历年中考数学题型归类成功集团

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‎2000－2009年上海市 初中升学考试与学业考试数学试题分类汇编 ‎（按大知识块分类）‎ 一、数与式 ‎15、下列运算中，计算结果正确的是…………………………………………（ ）‎ ‎ （A）a4·a3＝a7； （B）a6÷a3＝a2； （C）（a3）2＝a5； （D）a3·b3＝（a·b）3 ．‎ ‎ （2004年上海市中考试题）A、D．‎ ‎1、下列运算中，计算结果正确的是………………………………………………（ ）‎ ‎（A）x·x3＝2x3； （B）x3÷x＝x2； （C）（x3）2＝x5； （D）x3＋x3＝2x6．B．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎1、计算2a·3a的结果是……………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）5a； （B）6a； （C）5a2； （D）6a2． D．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎1、计算：（x2）2＝ ． （2005年上海市学业试题）x4 ．‎ ‎1、计算（a3）2的结果是……………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）a5； （B）a6； （C）a8； （D）a9． B．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎1、计算：（a－2b）（a＋2b）＝ ． （2004年上海市中考试题）‎ a2－4b2 ．‎ ‎15、下列计算中，正确的是………………………………………………………（ ）‎ ‎（A） a3•a2＝a6； （B）（a＋b）（a－b）＝a2－b2；‎ ‎（C）（a＋b）2＝a2＋b2； （D）（a＋b）（a－2b）＝a2－ab－2b2 ．‎ ‎（2001年上海市中考试题） BD．‎ ‎3、中国的国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法可表示为 平方米． （2000市上海市中考试题） 9.6×106 ．‎ ‎3、在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威‎1”‎的计算机运算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒 次． ‎ ‎（2002年上海市中考试题）3.84×1011 ．‎ ‎7、上海浦东磁悬浮铁路全长30千米，单程运行时间约8分钟，那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约 米∕分钟． （2003年上海市中考试题）3.75×103 ．‎ ‎2、新建的北京奥运会体育场——“鸟巢”能容纳91 000位观众，将91 000用科学记数法表示为…………………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）91×103； （B）910×102； （C）9.1×103； （D）9.1×104．D．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎2、分解因式：a2－‎2a＝ ． （2005年上海市学业试题） a（a－2）．‎ ‎4、分解因式：x2＋xy＝ ．x（x＋y）．（2006年上海市学业试题）‎ ‎2、分解因式：‎2a2－2ab＝ ．（2007年上海市学业考试试题）‎2a（a－b）．‎ ‎8、分解因式：x2－4＝ ． （x＋2）（x－2）．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎6、分解因式：x2－y2－x＋y＝ ． （2000市上海市中考试题）‎ ‎（x－y）（x＋y－1）．‎ ‎4、分解因式：a2－b2－‎2a＋1＝ ．‎ ‎（2003年上海市中考试题）（a－b－1）（a＋b－1）． ‎ ‎8、分解因式xy－x－y＋1＝ ． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎（x－1）（y－1）．‎ ‎16、下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是……………………………（ ）‎ ‎（A）x2＋4； （B） x2－2； （C）x2－x－1； （D）x2＋x＋1. ‎ ‎（2001年上海市中考试题） BC．‎ ‎2、如果分式的值为零，那么x＝ ．（2001年上海市中考试题）－2．‎ ‎3、化简：－＝ ．（2007年上海市学业考试试题）．‎ ‎21、计算：＋－． （2000市上海市中考试题）‎ ‎．‎ ‎1、计算：＝ ． （2002年上海市中考试题）4．‎ ‎2、如果分式无意义，那么x＝ ． （2002年上海市中考试题）2．‎ ‎2、计算：＋＝ ． ． （2006年上海市学业试题）‎ ‎19、计算：·－． （2002年上海市中考试题）‎ ‎1．‎ ‎19、计算：÷（a＋1）－．（2009年上海市中考试题）‎ 解：原式＝·－…………………………………………7分 ‎ ‎＝－ ……………………………………………………………………1分 ‎＝………………………………………………………………………………1分 ‎＝－1．………………………………………………………………………………1分 注意：第一步的7分是这样分配的：因式分解，每个2分；除法变乘法，1分.‎ 考点：因式分解、分式的四则运算.‎ ‎1、计算：＝ ． 2． （2006年上海市学业试题）‎ ‎1、8的平方根是 ． （2003年上海市中考试题）±2．‎ ‎15、在下列实数中，是无理数的为……………………………………………（ ）‎ ‎（A）0； （B）－3.5； （C）； （D）．C．‎ ‎ （2005年上海市学业试题）‎ ‎15、下列命题中，正确的是………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）有限小数是有理数； （B）无限小数是无理数；‎ ‎（C）数轴上的点与有理数一一对应； （D）数轴上的点与实数一一对应．‎ ‎（2003年上海市中考试题）AD ‎15、在下列各数中，是无理数的是………………………………………………（ ）‎ ‎（A）π； （B） ； （C）； （D）．‎ ‎（2002年上海市中考试题）AD．‎ ‎1、计算：（）2＝ ．（2007年上海市学业考试试题）3．‎ ‎19、计算：（）2+（－）－12•（－1）． （2001年上海市中考试题）‎ 解：－．‎ ‎2、在、、、中，是最简二次根式的是 ．‎ ‎（2003年上海市中考试题）．‎ ‎16、在下列各组根式中，是同类二次根式的是…………………………………（ ）‎ ‎（A）和； （B）和； （C）和；（D）和．‎ ‎（2002年上海市中考试题）BC．‎ ‎13、在下列二次根式中，与是同类二次根式的是…………………………（ C ）‎ ‎（A）； （B）； （C）； （D）．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎（图一）‎ ‎12、如图一，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别 为4和2，那么阴影部分的面积为 ．‎ ‎（2003年上海市中考试题）2－2．‎ ‎1、计算：•＝ ． （2001年上海市中考试题）6 ．‎ ‎3、计算：（＋1）（－1）＝ ． （2005年上海市学业试题）1 ．‎ ‎1、计算（－1）0 ＝ ． （2000市上海市中考试题） 1．‎ ‎2、当x＜0时, ＝ ． （2000市上海市中考试题） －x．‎ ‎17、－1的一个有理化因式是……………………………………………（ ）‎ ‎ （A）； （B）1－； （C）1＋； （D）－1 ．‎ ‎（2000市上海市中考试题） ‎ C．‎ ‎7、分母有理化：＝ ．（2009年上海市中考试题）．‎ ‎9、化简：＝ ．2＋． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎19、化简：＋－4． （2004年上海市中考试题）‎ 解：原式＝3＋（—1）2－……………………………（1分）（2分）（1分）‎ ‎＝3＋3－2－……………………………………………………………（2分）‎ ‎＝3．……………………………………………………………………………………（1分）‎ ‎19、计算：＋（－）＋． （2008年上海市学业试题）‎ 解：原式＝＋1＋3－3＋2………………………………………………（8分）‎ ‎ ＝4．……………………………………………………………………（2分）‎ ‎17、先化简，再求值：（1＋）÷，其中x＝．‎ ‎（2006年上海市学业试题）‎ 解：原式＝÷……………………………………………………………（2分）‎ ‎＝÷……………………………………………………（2分）‎ ‎＝·……………………………………………………（1分）‎ ‎＝，……………………………………………………………………（2分）‎ 当x＝时，原式＝＝＋1．…………………………………………（2分）‎ ‎19、先化简，再求值：÷（－），其中a＝＋1，b＝－1．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ 解：原式＝÷（－）…………………………………………（3分）‎ ‎＝………………………………………………………（2分）‎ ‎＝，………………………………………………………………（2分）‎ 当其中a＝＋1，b＝－1时，原式＝＝．………………………（3分）‎ 二、一元一次方程与不等式 ‎2、如果x＝2是方程x＋a＝－1的根，那么a的值是…………………………（ ）‎ ‎（A）0； （B）2； （C）－2； （D）－6． C．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎3、不等式x—6＞0的解集是 ．x＞6．（2006年上海市学业试题）‎ ‎7、不等式x－3＜0的解集是 ． x＜3．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎3、不等式7－2x＞1的正整数解是 ．（2001年上海市中考试题）1，2．