18．、[2014·全国卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．
又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，
于是10＋3d≥0，10＋4d≤0，
解得－≤d≤－，
因此d＝－3.
故数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.
19．、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1 AB C的大小．
19．解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.
连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.
由三垂线定理得AC1⊥A1B.
(2)BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.
作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.
又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，
即A1E＝.
因为A1C为∠ACC1的平分线，
所以A1D＝A1E＝.
作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.
由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1 AB C的平面角．
由AD＝＝1，得D为AC中点，
DF＝，tan∠A1FD＝＝，所以cos∠A1FD＝.
所以二面角A1 AB C的大小为arccos.
方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．
(1)证明：设A1(a，0，c)．由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．由||＝2，得＝2，即a2－4a＋c2＝0.①
又·＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B .
(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，则m⊥，m⊥，即m·＝0，m·＝0.因为＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0.
令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m，〉|＝＝＝c.
又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，
所以c＝，
代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，
于是＝(－1，0，)．
设平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，
则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，
－p＋r＝0，且－2p＋q＝0.
令p＝，则q＝2 ，r＝1，所以n＝(，2 ，1)．
又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故
cos〈n，p〉＝＝.
所以二面角A1 AB C的大小为arccos.
20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.
B表示事件：甲需使用设备．
C表示事件：丁需使用设备．
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0，1，2，
所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝
P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝
P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝
0．31.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为
P(X＝0)＝P(B·A0·C)
＝P(B)P(A0)P(C)
＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)
＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝
P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，
所以 EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N
两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
21．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又直线l ′的斜率为－m，
所以l ′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故线段MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋＝
，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，
故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
22．、[2014·全国卷] 函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：0，所以f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；
若x∈(a2－2a，0)，则f′(x)<0，所以f(x)在(a2－2a，0)是减函数；
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函数．
(ii)当a＝2时，若f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)是增函数.
(iii)当a>2时，若x∈(－1，0)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－1，0)是增函数；
若x∈(0，a2－2a)，则f′(x)<0，
所以f(x)在(0，a2－2a)是减函数；
若x∈(a2－2a，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函数．
(2)由(1)知，当a＝2时，f(x)在(－1，＋∞)是增函数．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝0，即ln(x＋1)>(x>0)．
又由(1)知，当a＝3时，f(x)在[0，3)是减函数．
当x∈(0，3)时，f(x)ln>＝，
ak＋1＝ln(ak＋1)≤ln<＝，
即当n＝k＋1时，有
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