高考数学总复习课时规范练44椭圆文新人教A版

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课时规范练 44 椭圆 基础巩固组 1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是 26,则椭圆的方程为 ( ) A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 2.(2017 河南洛阳三模)已知集合 M= ,N= ,M∩N=( ) A.⌀ B.{(3,0),(0,2)} C.[-2,2] D.[-3,3] 3.已知椭圆 C: =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点. 若△AF1B 的周长为 4 ,则 C 的方程为( ) A. =1 B. +y2=1 C. =1 D. =1 4.设椭圆 C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 5.(2017 广东、江西、福建十校联考,文 11)已知 F1,F2 是椭圆 =1(a>b>0)的左右两个焦点,若 椭圆上存在点 P 使得 PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 6.与圆 C1:(x+3)2+y2=1 外切,且与圆 C2:(x-3)2+y2=81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 . 7.(2017 湖北八校联考)设 F1,F2 为椭圆 =1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则 的值为 . 8.(2017 广东佛山一模,文 20)已知椭圆 C: =1(a>b>0)过点 M(2,1),且离心率为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过原点的直线 l1 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且在直线 l2:x-y+2 =0 上存在点 M,使得△MPQ 为等 边三角形,求直线 l1 的方程. 〚导学号 24190941〛 综合提升组 9.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的 准线与 E 的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 10.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的左、右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点,则 C 的离心率为( ) A. B. C. D. 11.已知椭圆 =1 的左顶点为 A,左焦点为 F,点 P 为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上顶点到 焦点的距离为 2,离心率 e= ,则 的取值范围是 . 12.(2017 湖北武汉二月调考,文 20)已知椭圆 E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心 率为 ,F2 与椭圆上点的连线中最短线段的长为 -1. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)已知 E 上存在一点 P,使得直线 PF1,PF2 分别交椭圆 E 于点 A,B,若 =2 =λ (λ>0), 求直线 PB 的斜率. 〚导学号 24190942〛 创新应用组 13.(2017 安徽马鞍山一模,文 16)椭圆 =1(a>b>0)的焦点为 F1,F2,若椭圆上存在满足 的点 P,则椭圆的离心率的范围是 . 14.(2017 山西太原二模,文 20)如图,曲线 C 由左半椭圆 M: =1(a>b>0,x≤0)和圆 N:(x- 2)2+y2=5 在 y 轴右侧的部分连接而成,A,B 是 M 与 N 的公共点,点 P,Q(均异于点 A,B)分别是 M,N 上 的动点. (1)若|PQ|的最大值为 4+ ,求半椭圆 M 的方程; (2)若直线 PQ 过点 A,且 =0, ,求半椭圆 M 的离心率. 答案： 1.A 由题意知 a=13,c=5,则 b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在 x 轴上,∴椭圆方程为 =1. 2.D 集合 M= =[-3,3],N= =R,则 M∩N=[-3,3],故选 D. 3.A 由椭圆的定义可知△AF1B 的周长为 4a,所以 4a=4 ,即 a= ,又由 e= ,得 c=1,所以 b2=a2-c2=2,则 C 的方程为 =1,故选 A. 4.D 如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c,设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 由 tan 30°= , 得 x= c. 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=3x,∴a= x= c, ∴e= . 5.B ∵F1,F2 是椭圆 =1(a>b>0)的左右两个焦点, ∴离心率 0|C1C2|, 即 P 在以 C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为 10 的椭圆上, 得点 P 的轨迹方程为 =1. 7. 由题意知 a=3,b= . 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6. 在△PF1F2 中,因为 PF1 的中点在 y 轴上,O 为 F1F2 的中点, 由三角形中位线性质可推得 PF2⊥x 轴,所以|PF2|= , 所以|PF1|=6-|PF2|= , 所以 . 8.解 (1)由题意可知,椭圆的离心率为 e= ,即 a2=4b2. 由椭圆过点 M(2,1),代入可知 =1,解得 b2=2,则 a2=8. ∴椭圆 C 的方程为 =1. (2)当直线 l1 的斜率 k 不存在时,P,Q 两点为短轴的端点,直线 l2 与 x 轴的交点(-2 ,0)即点 M, 但△MPQ 不是等边三角形. 当直线 l1 的斜率 k 存在时,设 P(x0,y0),则 Q(-x0,-y0), 当 k=0 时,直线 PQ 的垂直平分线为 y 轴,y 轴与直线 l2 的交点为 M(0,2 ),由 |PO|=2 ,|MO|=2 , ∴∠MPO=60°. 则△MPQ 为等边三角形,此时直线 l1 的方程为 y=0. 当 k≠0 时,设直线 l1 的方程为 y=kx, 由 整理得(1+4k2)x2=8, 解得|x0|= , 则|PO|= , 则 PQ 的垂直平分线为 y=- x, 由 解得 则 M , ∴|MO|= . ∵△MPQ 为等边三角形, 则|MO|= |PO|, ∴ , 解得 k=0(舍去),k= , ∴直线 l1 的方程为 y= x. 综上可知,直线 l1 的方程为 y=0 或 y= x. 9.B ∵抛物线 y2=8x 的焦点坐标为(2,0),∴E 的右焦点的坐标为(2,0). 设椭圆 E 的方程为 =1(a>b>0),则 c=2. ∵ ,∴a=4. ∴b2=a2-c2=12. 于是椭圆方程为 =1. ∵抛物线的准线方程为 x=-2,将其代入椭圆方程可得 A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6. 10.A 由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k>0,分别令 x=-c 与 x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka. 设 OE 的中点为 G, 由△OBG∽△FBM, 得 , 即 , 整理,得 , 故椭圆的离心率 e= ,故选 A. 11.[0,12] 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为 2,所以 a=2. 因为离心率 e= , 所以 c=1,b= . 则椭圆方程为 =1, 所以点 A 的坐标为(-2,0),点 F 的坐标为(-1,0). 设 P(x,y),则 =(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2. 由椭圆方程得 y2=3- x2, 所以 =x2+3x- x2+5 = (x+6)2-4. 因为 x∈[-2,2], 所以 ∈[0,12]. 12.解 (1)由题意 e= , ① a-c= -1, ② 由①②解得 a= ,c=1, ∴b= =1. ∴椭圆 E 的标准方程是 +y2=1. (2)设点 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线 lPA 的方程为 x=my-1. 由 消去 x,得(m2+2)y2-2my-1=0, 则 y0·y1=- . ∵ ,∴m= . ∴ =- =- =(m2+2) =(x0+1)2+2 =(x0+1)2+2- =3+2x0. ∴3+2x0=2,解得 x0=- , ∴P . ∴kPB= =∓ . 故直线 PB 的斜率为± . 13. ∵椭圆的焦点为 F1,F2,椭圆上存在满足 的点 P, ∴| |·| |cos< >= , 4c2= -2| |·| |cos< >, | |+| |=2a, 可得 +2| |·| |=4a2, ∴4c2=4a2-2| |·| |-b2. ∴2| |·| |=3a2-3c2 ≤2 , 当且仅当| |=| |时,等号成立. 可得 ,解得 e≥ . 又 0

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