‎ ‎7、不等式2－3x＞0的解集是 ．x＜．（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎＞－2‎ ‎≥4x ‎5、不等式组 的解集是 ．（2000市上海市中考试题） ‎ ‎－2＜x≤3．‎ ‎＞5（x－1）‎ ‎≥‎ ‎20、解不等式组： （2002年上海市中考试题）‎ ‎≤x＜3．‎ ‎＞5－x，‎ ‎＜x，‎ ‎19、（本题满分8分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎ （2005年上海市学业试题）‎ 解：由3x＋1＞5－x，得x＞1 ．………………………………………………（2分）‎ 由2（x＋1）－6＜x，得x＜4 ．……………………………………………………（2分）‎ ‎∴不等式组的解集为1＜x＜4 ．……………………………………………………（2分）‎ 解集在数轴上表示正确． ……………………………………………………………（2分）‎ ‎17、解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎–4‎ ‎–3‎ ‎–2‎ ‎–1‎ ‎–5‎ 解：由3－x＞0，解得x＜3．………………………………………………………（3分）‎ 由＋＞－，解得x＞－1．…………………………………………………（3分）‎ ‎∴不等式组的解集是－1＜x＜3．……………………………………………………（1分）‎ 解集在数轴上表示正确．………………………………………………………………（2分）‎ ‎＞0‎ ‎＜1‎ ‎2、不等式组 的解集是…………………………………………………（ ）‎ ‎（A）x＞－1； （B）x＜3； （C）－1＜x＜3； （D）－3＜x＜1．C．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎16、已知0＜b＜a，那么下列不等式组中，无解的是…………………………（ ）‎ ‎（A）； （B）； （C）； （D）．‎ ‎（2003年上海市中考试题）AC ‎＜0‎ ‎＞0‎ ‎2、不等式组 的整数解是 ．（2004年上海市中考试题）‎ x＝0、l．‎ ‎21、2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元．五次药品降价的年份与相应降价金额如表二所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额．（2007年上海市学业考试试题）‎ ‎…………………………………………………………（2分）‎ ‎…………………………………………（2分）‎ 解：[解法一]设2003年和2007年的药品降价金额分别为x亿元、y亿元．……（1分）‎ 根据题意，得 ‎………………………………………………………（2分）‎ ‎………………………………………………………（2分）‎ 解方程组，得 答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元．……………（1分）‎ ‎[解法二]设2003年的药品降价金额为x亿元，……………………………………（1分）‎ 则2007年的药品降价金额为6x亿元．………………………………………………（2分）‎ 根据题意，得54＋x＋35＋40＋6x＝269．…………………………………………（2分）‎ 解方程，得x＝20，∴6x＝120．……………………………………………………（4分）‎ 答：2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元．……………（1分）‎ 三、一元二次方程 ‎8、已知一元二次方程有一根为1，那么这个方程可以是 （只需写出—‎ 个方程）． （2005年上海市学业试题） x2－x＝0等．‎ ‎19、已知x2－2x＝2，将下式先化简，再求值：‎ ‎（x－1）2＋（x＋3）（x－3）＋（x－3）（x－1）．‎ ‎（2003年上海市中考试题）‎ 解：原式＝x2－2x＋1＋x2－9＋x2－4x＋3 …………………………………………3分 ‎ ＝3x2－6x－5…………………………………………………………………1分 解法一：＝3（x2－2x）－5 …………………………………………………………2分 ‎ ∵x2－2x＝2，∴原式＝3×2－5＝1 ………………………………………1分 解法二：从x2－2x＝2中解得x＝1±，…………………………………………1分 分别代入，答案正确．…………………………………………………各得1分 ‎9、如果关于x的方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a＝ ．‎ ‎（2005年上海市学业试题）4 ．‎ ‎13、关于x的方程mx2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，那么m＝ ．‎ ‎4． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎9、如果关于x的方程x2－x＋k＝0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k＝ ． ． （2009年上海市中考试题）‎ ‎20、关于x的一元二次方程mx2－（‎3m－1）x＋‎2m－1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根． （2004年上海市中考试题）‎ 解：由题意得：m≠0 ．‎ ‎ 而且△＝[－（‎3m－1）]2－‎4m（‎2m－1）……………………………………………（1分）‎ ‎ ＝‎9m2‎－‎6m＋l－‎8m2‎＋‎‎4m ‎ ＝m2－‎2m＋1＝1，‎ ‎ ∴m2－‎2m＝0，…………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴m1＝0（舍去），m2＝2．……………………………………………………………（2分）‎ ‎ 将m＝2代人原方程得2x2－5x十3＝0，……………………………………………（1分）‎ ‎ 解得方程的根为x1＝，x2＝1．……………………………………………………（2分）‎ ‎6、若方程x2－2x－1＝0的两个实数根为x1、x2，则x1＋x2＝ ．2．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ ‎5、如果x1，x2是一元二次方程x2－6x－2＝0的两个实数根，那么x1＋x2的值是（ ）‎ ‎（A）－6； （B）－2； （C）6； （D）2． C．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎7、方程x2＋3x—4＝0的两个实数根为x1、x2，则x1·x2＝ ．‎ ‎—4． （2006年上海市学业试题）‎ ‎5、若一元二次方程4x2＋x＝1的两个根分别为x1、x2，则下列结论中，正确的是…………………………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）x1＋x2＝－，x1·x2＝－；（B）x1＋x2＝－，x1·x2＝－1；‎ ‎（C）x1＋x2＝，x1·x2＝； （d）x1＋x2＝，x1·x2＝1． A．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎7、如果x1、x2是方程x2－3x＋1＝0的两个根，那么代数式（x1＋1）（x2＋1）的值是____________． （2001年上海市中考试题）5 ．‎ ‎26、已知关于x的一元二次方程mx2－（‎2m－1）x＋m－2＝0（m＞0）．‎ ‎（1）求证:这个方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2且（x1－3）（x2－3）＝‎5m，求m之值．‎ ‎（2000市上海市中考试题） ‎ ‎ 解：（1）证明：△＝‎4m＋1 ．因为m＞0，所以‎4m＋1＞0，所以方程必有两个不相的实数根；‎ ‎（2）m＝1．‎ ‎9、某公司今年5月份的纯利润是a万元，如果每个月份纯利润的增长率都是x，那么预计7月份的纯利润将达到 万元（用代数式表示）．‎ ‎（2003年上海市中考试题）a（1＋x）2．‎ ‎25、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同．问：2001年预计经营总收入为多少万元？‎ ‎（2001年上海市中考试题）‎ 解：600÷40%＝1500，1500（1＋x）2＝2160，∴x＝1800万元．‎ ‎14、某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ‎，那么该商品现在的价格是 元（结果用含m的代数式表示）．100（1－m）2．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎20、（本题满分8分）解方程：＋＝．（2005年上海市学业试题）‎ 解：去分母，得x（x－2）＋（x＋2）＝8．………………………………………（2分）‎ x2－2x＋x2＋4x＋4＝8．………………………………………………………………（2分）‎ 整理，得x2＋x－2＝0．………………………………………………………………（1分）‎ 得x1＝－2，x2＝1．……………………………………………………………………（2分）‎ 经检验，x1＝1为原方程的根，x2＝－2是增根．∴原方程的根是x＝1 ．………（1分） ‎ ‎18、解方程：＋＝0． （2007年上海市学业考试试题）‎ 解：去分母，得x2－3x＋（2x－1）（x＋1）＝0，…………………………………（3分）‎ 整理，得3x2－2x－1＝0，……………………………………………………………（2分）‎ 解方程，得x1＝1，x2＝－．………………………………………………………（2分）‎ 经检验，x1＝1，是增根，x2＝－是原方程的根．∴原方程的根是x2＝－…（2分）‎ ‎20、解方程：＋＝． （2008年上海市学业试题）‎ 解：去分母，得：6x＋5（x＋1）＝（x＋4）（x－1）．……………………………（3分）‎ 整理得：x2－8x－9＝0，……………………………………………………………（2分）‎ ‎∴x1＝－1，x2＝9．…………………………………………………………………（4分）‎ 经检验：x1＝－1是增根，x2＝9是原方程得根．