天津市滨海新区2020届高三下学期联谊四校联考数学试题

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滨海新区2020届高三下学期联谊四校联考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷 选择题 (共45分)‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；‎ 参考公式：·如果事件、互斥，那么 ‎ 柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.‎ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分． ‎ ‎1. 设集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2. 若直线，，平面满足，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎0.005‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎3. 将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法座谈，则成绩为组应抽取的人数为 A． B．‎ C． D． ‎ ‎4. 已知正方体的表面积为，若圆锥的底面圆周经过四个顶点，圆锥的顶点在棱上，则该圆锥的体积为 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． ‎ ‎6. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛线线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎7. 已知函数的最小正周期为，若将的图象上所有的点向右平移个单位所得图象对应的函数为奇函数，则 A． B． C． D．‎ ‎8. 已知，数列为等比数列，，数列的前项和为，若对于恒成立，则的取值范围为 A． B．‎ C． D． ‎ ‎9. 在平面四边形中，，为中点，若，，则 ‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷 非选择题 (共105分)‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.‎ ‎10. 为虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为 ．‎ ‎11. 的展开式中的常数项为 ．‎ ‎12. 已知等差数列的前项为，若，则 ．‎ ‎13. 已知直线与圆交于两点，直线垂直平分弦，则的值为 ，弦的长为 ．‎ ‎14. 设，，则的最小值为 ．‎ ‎15. 已知，函数 ‎（1）若在上单调递增，则的取值范围为 ；‎ ‎（2）若对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16. （本小题14分） 在中，内角所对的边分别为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求角和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎17. （本小题15分） 全民参与是打赢新型冠状病毒防疫战的根本方法。在防控疫情的过程中，某小区的“卡口”工作人员由“社区工作者”“下沉干部”“志愿者”三种身份的人员构成，其中社区工作者3人，下沉干部2人，志愿者1人．某电视台某天上午随机抽取2人进行访谈，某报社在该天下午随机抽取1人进行访谈．‎ ‎（Ⅰ）设表示上午抽到的社区工作者的人数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“全天抽到的名工作人员的身份互不相同”，求事件发生的概率．‎ ‎ ‎ P A B C D E F N ‎18. （本小题15分） 如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，分别为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使与平面 所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．‎ ‎19. （本小题15分）已知椭圆过点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下顶点，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于另一点，过点的直线与椭圆交于另一点，直线与的斜率的乘积为，关于轴对称，求直线的斜率．‎ ‎20. （本小题16分）设函数,．‎ ‎（Ⅰ）求函数的图象在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：方程有两个实数根；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 数学试卷答案 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分． ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 答案 A B C C D D C A C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（13，15题第一问2分，第二问3分）‎ ‎10. 11. 12. ‎ ‎13. ， 14. 15. ，‎ 三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，----------------2分 则，----------------3分 所以.----------------4分 由，----------------6分 解得.----------------7分 ‎（Ⅱ）由正弦定理，----------------8分 得，----------------9分 因为为锐角，所以，----------------10分 ‎，----------------11分 ‎，----------------12分 因此.----------------14分 ‎17. 解：（Ⅰ）的可能值为.----------------1分 ‎-----------------7分（每个2分）‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎-----------------8分 ‎ -----------------10分 P A B C D E F N G ‎（Ⅱ）‎ 所以事件发生的概率.-----------------15分 ‎18. （Ⅰ）证明：取中点，连接，‎ ‎，即，‎ 所以为平行四边形，-----------------2分 平面，平面，因此平面.-----------------4分 ‎（Ⅱ）解：因为，为的中点，所以，又因为侧面底面交线为，所以平面，-----------------5分 分别以为轴建立空间直角坐标系. ‎ ‎,-----------------6分 平面的法向量，-----------------7分 ‎，，设平面的法向量，‎ 则令，得.-----------------9分 所以，因此二面角的余弦值为.-----------------10分 ‎（Ⅲ）解：设，，，‎ ‎-----------------11分 平面的法向量， -----------------12分 所以，-----------------13分 解得或（舍），-----------------14分 所以.-----------------15分 ‎19. （Ⅰ）解：因为，即，-----------------2分 又椭圆过点，所以，解得，‎ 椭圆方程为．-----------------5分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，则 得，-----------------7分 解得，所以.-----------------9分 因为直线的斜率乘积为,所以直线的方程为,‎ 同理可得．-----------------11分 因为M，N关于y轴对称，所以，-----------------13分 即，解得.‎ 所以直线的斜率为-----------------15分 ‎20.解：（Ⅰ），， ----------------1分 ‎，------------------2分 所以的图象在处的切线方程为.-----------------3分 ‎（Ⅱ）设，定义域为，-----------------4分 ‎，-----------------5分 设，‎ 因为，所以，因此在上单调递减，--------------6分 又，所以时，，在上单调递增，--------------7分 时，，在上单调递减，‎ 因此，--------------8分 取，所以在上有一个零点，--------------9分 取，所以在上有一个零点，故方程有两个实数根. --------------10分 ‎（Ⅲ）设，则，--------------11分 不等式，即为，--------------12分 因为恒成立，所以只需证为单调递减函数. --------------13分 ‎,--------------14分 因为恒成立，--------------15分 所以，即，所以为单调递减函数，‎ 因此.--------------16分 ‎ ‎