高中数学高考模拟训练系列试题8

高中数学高考模拟训练系列试题8

高中数学高考模拟训练系列试题（8）‎ 理科数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，保有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上.‎ ‎1.设集合P={x|sinx=1,x∈R},Q={x|cosx=-1,x∈R},S={x|sinx+cosx=0,x∈R},则 ‎ A.P∩Q=S B.P∪Q=S C.P∪Q∪S=R D. (P∪Q)S ‎2.方程所表示的曲线的对称性是 A.关于原点对称 B.关于两坐标轴对称 C.关于直线y=x D.关于直线y=-x对称 ‎3.若复数z满足对应关系f(1-z)=2z-i，则(1+i)·f(1-i)=‎ ‎ A.1+I B.-1+i C.2 D.0‎ ‎4.数列{}中，若(n≥2, n∈N)，则的值为 A.-1 B. C.1 D.2‎ ‎5.已知两圆⊙和都经 ‎ A.2x-y+2=0 B.x-2y-2=0‎ ‎ C.x-2y+2=0 D.2x+y-2=0‎ ‎6.若关于x的方程4cos x-cosx+m-3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是 ‎ A.［-1，+］ B.［-1,8］ C. ［0,5］ D. ［0,8］‎ ‎7.已知正方体ABCD-的棱长为1，对于下列结论：‎ ‎①BD⊥平面ADC；②AC和AD所成角为45°；③点A 与点C在该正方体外接球表面上的球面距离为.其中正确结论的个数是 ‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎8.若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1)，则函数g(x)=f(logx)(00)与函数y=2sin(x-)的图象(如图所示)有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标分别为α、β，且β<α，则下列结论中正确的是 ‎ A.tan(α-)=β B.tan(β-)=α ‎ C.tan(α-)=α D.tan(β-)=β ‎12.已知点、为双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d,若|P|、|P|、d依次成等差数列，则此双曲线离心率取值范围是 ‎ A. B. (1，］‎ ‎ C.［2+，+) D.［2-,2+］‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)‎ 把答案填在题中横线上.‎ ‎13.已知，则实数m的值为___________.‎ ‎14.作为首批“中国最佳旅游城市”的成都，市民们喜欢节假日到近效休闲和旅游.去年，相关部们对成东“五朵金花”之一的某景区在“五一”‎ 黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分如下表所示：‎ 时间 ‎5月1日 ‎5月2日 ‎5月3日 ‎5月4日 ‎5月5日 ‎5月6日 ‎5月7日 频率 ‎0.05‎ ‎0.08‎ ‎0.09‎ ‎0.13‎ ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ 已知‎5月1日这天景区的营业额约8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为_____________万元.‎ ‎15.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量.在平面直角坐标中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(2,1)且法向量为n=(-1，2)的直线(点法式)方程为-(x-2)‎ ‎+2(y-1)=0，化简后得x-2xy=0.类比以上求法，在空间直角坐标系中，经过点A(2,1，3)，且法向量为n=(-1，2,1)的平面(点法式)方程为__________________ (请写出化简后的结果).‎ ‎16.定义在R上的函数f(x)满足f(x+)+ f(x)=0，且函数f(x+)为奇函数，给出下列结论：①函数f(x)的最小正周期是；②函数f(x)的图象关于点(，0)对称；③函数f(x)的图象关于直线x=对称；④函数f(x)的最大值为f().‎ 其中正确结论的序号是_________________________.