…………………………………（1分）‎ ‎5、用换元法解方程x2＋＋x＋＝4，可设y＝x＋，则原方程化为关于y的整式方程是 ． （2004年上海市中考试题）y2＋y—6＝0．‎ ‎8、用换元法解方程＋＝2时，如果设y＝，那么原方程可化为 ． （2006年上海市学业试题）‎ 解：y2－2y＋1＝0（或y＋＝2）．‎ ‎9、用换元法解分式方程－＝2时，如果设＝y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是 ． y2－2y－1＝0．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎7、在方程x2＋＝3x－4中，如果设y＝x2－3x，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． （2002年上海市中考试题）y2＋4y＋1＝0 ．‎ ‎18、如果用换元法解方程－＋2＝0，并设y＝，那么原方程可化为………………………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）y2－3y＋2＝0；（B）y2＋3y－2＝0；（C）y2－2y＋3＝0；（D）y2＋2y－3＝0 ．‎ ‎ （2000市上海市中考试题） D．‎ ‎3、用换元法解分式方程－＋1＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是…………………………………………………（ ）‎ ‎（A）y2＋y－3＝0； （B）y2－3y＋1＝0；（C）3y2－y＋1＝0；（D）3y2－y－1＝0．A．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎20、解方程：． （2001年上海市中考试题）‎ 解：x1＝－9，x2＝3．‎ ‎20、解方程：－＝． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ 解：[方法一]y＝，……………………………………………………………（2分）‎ 则原方程化为y＋＝， 整理得2y2－5y＋2＝0，……………………………（2分）‎ ‎∴y1＝，y2＝2；……………………………………………………………………（2分）‎ 当y＝时，＝，得x1＝2，………………………………………………（1分）‎ 当y＝2时，＝2，得x2＝－1，………………………………………………（1分）‎ 经检验x1＝2，x2＝－1是原方程的根；……………………………………………（2分）‎ ‎[方法二]去分母得：2（x－1）2＋2x2＝5x（x－1），………………………………（3分）‎ 整理得x2－x－2＝0，…………………………………………………………………（2分）‎ 解得x1＝2，x2＝－1，…………………………………………………………………（3分）‎ 经检验x1＝2，x2＝－1是原方程的根．……………………………………………（2分）‎ ‎25、为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为‎2240米的河堤进行加固．由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了‎20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天．为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固‎224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？‎ ‎（2004年上海市中考试题）‎ 解：设现在计划每天加固河堤x米，…………………………………………………（1分）‎ ‎ 则原来计划每天加固河堤（x—20）米，‎ ‎ 根据题意得：－＝2，…………………………………………………（4分）‎ ‎ 整理得，x2－20x－22400＝0，………………………………………………………（2分）‎ ‎ 解得x1＝160，x2＝－140（不合题意，舍去），……………………………………（1分）‎ ‎ 经检验：x＝160是原方程的根．……………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴224－160＝64（米）．‎ 答：在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加‎64米．…………………（1分）‎ ‎6、方程＝1的根是 ． 1 ． （2006年上海市学业试题）‎ ‎10、方程＝3的根是 ．x＝5．（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎7．方程＝2的根是 ．x＝－3． （2007年上海市学业考试试题）‎ ‎10、方程＝2的根是 ． x＝－1．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎8、方程＝1的解是 ．（2009年上海市中考试题）x＝2．‎ ‎22、解方程：3－＝x． （2000年上海市中考试题）‎ 解：:x＝2 ．‎ ‎8、方程＝－x的解是 ．（2001年上海市中考试题）x＝－1．‎ ‎4、方程＝x的根是 ． （2002年上海市中考试题）x＝1．‎ ‎6、方程2＋＝－x的根是 ．（2003年上海市中考试题）x＝－2． ‎ ‎4、方程＝x—1的根是 ． （2004年上海市中考试题）‎ x＝3．‎ ‎13、在下列方程中，有实数根的是…………………………………………………（ A ）‎ ‎（A）x2＋3x＋1＝0； （B）＝－1；‎ ‎（C）x2＋2x＋3＝0； （D）＝．（2006年上海市学业试题）‎ ‎18、（本小题满分9分）解方程组： （2006年上海市学业试题）‎ 解：消去y得x2＋x－2＝0，…………………………………………………………（3分）‎ ‎ 得x1＝－2，x2＝1，……………………………………………………………………（3分）‎ 由x1＝－2，得y1＝－5，……………………………………………………………（1分）‎ 由x2＝1，得y2＝－2，………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴原方程组的解为……………………………………………（1分）‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎20、解方程组： （2003年上海市中考试题）‎ 解：由（1）得（2x＋y）（2x－y）＝0，∴2x＋y＝0，2x－y＝0 ．…………1分，1分 它与方程（2）分别组成两个方程组：‎ ‎（﹡）…………………………………………………………………1分 ‎（﹡﹡）………………………………………………………………1分 分别解这两个方程组，可知方程组（﹡）无解．………………………………………1分 方程组（﹡﹡）的解是：‎ ‎ ……………………………………………………………1分，1分 ‎∴原方程组的解为 ‎ ‎20、解方程组： （2009年上海市中考试题）‎ 解：由方程①得：y＝x＋1，③ …………………………………………………………1分 将③代入②，得2x2－x（x＋1）－2＝0，………………………………………………1分 整理，得x2－x－2＝0， …………………………………………………………………2分 解得x1＝2，x2＝－1，……………………………………………………………………3分 分别将x1＝2，x2＝－1代入③，得y1＝3，y2＝0，……………………………………2分 所以，原方程组的解为 ……………………………………………1分 四、一次函数 ‎15、已知数3、6‎ ‎，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项．这个数是 （只需填写一个数）． （2000市上海市中考试题）‎ ‎ 12或等．.‎ ‎7、已知a＜b＜0，则点A（ab，b）在第 象限．‎ ‎ （2004年上海市中考试题）三 ． ‎ ‎5、函数y＝的定义域是 ．x≠3 ．（2006年上海市学业试题）‎ ‎4、函数y＝的定义域是 ． （2005年上海市学业试题）x≥0 ．‎ ‎5、函数y＝的定义域是 ．（2007年上海市学业考试试题）x≥2．‎ ‎5、函数y＝的定义域是 ．（2001年上海市中考试题）x＞1 ．‎ ‎5、函数y＝的定义域是 ．（2003年上海市中考试题）x≤1且x≠0 ．‎ ‎3、函数y＝的定义域是 ． （2004年上海市中考试题）‎ x＞－1 ．‎ ‎11、函数y＝的定义域是 ． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ x≥0 且x≠1．‎ ‎5、如果函数f（x）＝x＋1，那么f（1）＝ ．‎ ‎（2005年上海市学业试题）2 ．‎ ‎ 10、已知函数f（x）＝，那么f（3）＝ ．－．（2009年上海市中考试题）‎ ‎3、已知函数f（x）＝，那么f（－1）＝ ．‎ ‎（2003年上海市中考试题）2＋．‎ ‎4、已知函数f（x）＝，则f（1）＝ ．（2007年上海市学业考试试题）‎ 解：1．‎ ‎11、已知函数f（x）＝，那么f（2）＝ ． ．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎8、已知函数f（x）＝，那么f（3）＝ ．‎ ‎（2000市上海市中考试题） ．‎ ‎4、点A（－3，4）和点B（3，4）关于 轴对称.．‎ ‎（2000市上海市中考试题） y．‎ ‎4、点A（1，3）关于原点的对称点坐标是 ．‎ ‎（2001年上海市中考试题）（－1，－3）．‎ ‎14、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（－1，6）．若点C与点A关于x轴对称，则点B与点C之间的距离为 ． 3．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎6、点A（2，4‎ ‎）在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 ．‎ ‎（2005年上海市学业试题）y＝2x．‎ ‎6、如果正比例函数的图象经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．‎ ‎（2001年上海市中考试题）y＝2x．