2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知圆，圆 ，则圆与圆的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即两圆外切，故选．‎ 点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．‎ ‎(2)切线法：根据公切线条数确定．‎ ‎（3）数形结合法：直接根据图形确定 ‎2．计算的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由二倍角公式得：，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.‎ ‎3．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.‎ ‎【详解】‎ 根据对称性，点 关于 轴对称的点的坐标为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.‎ ‎4．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．‎ 在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ）‎ A．2015年第三季度环比有所提高 B．2016年第一季度同比有所提高 C．2017年第三季度同比有所提高 D．2018年第一季度环比有所提高 ‎【答案】C ‎【解析】根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；‎ ‎2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；‎ ‎2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；‎ ‎2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎5．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二项分布的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 每枚硬币正面向上的概率都等于，‎ 故恰好有两枚正面向上的概率为：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解.‎ ‎6．直线与直线平行，则（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】两直线平行，斜率相等；按，和三类求解.‎ ‎【详解】‎ 当即时，‎ 两直线为，，‎ 两直线不平行，不符合题意；‎ 当时，‎ 两直线为 ， ‎ 两直线不平行，不符合题意；‎ 当即时，‎ 直线的斜率为 ，‎ 直线的斜率为，‎ 因为两直线平行，所以，‎ 解得或，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.‎ ‎7．已知， 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：A中，两直线可能平行也可能相交或异面，故A错；B中，直线与可能平行也可能在平面内，故B错；C中，由线面垂直的定义可知C正确；D中，直线可能与面相交，也可能平行，还可能在面内，故D错，故选C．‎ ‎【考点】1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．‎ ‎8．若圆的圆心在第一象限，则直线一定不经过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】由圆心位置确定，的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为圆的圆心坐标为，由圆心在第一象限可得，所以直线的斜率，轴上的截距为，所以直线不过第一象限.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一次函数的图像，属于基础题型.‎ ‎9．在空间四边形中， ， ，，分别是， 的中点 ，，则异面直线与所成角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 设的中点为，连接，‎ 所以，‎ 则是所成的角或其补角，‎ 又 根据余弦定理得：，‎ 所以，‎ 异面直线与所成角的为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.‎ ‎10．已知函数和的定义域都是，则它们的图像围成的区域面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得，所以的图像是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分；再结合图形求解.‎ ‎【详解】‎ 由可得 ，‎ 作出两个函数的图像如下：‎ 则区域①的面积等于区域②的面积，‎ 所以他们的图像围成的区域面积为半圆的面积，‎ 即.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图形的性质，关键在于的识别.‎ ‎11．在中，已知， .若最长边为，则最短边长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，为最长边，为最短边，由正弦定理：，解得.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎12．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由利用余弦定理，可得，利用正弦定理边化角，消去C，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界性，可得 ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 因为三角形是锐角三角形，所以，所以，‎ 所以或，‎ 所以或（不合题意），‎ 因为三角形是锐角三角形，所以，‎ 所以，则，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 这是一道解三角形的有关问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，诱导公式，正弦函数在某个区间上的值域问题，根据题中的条件，求角A的范围是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.‎ ‎【详解】‎ 直线即，‎ 圆的圆心为，半径为，‎ 若直线与圆有交点，则，‎ 解得或,‎ 故实数的取值范围是 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.‎ ‎14．某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表： ‎ 广告费用（万元）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 销售利润（万元）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为___．（其中：）‎ ‎【答案】12.2‎ ‎【解析】先求出，的平均数，再由题中所给公式计算出和，进而得出线性回归方程，将代入，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题中数据可得：，，‎ 所以，‎ 所以，故回归直线方程为，‎ 所以当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程，需要考生掌握住最小二乘法求与，属于基础题型.‎ ‎15．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.‎ ‎【详解】‎ 设，由动点满足（其中和是正常数，且），‎ 所以，‎ 化简得，‎ 即，‎ 所以该圆半径 ‎ 故该圆的半径为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.‎ ‎16．如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面 ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设， 则当时，函数的值域__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知条件，所得截面可能是三角形，也可能是六边形，分别求出三角形与六边形周长的取值情况，即可得到函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 如图：‎ ‎∵正方体的棱长为，‎ ‎∴正方体的对角线长为6，‎ ‎∵ ‎ ‎（i）当或时，三角形的周长最小.