(写出所有你认为正确的结论的符号)‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共74分)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在锐角三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanB.‎ ‎(Ⅰ)若求A、B、C的大小；‎ ‎ (Ⅱ)已知向量，求|‎3m-2n|的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC⊥底面ABC， ‎ ‎∠AAC=60°.‎ ‎(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的大小；‎ ‎(Ⅱ)已知点D满足，在直线AA上是否存在点P，使DP∥平面ABC？‎ 若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q.若第k次出现“○”，则a=1；出现“×”，则a=-1.令S=a+a+…+a.‎ ‎(Ⅰ)当p=q=时，记ξ=|S|，求ξ的分布列及数学期望；‎ ‎(Ⅱ)当p=，q=时，求S=2且S≥0(i=1,2，3,4)的概率.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知数列{ a}的前n项和为S，a=1，S=2S+3n+1(n∈N*).‎ ‎(Ⅰ)证明：数列{ a+3}是等比数列；‎ ‎(Ⅱ)对k∈N*，设f(n)=求使不等式f(m)>f(‎2m)成立的自然数m的最小值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=(m∈R，e=2.718 28…是自然数对数的底数).‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的极值；‎ ‎(Ⅱ)当x>0时，设f(x)的反函数为f(x)，对00)与函数y=2sin(x-)的图象相切，y′=2cos(x-),所以切线方程为y=2xcos (α-).∴tan(α-)=α.‎ ‎12.A.设P(x0,y0)，则x0≥a.∵2|PF2|=d+|PF1|,|PF1|-|PF2|=‎2a,∴|PF2|=d+‎2a，故ex0-a=x0-.‎ 二、填空题：(每小题4分，共16分)‎ ‎13.0或2.m的可能取值为0、1、2，仅当m=0或2时，‎ ‎14. 48 .步率0.3是0.05的6倍，所以游客人数最多的那一天(‎5月5日)的营业额约为48万元.‎ ‎15.x-2y-z+3=0 .设平面内任意一点坐标为P(x,y,z)，则由可得.‎ ‎16.②③.∵f(x)=-f(x+),∴f(x+),∴f(x+)=-f(x+5),即f(x)=f(x+5),‎ ‎∴T=5,又f(-x+)=-f(x+),即-f(x)=f(2×-x),f(x)的图象关于点(，0)对称，由f(x)=-f(-x)=- f-(+x),∴f(x)的图象关于直线x=对称，但不一定在x=时取得最大值.‎ 三、解答题：(共74分)‎ ‎17.解：∵，又△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴.‎ ‎∵0=‎ 而侧棱AA1与平面AB‎1C所成角，即是向量与平面AB‎1C的法向量所成锐角的余角，‎ ‎∴侧棱AA1与平面AB‎1C所成角的大小为arcsin ‎(Ⅱ)∵而 ‎∴‎ 又∵B(，0，0)，∴点D的坐标为D(-，0，0).‎ 假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，y，z).‎ ‎∴‎ ‎∵DP∥平面AB‎1C， =(-1，0，1)为平面AB‎1C的法向量，‎ ‎∴由，得 又DP平面AB‎1C，‎ 故存在点P，使DP∥平面AB‎1C，其从标为(0，0，)，即恰好为A1点.‎ ‎19.解(Ⅰ)∵ξ=|S3|的取值为1、3，又p=q=‎ ‎∴P(ξ=1)=C ‎∴ξ的分布列为ξ 1 3 P ‎ ‎∴Eξ=1×+3×=.‎ ‎(Ⅱ)当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知Si≥0(I=1,2,3,4),‎ 若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；‎ 若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.‎ 故此时的概率为P=(或).‎ ‎20.解：(Ⅰ)∵a1=1,Sn+1=2Sn+3n+1,‎ ‎∴S2=2S1+4=a1+a2.∴a2=5.‎ 又当n≥2时，Sn=2Sn-1+3(n-1)+1,‎ ‎∴Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+3，即得an+1=2an+3.