‎ ‎6、如果f（x）＝kx，f（2）＝－4，那么k＝ ．‎ ‎（2002年上海市中考试题）－2．‎ ‎（图一）‎ x y O A ‎1‎ ‎3‎ ‎8、如图一，正比例函数图象经过点A，该函数解 析式是 ．（2007年上海市学业考试试题）‎ 解：y＝3x．‎ ‎（图一）‎ ‎100‎ 金额(单位:元)‎ 数量(单位:升)‎ ‎509‎ ‎0‎ ‎9、某型号汽油的数量与相应金额的关系如图一所 示，那么这种汽油的单价是每升 元．‎ ‎（2006年上海市学业试题）‎ 解：5.09．‎ ‎12、在平面直角坐标系中，如果双曲线y＝（k≠0）经过点（2，－1），那么k＝ ． －2． （2008年上海市学业试题）‎ ‎12、若反比例函数y＝（k＜0）的函数图像过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m n （选择填“＞” 、“＝”、“＜”）．‎ ‎＞． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎8、在平面直角坐标系内，从反比例函数y＝（k＞0）的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 ．‎ ‎（2003年上海市中考试题）y＝．‎ ‎18、在函数y＝（k＞0）的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3‎ ‎），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中，正确的是……………………………………（ A、C．）‎ ‎ （A）y1＜0＜y3； （B）y3＜0＜y1；‎ ‎ （C）y2＜y1＜y3； （D）y3＜y1＜y2 ．（2004年上海市中考试题）‎ ‎11、反比例函数y＝图象的两支分别在第 象限．（2009年上海市中考试题）‎ 一、三．‎ ‎3、在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1经过……………………………………（ ）‎ ‎（A）第一、二、三象限； （B）第一、二、四象限；‎ ‎（C）第一、三、四象限； （D）第二、三、四象限． A．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎7、如果直线y＝3x＋b在y轴上的截距为－2，那未这条直线一定不经过第 象限． （2000市上海市中考试题）二．‎ ‎14．如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（ B ）‎ ‎（A）k＞0，b＞0； （B）k＞0，b＜0； （C）k＜0，b＞0； （D）k＜0，b＜0．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ O A x y ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（图三）‎ ‎13、在图三中，将直线OA向上平移1个单位，‎ 得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析 式是 ． y＝2＋1．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎（图一）‎ O P x ‎1‎ ‎2‎ y ‎15、如图一，将直线OP向下平移3个单位，所得 直线的函数解析式为 ．y＝2x－3．‎ ‎ （2008年上海市学业考试模拟题）‎ A B x O y ‎（图一）‎ ‎23、已知一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0），‎ 如图，将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴 分别交于点C、点D，使DB＝DC．求：以直线CD为 图像的函数解析式． （2003年上海市中考试题）‎ 解：设以直线AB为图象的一次函数解析式为y＝kx＋b，‎ ‎∵直线AB经过点（0，4）、点（2，0），∴得方程组…………………1分 解得 ……………………………………………………………………………2分 ‎∴以直线AB为图象的一次函数解析式为y＝－2x＋4 ．‎ ‎∵CD∥AB，设以直线CD为图象的一次函数解析式为y＝－2x＋b′，……………2分 解法一：∵DB＝DC，DO⊥CB，∴OB＝OC， ………………………………………2分 ‎∴点C的坐标为（－2，0），得b′＝－4，……………………………………1分，1分 ‎∴以直线CD为图象的一次函数解析式为y＝－2x－4 ．……………………………1分 解法二：由题意，得点D的坐标为（0，b′），点C的坐标为（b′，0）．‎ ‎∵DB＝DC，∴＝．……………………………………2分 解得b′＝±4 ．…………………………………………………………………………1分 ‎∵点D′与点A不重合，∴b′＝4舍去． ……………………………………………1分 ‎∴以直线CD为图象的一次函数解析式为y＝－2x－4 ．……………………………1分 ‎（图一）‎ O x y A ‎－1‎ ‎1‎ ‎4‎ B ‎23、如图5，已知点A（4，m），B（－1，n）在反比例 函数y＝的图象上，直线AB与x轴交于点C．如果点D 在y轴上，且DA＝DC，求点D的坐标． ‎ ‎ （2001年上海市中考试题）‎ ‎（图一）‎ O x y A ‎－1‎ ‎1‎ ‎4‎ B C D 解：可以求得点A（4，2），B（－1，－8），‎ ‎∴直线AB的解析式是y＝2x－6 ．∴点C（3，0），‎ ‎∵点D在y轴上，∴设点D（0，y），‎ ‎∵DA＝DC，∴＝，‎ ‎∴y＝，D（0，）．‎ ‎22、（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）‎ ‎（图六）‎ O x y A ‎·‎ 如图六，在直角坐标系中，点O为原点．点A在 第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数 y＝的图象经过点A．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半 轴交于点B，且OB＝AB，求这个一次函数的解析式．（2006年上海市学业试题）‎ 解：（1）由题意，设点A的坐标为（a，‎3a），a＞0 ．……………………………（1分）‎ ‎ ∵点A在反比例函数y＝的图象上，得‎3a＝，……………………………（1分）‎ ‎ 解得a1＝2，a2＝－2 ．………………………………………………………………（1分）‎ 经检验a1＝2，a2＝－2是原方程的根，但a2＝－2不符合题意，舍去．…………（1分）‎ ‎∴点A的坐标为（2，6）．……………………………………………………………（1分）‎ ‎ （2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．…………………………………………（1分）‎ ‎ ∵m＞0，∴m＝．…………………………………………………（2分）‎ ‎ 解得m＝，经检验m＝是原方程的根，∴点B的坐标为（0，）．……（1分）‎ ‎ 设一次函数的解析式为y＝kx＋，………………………………………………（1分）‎ ‎ 由于这个一次函数图象过点A（2，6），∴6＝2k＋，得k＝．……………（1分）‎ ‎∴所求一次函数的解析式为y＝2x＋．…………………………………………（1分）‎ ‎（图九）‎ D O C A B x y ‎24、已知：如图九，在直角坐标平面内，函数y＝‎ ‎（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4）、B（a，b），‎ 其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为点C，过点B作 y轴垂线，垂足为点D，连结AD、DC、CB．‎ ‎（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；‎ ‎（2）求证：DC∥AB； ‎ ‎（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式． （2007年上海市学业考试试题）‎ ‎（1）解：∵函数y＝（x＞0，m是常数）图象经过A （1，4），∴m＝4．…（1分）‎ 设BD、AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为（a，），点D的坐标为（0，），‎ E点的坐标为（1，），……………………………………………………………（1分）‎ ‎∵a＞1，∴ DB＝a，AE＝4－．由△ABD的面积为，即a（4－）＝4，（1分）‎ 得a＝3，∴点B的坐标为（3，）．………………………………………………（1分）‎ ‎（2）证明：可以知道：A（1，4）、B（a，）、C（1，0）、D（0，），‎ ‎∴直线的AB的解析式为：y＝－x＋；直线的CD的解析式为：y＝－x＋．‎ ‎∴DC∥AB．‎ 又证：据题意，点C的坐标为（1，0），DE＝1，∵a＞1，易得EC＝， BE＝a－1，‎ ‎∴＝＝a－1，＝＝a－1．……………………………………（2分）‎ ‎∴＝，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴DC∥AB．……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎（3）解：AD＝，BC＝，‎ 若AD＝BC，则＝，‎ 即a3－‎2a2－‎16a＋32＝0，即a2（a－2）－16（a－2）＝0，∴（a2－16）（a－2）＝0，‎ ‎∴a1＝2，a2＝4，a3＝－4（∵a＞1，∴舍去）‎ ‎∵直线的AB的解析式为：y＝－x＋，‎ ‎∴当a1＝2时，y＝－2x＋6；当a2＝4时，y＝－x＋5．‎ 又解：∵DC∥AB，∴当AD＝BC时，有两种情况：‎ ‎① 当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，‎ 由(2)得，＝＝a－1，∴a－1＝1，得a＝2．∴点B的坐标是（2，2）．（1分）‎ 设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b，把点A、B的坐标代入，‎ 得 解得 ∴直线AB的函数解析式是y＝－2x＋6．