‎ 设截面正三角形的边长为，由等体积法得：‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎（ii）或时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为，‎ ‎∴‎ ‎（iii）当时，截面六边形的周长都为 ‎∴‎ ‎∴当时，函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出与截面边长的关系.‎ 三、解答题 ‎17．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？‎ ‎（2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率.‎ ‎【答案】（1）分别抽取人，人，人；（2）‎ ‎【解析】（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为，‎ 因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽 取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: .‎ 所以应从第，，组中分别抽取人，人，人. ‎ ‎（2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件.‎ 记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则 从名志愿者中抽取名志愿者有:‎ ‎，，，，，，，，，，‎ ‎，，，，，共有种. ‎ 其中第组的志愿者被抽中的有种，‎ ‎ ‎ 答：第组的志愿者有被抽中的概率为 ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点， 已知，，，求：‎ ‎（1）直线与平面所成角的正切值； ‎ ‎（2）三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）要求直线与平面所成角的正切值，先要找到直线在平面上的射影，即在直线上找一点作平面的垂线，结合已知与图形，转化为证明平面再求解；（2）三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高，此题以为底，与的中点的连线为高计算更为快速，从而转化为证明平面再求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）平面，平面 ‎ 又，，平面，平面 所以平面，所以为直线与平面所成角。‎ 易证是一个直角三角形，‎ 所以.‎ ‎（2）如图，设的中点为，则，‎ 平面，平面 , 又，‎ ‎，, 又，，，‎ 所以平面， 所以为三棱锥的高.‎ 因此可求 ‎【点睛】‎ 本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影，一般转化为直线与平面的垂直；三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.‎ ‎19．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为， 边上 的高，所在直线方程为.‎ ‎（1）求顶点 的坐标；‎ ‎（2）求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据边上的高所在直线方程求出的斜率，由点斜式可得的方程，与所在直线方程联立即可得结果；（2）设 则， 代入中，可求得点坐标，利用两点式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由边上的高所在直线方程为得， ‎ 所以直线AB所在的直线方程为，即 ‎ 联立 解得 ‎ 所以顶点的坐标为（4,3）‎ ‎（2）因为在直线上，所以设 ‎ 则， ‎ 代入中，得 ‎ 所以 ‎ 则直线的方程为，即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.‎ ‎20．如图，直三棱柱中，点是棱的中点，点在棱上，已知，，‎ ‎（1）若点在棱上，且，求证：平面平面；‎ ‎（2）棱上是否存在一点，使得平面证 明你的结论。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）通过证明，进而证明平面再证明平面平面；（2）取棱的中点，连接交于，结合三角形重心的性质证明，从而证明平面.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在直三棱柱中，由于平面，平面，‎ 所以平面平面．（或者得出 ）‎ 由于，是中点，所以．平面平面，‎ 平面 ，所以平面．而平面，于是． ‎ 因为，，所以，所以．‎ 与相交，所以平面,平面 所以平面平面 ‎（2） 为棱的中点时，使得平面 ，‎ 证明：连接交于，连接．‎ 因为，为中线，所以为的重心，．从而． ‎ 面，平面，所以平面 ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明. 面面垂直的证明要转化为证明线面垂直，线面平行的证明要转化为证明线线 平行.‎ ‎21．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路。‎ ‎（1）已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟，若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长（精确到米） ‎ ‎（2）若该扇形的半径为，已知某老人散步，从沿走到，再从沿走到，试确定的位置，使老人散步路线最长。‎ ‎【答案】（1）445米；（2）在弧的中点处 ‎【解析】（1）假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解；（2）设设，在中根据正弦定理，用和表示和，进而利用和差公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）方法一：设该扇形的半径为米，连接. 由题意，‎ 得(米)，（米），‎ 在中，‎ 即，‎ 解得（米)‎ 方法二：连接，作，交于，由题意，得（米），‎ ‎（米）， ，在中，‎ ‎.‎ ‎（米）. .‎ 在直角 中，（米），‎ ‎（米）.‎ ‎（2）连接，设，‎ 在中，由正弦定理得：，‎ 于是， 则 ‎ ‎ ，‎ 所以当时，最大为 ，此时在弧的中点处。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，余弦定理的实际应用，结合了三角函数的化简与求三角函数的最值.‎ ‎22．已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或（3）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：(1)借助题设条件直接求解；(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解；(3)借助题设建立关于 的不等式,运用分析推证的方法进行求解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）的面积为2；‎ ‎（2）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，‎ 所以外接圆圆心，半径，圆的方程为，‎ 设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.‎ 当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；‎ 当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，‎ 综上，直线的方程为或.‎ ‎（3）直线的方程为，设，，‎ 因为点是线段的中点，所以，又，都在半径为的圆上，所以 因为关于，的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以，‎ 又，所以对成立.‎ 而在上的值域为，所以且.‎ 又线段与圆无公共点，所以对成立，即.‎ 故圆的半径的取值范围为.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．‎