‎ 可变形为an+1+3=2(an+3),∴‎ 而 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)，知an+3=4·2n-1.‎ ‎∴an=2n+1-3,Sn=‎ ‎∴f(n)=.‎ ‎(1)当m为偶数时，∵f(m)>m+1,f(‎2m2‎)=‎2m2‎+1,‎ ‎∴不存在自然数m，使f(m)>f(‎2m2‎)恒成立.‎ ‎(2)当m为奇数时，f(m)=‎2m+1-1,f(‎2m2‎)=‎2m2‎+1,而f(m)>f(‎2m2‎),‎ 当m=1时，f(m)=21+1-1=3=f(‎2m2‎)=3；‎ 当m=3时，f(m)=23+1-1=15f(‎2m2‎)=51；‎ 又当m≥5时，f(m)=‎2m+1-1=2·‎2m-1=2(1+C)-1‎ ‎ ≥‎2m2‎+‎2m+3>‎2m2‎+1=f(‎2m2‎).‎ 即当≥5且为奇数时，f(m)为奇数时，f(m)>f(‎2m2‎)成立，此时m的最小值为5.‎ ‎(也可用数学归纳法证蜎上述结果)‎ 综上可知，使f(m)>f(‎2m2‎)成立的自然数m的最小值为5.‎ ‎21.解：(Ⅰ)∵当x>0时，f(x)=ex-1在(0，+∞)上单调增，且f(x)=ex-1>0；‎ 当x≤0时，f(x)=，此时f′(x)=x2+2mx=x(x+‎2m).‎ ‎(1)若m=0时，f′(x)=x2≥0，则f(x)=在(-∞，0)上单调递增，且f(x)=ex-1>0；‎ 又f(0)=0，可知函数f(x)在R上单调递增，无极值.‎ ‎(2)若m<0，令f′(x)=x(x+‎2m)>0x<0或x>‎-2m(舍去).‎ 函数f(x)=在(-∞，‎-2m)上单调递增，‎ 同理，函数f(x)在R上单调递 增，无极值；‎ ‎(3)若m>0，令f′(x)=x(x+‎2m)>0或x<‎-2m.‎ 函数f(x)=在(-∞，‎-2m)上单调递增，在(-‎2m,0)上单调递减.‎ 此时函数f(x)在x=-‎2m处取得极大值：f(-‎2m)=；‎ 又f(x)在(0，+∞)上单谳递增，故在x=0处取得极小值；f(0)=0.‎ 综上可知，当m>0进，f(x)的极大值为极小值为0；当m≤0时，f(x)无极值.‎ ‎(Ⅱ)当x>0时，设y=f(x)=ex-1.‎ ‎∴f -1(x)=ln(x+1)(x>0).‎ ‎(1)比较f(q-p)与f-1(q-p)的大小.‎ 记g(x)=f(x)-f-1(x)=ex-ln(x+1)-1(x>0).‎ ‎∵g′(x)=ex-在(0，+∞)上是单调递增函数 ‎∴g′(x)>g′(0)=e0-恒成立.‎ ‎∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增.‎ ‎∴g(x)>g(0)=e0-ln(0+1)-1=0.‎ 当00，‎ ‎∴g(q-p)=eq-p-ln(q-p+1)-1>0‎ ‎(2)比较f (q-p)与f (q)- f (p)的大小.‎ ln(q-q+1)-［ln(q+1)-ln(p+1)］=ln(q-p+1)-ln(q+1)+ln(p+1)‎ ‎=lnln ‎=ln=ln=ln［］.‎ ‎∵00.‎ 即f (q-p)> f (q)- f (p).……②‎ ‎(注：也可用分析法或考察函数h(x)=ln(x-p+1)-ln(x+1)+ln(p+1)，x∈(p，+∞).求导可知h(x)在(p，+∞)上单调递增，∴h(x)>h(p)恒成立.而h(p)=0，∴h(x)>0在x∈(p，+∞)上恒成立.∵q∈(p,+ ∞)，∴h(q)>0恒成立.)‎ ‎∴由①②可知，当0 f (q-p)> f (q)- f (p). ……3分 ‎22.解：抛物线中，∵导数y′=-，‎ ‎∴直线l的斜率为y′|=2.‎ 故直线l的方程为y=2x+4。‎ ‎∴点F、E的坐标分别为F(-2，0)、E(0，4). ……1分 ‎(Ⅰ)∵直线l的方程是y=4，‎ ‎∴以l为一条准线，中心在坐标原点的椭圆方程可设为.‎ 则.‎ 由.‎ ‎∵直线l与椭圆相切，∴△=16.‎ 而，，解得.‎ ‎∴所求椭圆方程为. ……3分 此时，，即切点T的坐标为T(-).……1分 ‎(Ⅱ)设l与双曲线6x-λy=8的两个交点为M()、N()，显然.‎ ‎∵点A为线段MN的中点，∴.‎ 由.‎ 而.‎ ‎∴双曲线的方程为6，即. ……1分 ‎∵在x轴正方向上的投影为P,‎ ‎∴. ……1分 ‎∴.‎ 而∴.‎ 由.‎ ‎∵P、Q两点分别在双曲线的两支上，∴6-3k≠0.‎ ‎∴‎ ‎∴-‎ 此时.‎ ‎∴‎ ‎= ……4分 ‎=‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 又-，∴即 ……1分 而切点T到直线PQ的距离为 设 则 令.‎ ‎∴上单调递增，在［-］上单调递减.‎ 又 ‎∴，即切点T到直线PQ的距离的最小值为2-. ……2分