…（1分）‎ ‎② 当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，‎ 则BD＝AC，∴a＝4，∴点B的坐标是（4，1）．…………………………………（1分）‎ 设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b，把点A、B的坐标代入，‎ 得 解得 ∴直线AB的函数解析式是y＝－x＋5．………（1分）‎ 综上所述，所求直线AB的函数解析式是y＝－2x＋6或y＝－x＋5．‎ 五、二次函数 ‎5、抛物线y＝x2－6x＋3的顶点坐标是 ．‎ ‎（2002年上海市中考试题）（3，－6）．‎ ‎14、二次函数y＝－（x－1）2＋3图象的顶点坐标是………………………………（B ）‎ ‎（A）（－1，3）； （B）（1，3）； （C）（－1，－3）； （D）（1，－3）．‎ ‎（2006年上海市学业试题）‎ ‎4、抛物线y＝2（x＋m）2＋n，（m、n为常数）的顶点坐标是………………（ ）‎ ‎（A）（m，n）； （B）（－m，n）； （C）（m，－n）； （D）（－m，－n）．B．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎19、在函数y＝、y＝x＋5、y＝x2的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有………………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）0个； （B）1个； （C）2个； （D）3个．‎ ‎ （2000市上海市中考试题） B．‎ ‎9、将抛物线y＝x2＋3向右平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ．‎ ‎（2000市上海市中考试题）（2，3）．‎ ‎7、如果将二次函数y＝2x2的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 ． （2005年上海市学业试题）y＝2x2＋1．‎ ‎12、将抛物线y＝x2－2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ． （2009年上海市中考试题）y＝x2－1．‎ ‎4、若抛物线y＝（x＋1）2－2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（ ）‎ ‎（A）（－1－，0）； （B）（，0）；‎ ‎（C）（－1，－2）； （D）（－1＋，0）． D．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是……………（ ）‎ ‎（A）3； （B）2； （C）1； （D）0． B．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎（图五）‎ O x y A B C ‎22、在直角坐标平面中，点O为坐标原点．二次函 数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的负半轴相交于点A，与 x轴的正半轴相交于点B，与y轴相交于点C（如图五）．‎ 点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）设这个二次函数图象的顶点为点M，求AM的长．（2005年上海市学业试题）‎ 解：（1）∵BO＝CO，点C的坐标为（0，－3），点B在x轴的正半轴上，‎ ‎∴点B的坐标为（3，0）．……………………………………………………………（1分）‎ 点C、点B在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，‎ ‎∴……………………………………………………………………（2分）‎ 解得…………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3 ．……………………………………………（1分）‎ ‎（2）∵y＝x2－2x－3＝（x－）2－4，………………………………………………（1分）‎ ‎∴点M的坐标为（1，－4）．…………………………………………………………（1分）‎ 又∵二次函数的解析式为y＝x2－2x－3的图象与x轴的负半轴相交于点A，‎ ‎∴点A的坐标为（－1，0）．…………………………………………………………（1分）‎ ‎∴AM＝＝2．……………………………………………（2分）‎ ‎22、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），并且经过点B（3，0）．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式；‎ ‎（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使得平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标． （2007年上海市学业考试试题）‎ 解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x－1）2－4，…………………………………（2分）‎ ‎∵二次函数图象过点B（3，0），∴0＝‎4a－4， 得a＝1．…………………………（3分）‎ ‎∴二次函数解析式为y＝（x－1）2－4，即y＝x2－2x－3．………………………（1分）‎ ‎（2）令y＝0，得x2－2x－3＝0，解方程，得x1＝3，x2＝－1．…………………（2分）‎ ‎∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（－1，0）．‎ ‎∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．………………………………（2分）‎ 平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．……………………………（2分）‎ ‎（图一）‎ A D C B O x y ‎26、如图7，已知抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不 同的两点A、B，其顶点是点C，点D是抛物线的对称轴与 x轴的交点．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的 式子表示）；‎ ‎（3）若直线y＝x＋1分别交x轴、y轴于点E、F，‎ 问ΔBDC与ΔEOF是否有可能全等？如果可能，请证明；‎ 如果不可能，请说明理由． （2001年上海市中考试题）‎ 解：（1）∵△＝（－4）2－4×‎2m＞0，∴m＜2；‎ ‎（2）顶点C的坐标是（1，m－2），‎ ‎（图一）‎ A D C B O x y E F 设点A（x1，0）、B（x2，0），则E x1＋x2＝2，x1·x2＝m，‎ ‎∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝＝；‎ ‎（3）可以求出点R（－，0），F（0，1）‎ ‎∴OE＝，OF＝1 ．‎ 又可以求出点B（1＋，0），∴BD＝，CD＝2－m，‎ 若OE＝BD且OF＝CD，即＝且1＝2－m，∴m＝1；‎ 又若OE＝CD且OF＝BD，即＝2－m且1＝，∴无解，‎ ‎∴ΔBDC与ΔEOF可能全等．‎ ‎23、已知：二次函数y＝x2－2（m－1）x＋m2－‎2m－3，其中m为实数．‎ ‎（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；‎ ‎（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1、x2‎ 的倒数和为，求这个二次函数的解析式． （2002年上海市中考试题）‎ 解：（1）∵△＝4（m－1）2－4（m2－‎2m－3）＝16＞0，‎ ‎∴不论m取何值，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；‎ ‎（2）∵这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），‎ ‎∴x1＋x2＝2（m－1），x1·x2＝m2－‎2m－3，‎ ‎∵x1、x2的倒数和为，∴＋＝，∴＝，∴3（x1＋x2）＝2x1·x2，‎ ‎∴6（m－1）＝2（m2－‎2m－3），即m2－‎5m＝0，∴m1＝0，m2＝5 ．‎ ‎∴当m1＝0时，二次函数的解析式是y＝x2＋2x－3；当m2＝5时，二次函数的解析式是y＝x2－8x＋12 ．‎ ‎∴所求二次函数的解析式是y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12．‎ ‎25、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1︰11000的比例图上，跨度AB＝‎5cm，拱高OC＝‎0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB．如图一，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以‎1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图二．‎ ‎（1）求出图上以这一部分抛物线为图象的函数解极式，写出函数定义域；‎ M O D E C A B ‎5cm ‎0.9cm ‎（图一）‎ ‎（图二）‎ y x O D E C A B M ‎（2）如果DE与AB的距离OM＝‎0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：≈1.4 ，计算结果精确到‎1米）． （2003年上海市中考试题）‎ 解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 y＝ax2＋．………………………………………………1分 ‎∵点A（－，0）（或点B（，0））在抛物线上，‎ ‎∴0＝a（－）2＋，得a＝－．………………………………………………1分 因此所求函数解析式为y＝－x2＋（－≤x≤）．……………………1＋1分 ‎ （2）∵点D、E的纵坐标为，………………………………………………………1分 ‎∴＝－x2＋，得x＝±． ……………………………………………2分 ‎∴点D的坐标为（－，），点E的坐标为（－，）．‎ ‎∴DE＝－（－）＝． ………………………………………………1分 因此卢浦大桥拱内实际桥长为×11000×0.01＝275≈385（米）．………2分 O O B A y x ‎．‎ ‎．‎ ‎（图一）‎ ‎26、已知在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，‎ 点A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，‎ 如图一，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经 过点A、B，与y轴相交于点C．‎ ‎（1）a、c的符号之间有何关系？‎ ‎（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的 比例中项，试证：a、c互为倒数； ‎ ‎（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB＝4，求a、c的值．‎ ‎ （2003年上海市中考试题）‎ ‎（1）解：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），‎ ‎∵点A、B是x轴正半轴上的两点，∴x1x2＞0，∴a、c同号． ……………………2分 或当a＞0时，c＜0； ……………………………………………………………………1分 当a＜0时，c＜0 ．………………………………………………………………………1分 ‎ （2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0＜x1＜x2 ．‎ ‎∴OA＝x1，OB＝x2，OC＝|c|． ………………………………………………………1分 根据题意，x1、x2是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根，∴x1·x2＝，………1分 由题意，得OA·OB＝OC2，即＝|c|2＝c2． ………………………………………1分 ‎∵c≠0，∴c＝，即ac＝1．……………………………………………………………1分 ‎∴当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．‎ ‎（3）解：当b＝－4时，由（2）知，x1＋x2＝－＝＞0，∴a＞0 ．…………1分 解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝‎ ‎∴AB＝＝． ……………………………………………………1分 ‎∵AB＝4，∴＝4，得a＝，∴c＝2 ．………………………………1分 解法二：由求根公式，x＝＝＝，‎ ‎∴x1＝，x2＝．‎ ‎∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝－＝．……………………………1分 ‎∵AB＝4，∴＝4，得a＝，∴c＝2 ．………………………………1分 ‎23、在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y＝x2＋（k－5）x－（k＋4）的图象交x轴于点A（xl，0）、B（x2，0），且（xl＋1）（x2＋1）＝－8 ．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为点C，顶点为点P，求△POC的面积． （2004年上海市中考试题）‎ 解：（1）由题意知，x1、x2是方程x2＋（k－5）x－（k＋4）＝0的根，‎ ‎ 则x1＋x2＝5－k，x1·x2＝－（k＋4），……………（2分）‎ ‎ 由（x1＋1）（x2＋1）＝－8， 即x1·x2＋（x1＋x2）＝－9，……………………（1分）‎ 得－（k＋4）＋（5－k）＝－9， …………………………………………………（1分）‎ 解得k＝5，……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 则所求二次函数的解析式为y＝x2－9；……………………………………………（1分）‎ ‎ （2）由题意，平移后的图象的函数解析式为 y＝（x－2）2－9，……………………………………………………………………（1分）‎ 则点C的坐标为（0，－5），…………………………………………………………（1分）‎ ‎ 顶点P的坐标为（2，－9），…………………………………………………………（1分）‎ 所以△POC的面积5＝×5×2＝5 ．………………………………………………（1分）‎ ‎27、数学课上，老师出示图六和下面框中条件，‎ ‎（图六）‎ A O B x H C M D y 如图六，在直角坐标平面内，点O为坐标原点，点A坐标为（1，0），点B在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA．过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y＝x2的图象于点C和D．直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H．记点C、D的横坐标分别为xC、xD，‎ 点H的纵坐标为yH．‎ ‎ 同学发现两个结论：①S△CMD︰S梯形ADMC＝2︰3；②数值相等关系：xC·xD＝－yH．‎ ‎（1）请你验证结沦①和结论②成立；‎ ‎（2）请你研究：如果将上述框中的条件“点A坐 标为（1，0）”改为“点A坐标为（t，0）（t＞0）”，其 它条件不变，结论①是否仍成立? （请说明理由）‎ ‎（3）进—步研究：如果将上述框中的条件“点A 坐标为（1，0）”改为“点A坐标为（t，0）（t＞0）”，‎ 又将条件“y＝x‎2”‎改为“y＝ax2（a＞0）”，其它条件不 变，那么xC、xD和yH有怎样的数值关系？（写出结果 并说明理由） （2004年上海市中考试题）‎ 解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），‎ ‎ 点D的坐标为（2，4），………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y＝x，‎ ‎ ∴点M的坐标为（2，2），……………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴S△CMD＝1，S梯形ABMC＝，‎ ‎∴S△CMD︰S梯形ABMC＝2︰3，即结论①成立；………………………………………（1分）‎ 设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b，‎ ‎ 则，得，‎ ‎∴直线CD的函数解析式为y＝3x－2；……………………………………………（1分）‎ 由上述可得，点H的坐标为（0，－2），yH＝－2，………………………………（1分）‎ ‎∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝－yH，即结论②成立；…………………………………（1分）‎ ‎（2）结论①仍成立．…………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵点A的坐标为（t，0）（t＞0），则点B坐标为（2t，0），‎ ‎ 从而点C坐标为（t，t2），点D坐标为（2t，4t2），‎ ‎ 设直线OC的函数解析式为y＝kx，则t2＝kt，得k＝t，‎ ‎ ∴直线OC的函数解析式为y＝tx，‎ ‎ 设点M的坐标为（2t，y），∵点M在直线OC上，‎ ‎ ∴当x＝2t时，y＝2t2，点M的坐标为（2t，2t2），…………………………………（1分）‎ ‎ ∴S△CMD︰S梯形ABMC＝·2t2·t︰·t（t2＋2t2）＝2︰3，……………………（1分）‎ ‎ ∴结论①仍成立；‎ ‎ （3）xC·xD＝－yH，………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 由题意，当二次函数的解析式为y＝ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），‎ 设直线CD的函数解析式为y＝kx＋b，‎ ‎ 则，得，‎ ‎∴直线CD的函数解析式为y＝3atx－2at2；…………………………………………（1分）‎ 则点H的坐标为（0，－2at2），yH＝－2at2，………………………………………（1分）‎ ‎∵xC·xD＝2t2，∴xC·xD＝－yH．…………………………………………………（1分）‎ 六、概率与统计 ‎8、出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额约为5×31＝155（万元）．根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：________________． （2002年上海市中考试题） 不合理．‎ ‎14、为了了解某所初级中学学生对‎2008年6月1日起实施的“限塑令”是否知道，从该校全体学生1200名中，随机抽查了80名学生，结果显示有2名学生“不知道”．由此，估计该校全体学生中对“限塑令”约有 名学生“不知道”． 30．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎22、为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示；各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图一所示（其中六年级相关数据未标出）．‎ 表一 次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ 根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：‎ ‎（1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 ；‎ ‎（图一）‎ ‎25%‎ 八年级 ‎25%‎ 七年级 ‎30%‎ 九年级 六年级 ‎（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 ‎ ；‎ ‎（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小 于6的人数所占的百分率是 ；‎ ‎（4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众 数是 ．（2009年上海市中考试题）‎ 解：（1）20%；……………………………………………………………………………2分 ‎（2）6；……………………………………………………………………………………3分 ‎（3）35%； ………………………………………………………………………………2分 ‎（4）4．……………………………………………………………………………………3分 ‎（图四）‎ 路口数 ‎10‎ ‎30‎ ‎0‎ ‎20‎ ‎40‎ 红 橙 黄 蓝 绿 标识 ‎20、某市在中心城区范围内，选取重点示范路口进行交通文明状况满意度调查，将调查结果的满意度分为：不满意、一般、较满意、满意和非常满意，依次以红、橙、黄、蓝、绿五色标识．今年五月发布的调查结果中，橙色与黄色标识路口数之和占被调查路口总数的15％．结合未画完整的图四中所示信息，回答下列问题：‎ ‎（1）此次被调查的路口总数是 ；‎ ‎（2）将图四中绿色标识部分补画完整，并 标上相应的路口数；‎ ‎（3）此次被调查路口的满意度能否作为该 市所有路口交通文明状况满意度的一个随机样本？‎ 答： ．‎ ‎（2006年上海市学业试题）‎ 解：（1）60；……………………………………………………………………………（3分）‎ ‎（2）图略（条形图正确，得2分；标出数字10，得2分）；……………………（4分）‎ ‎（3）不能．……………………………………………………………………………（3分）‎ ‎16、六个学生进行投篮比赛，投进的个数分数为2，3，3，5，10，13，这六个数的中位数是…………………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）3； （B）4； （C）5； （D）6． B．‎ ‎ （2005年上海市学业试题）‎ 快餐公司个数情况图 ‎80‎ ‎59‎ ‎50‎ 个 ‎1998‎ ‎1999‎ ‎2000‎ 年份 ‎（图一）‎ ‎2.0‎ ‎1.0‎ ‎1.5‎ 万盒/个 ‎1998‎ ‎1999‎ ‎2000‎ 年份 快餐公司盒饭年销量平均数情况图 ‎（图二）‎ ‎21、小李通过对某地区1998年至2000年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图（如图2）和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图3）．利用图2、图3共同提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）1999年该地区销售盒饭 共_____________万盒；‎ ‎（2）该地区盒饭销量最大的 年份是________年，这一年的年销 量是__________万盒；‎ ‎（3）这三年中该地区每年平 均销售盒饭多少万盒？‎ ‎（2001年上海市中考试题）‎ 解：（1）118；（2）2000、120；‎ ‎（3）96万盒．‎ ‎22、近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1、表2所示．‎ 表1：土地荒漠化扩展的面积情况 年代 ‎50、60年代的20年 ‎70、80年代的20年 ‎90年代的10年 平均每年土地荒漠化扩展的面积（km2）‎ ‎1560‎ ‎2100‎ ‎2460‎ 表2：沙尘暴发生的次数情况 年代 ‎50年代的10年 ‎60年代的10年 ‎70年代的10年 ‎80年代的10年 ‎90年代的10年 每十年沙尘暴发生次数 ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎23‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎10‎ ‎20‎ 年代 ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ 次数 ‎（图一）‎ ‎（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的 面积；‎ ‎（2）在图一中画出不同年代沙尘暴发生的次数 的折线图；‎ ‎（3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙 尘暴发生次数呈 （选择“增加”、“稳定”‎ 或“减少”）趋势．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎10‎ ‎20‎ 年代 ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ 次数 ‎（图一）‎ 解：（1）平均每年土地荒漠化扩展的面积为 ‎……（2分）‎ ‎＝1956（km2），…………………………（1分）‎ 答：所求平均每年土地荒漠化扩展的面积为1956‎ km2；‎ ‎（2）右图；………………………………（5分）‎ ‎（3）增加．………………………………（2分）‎ ‎25、某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了规定时间内投进n 个球的人数分布情况：‎ 进球数n ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 投进n个球的人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎2‎ 同时，已知进球3个或3个以上的平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球．问投进3个球和4个球的各有多少人． （2002年上海市中考试题）‎ 解：投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人．根据题意得：‎ ‎ ，整理得：．∴‎ 检验知道：它们是原方程组的解．‎ 答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人．‎ 人数 不及格 培训前 培训后 及格 优秀 等级 ‎24‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎22、某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示．试结合图示信息回答下列问题： ‎ ‎（1）的这32名学生培训前考分的中位数所 在等级是 ，培训后考分的中位数 所在的等级是 ；‎ ‎（2）这32名学生经过培训，考分等级“不 合格”的百分比由 下降到 ；‎ ‎（3）估计该校整个初二年级中，培训后考分 等级为“合格”与“优秀”的学生共有 名；‎ ‎（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？‎ 答： ，理由： ． （2003年上海市中考试题）‎ 解：（1）不合格，合格；（2）75%，25%；（3）240；（4）合理，该样本是随机样本（该样本具有代表性）．……………………………………………………………………每空格1分 旅游收入图 年份 ‎2004‎ ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎10‎ 年旅游收入 ‎（亿元）‎ ‎（图九）‎ 入境旅游人数图 年份 ‎2004‎ ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎200‎ ‎240‎ ‎220‎ ‎180‎ ‎160‎ 年入境旅游 人数（万）‎ ‎32‎ ‎200‎ ‎242‎ ‎（图十）‎ ‎22、某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2004至2007年每年的旅游收入及入境旅游人数（其中缺少2006年入境旅游人数）的有关数据，整理并分别绘成图九，图十．‎ ‎（图一）‎ 根据上述信息，回答下列问题：‎ ‎（1）该地区2004至2007年四年的年旅游收入的平均数是 亿元；‎ ‎（2）据了解，该地区2006年、2007年入境旅游人数的年增长率相同，那么2006年入境旅游人数是 万；‎ ‎（3）根据第（2）小题中的信息，把图十补画完整． （2008年上海市学业试题）‎ 解：（1）＝（10＋30＋50＋90）＝45；………………………………………（3分）‎ ‎（2）设入境旅游人数的年增长率为x，则200（1＋x）2＝242，∴x＝10％，‎ ‎∴200（1＋10％）＝220；……………………………………………………………（4分）‎ ‎（3）（图正确）．………………………………………………………………………（3分）‎ ‎22、某区从参加数学质量检测的8000名学生 ‎）‎ ‎）‎ ‎）‎ ‎）‎ ‎）‎ ‎）‎ 中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一；随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二．‎ 甲组 乙组 人数（人）‎ ‎100‎ ‎80‎ 平均分（分）‎ ‎94‎ ‎90‎ 分数段 ‎[0，60‎ ‎[60，72‎ ‎[72，84‎ ‎[84，96‎ ‎[96，108‎ ‎[108，120‎ 频数 ‎3‎ ‎6‎ ‎36‎ ‎50‎ ‎13‎ 频率 ‎20%‎ ‎40%‎ 等第 C B A 请根据表一、表二所示信息回答下列问题：‎ ‎）‎ ‎ （1）样本中，学生数学成绩平均分约为 分（结果精确到0.1）；‎ ‎ （2）样本中，数学成绩在[84，96 分数段的频数为 ，等第为A的人数占抽样学生总人数的百分比为 ，中位数所在的分数段为 ；‎ ‎ （3）估计这8000名学生数学成绩的平均分约为 分（结果精确到0.1）．‎ ‎）‎ ‎ （2004年上海市中考试题）‎ 解：（1）92.2；（2）72，35％，[84，96 ；（3）92.2 ． ………（2分）（3分）（2分）‎ ‎24、为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：‎ ‎ （A）测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；‎ ‎ （B）查阅有关外地180名男生身高的统计资料；‎ ‎ （C）在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．‎ ‎ （1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？（答案分别填在空格内）‎ 答：选 ；理由： ．‎ 下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：‎ 初中男生身高情况抽样调查表 七年级 八年级 九年级 总计（频数）‎ ‎143－153‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎153－163‎ ‎18‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎163－173‎ ‎24‎ ‎33‎ ‎39‎ ‎173－183‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎183－193‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎ （注：每组可含最低值，不含最高值）‎ ‎ ①根据表中的数据填写表中的空格；‎ ‎②根据填写的数据绘制频数分布直方图． （2000年上海市中考试题）‎ 解：（1）选C．理由：方案C采用了随机抽样的方法.随机样本比较具有代表性，可以被用来估计总体；（2）①表格中频数从上到下依次是:15，33， 96，33，3 ．② 略．‎ 时间段 ‎（小时/周）‎ 小丽抽样人数 小杰抽样人数 ‎0~1‎ ‎6‎ ‎22‎ ‎1~2‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎2~3‎ ‎16‎ ‎6‎ ‎3~4‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎（每组可含最低值，不含最高值）‎ 表一 ‎20、初三学生小丽、小杰为了解本校初二学生每周上网的时间，各自在本校进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5小时；小杰从全体初二学生名单中随机抽取了40名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.2小时．小丽与小杰整理各自样本数据，如表一所示．请根据上述信息，回答下列问题：‎ ‎（每组可含最低值，不含最高值）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 小时/周 人数 ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎22‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎（图七）‎ ‎（1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？‎ 答： ；估计该校全体初二学生平均每 周上网时间为 小时；‎ ‎（2）根据具有代表性的样本，把图七中的频 数分布直方图补画完整；‎ ‎（3）在具有代表性的样本中，中位数所 在的时间段是 小时/周．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ 解：（1）小杰；1.2．…………………………………………………………（2分，2分）‎ ‎（2）直方图正确．……………………………………………………………………（3分）‎ ‎（3）0～1．……………………………………………………………………………（3分）‎ ‎（图一）‎ ‎（每组可含最低值，不含最高值）‎ 频数 ‎153‎ ‎158‎ ‎178‎ ‎183‎ ‎163‎ ‎173‎ ‎168‎ ‎143‎ ‎148‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ 身高 ‎(厘米)‎ 六年级 九年级 ‎170.4‎ ‎151.8‎ ‎22、某校在六年级和九年级男生中分别随机抽取20名男生测量他们的身高，绘制的频数分布直方图如图2所示，其中两条点划线上端的数值分别是每个年级被抽20名男生身高的平均数，试根据该图提供的信息填空：‎ ‎（1）六年级被抽取的20名男生身 高的中位数所在组的范围是__________‎ 厘米；九年级被抽取的20名男生身高 的中位数所在组的范围是_________厘 米．‎ ‎（2）估计这所学校九年级男生的 平均身高比六年级男生的平均身高高 ‎__________厘米．‎ ‎（3）估计这所学校六、九两个年级全体男生中，身高不低于‎153厘米且低于‎163厘米的男生所占的百分比是________________． （2002年上海市中考试题）‎ 解：（1）148～153 168～173 （2）18.6 （3）22.5% ．‎ ‎9、甲、乙两人比赛飞镖，两人所得平均环数相同，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较为稳定的是 （填“甲”或“乙”）．‎ ‎（2001年上海市中考试题）甲．‎ ‎6、一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是8，6，10，7，9，则这个运动员所得环数的标准差为 ． （2004年上海市中考试题）．‎ ‎6、下列事件中，属必然事件的是…………………………………………………（ ）‎ ‎（A）男生的身高一定超过女生的身高； （B）方程4x2＋4＝0在实数范围内无解；‎ ‎（C）明天数学考试，小明一定得满分； （D）两个无理数相加一定是无理数． B．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎13、如果从小明等6名学生中任选一名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 ． ． （2009年上海市中考试题）‎ ‎4、一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）； （B）； （C）； （D）． C．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎5、从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃，2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌恰好是黑桃的概率是………………………………………………（ ）‎ ‎（A）； （B）； （C）； （D）1． C．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ 七、三角形 ‎（图四）‎ a ‎2‎ b ‎1‎ ‎15、如图四，已知a∥b，∠1＝40°，那么∠2的 度数等于 ． 40．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎10、已知在△ABC和△A1B‎1C1中，AB＝A1B1，∠A＝A1，要使△ABC≌△A1B‎1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． （2006年上海市学业试题）‎ 解：∠B＝∠B1（或∠C＝∠C1，或AC＝A‎1C1）．‎ ‎11、如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 ‎ （度）．. （2000市上海市中考试题）120°．‎ ‎12、如果等边三角形的高为‎3 cm，那么它的边长是 cm．‎ ‎ （2000市上海市中考试题）2．‎ ‎（图一）‎ ‎·‎ A P Q C ‎18、已知AC平分∠APQ，如图一，点B、B′分别在边AP、AQ上．如果添加一个条件，即可推出AB＝AB′，那么该条件可以是……………………………………（ ）‎ ‎（A）BB′⊥AC；‎ ‎（B）BC＝B′C；‎ ‎（C）∠ACB＝∠ACB′；‎ ‎（D）∠ABC＝∠AB′C．（2003年上海市中考试题）ACD．‎ ‎（图一）‎ A C B D O F E ‎23、已知：如图一，线段AC与BD相交于点O，‎ 联结AB、DC，点E为OB的中点，点F为OC的中 点，联结EF．‎ ‎（1）添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，‎ 求证：AB＝DC；‎ ‎（2）分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2，命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎（1）证明：∵∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF．…………………………………………1分 ‎∵点E为OB的中点，点F为OC的中点，∴OB＝2OE，OC＝2OF， ……………1分 ‎∴OB＝OC．………………………………………………………………………………1分 ‎∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC．………………………………2分 ‎∴AB＝DC．………………………………………………………………………………1分 ‎（2）真； …………………………………………………………………………………3分 假．…………………………………………………………………………………………3分 ‎（图四）‎ A B C D E F ‎21、将两块三角板如图放置，其中∠C＝∠EDB＝90°，‎ ‎∠A＝45°，∠E＝30°，AB＝DE＝6，求重叠部分四边形 DBCF的面积． （2003年上海市中考试题）‎ 解：在△EDB中，∵∠EDB＝90°，∠E＝30°，DE＝6，‎ ‎∴DB＝DE·tg30°＝6×＝2，‎ ‎∴AD＝AB－DB＝6－2，又∵∠A＝45°∴∠AFD＝45°，DE3FD＝AD，‎ ‎∴S△ADF＝AD2＝（6－2）2＝24－12．‎ 在等腰直角三角形ABC中，斜边AB＝6，∴S△ABC＝AB2＝9．‎ ‎∴S四边形DBCF＝S△ABC－S△ADF＝9－（24－12）＝12－15．……………………1分 A B C E D G ‎（图一）‎ ‎24、已知：如图一，在△ABC中，AD是高，CE是 中线，DC＝BE，DC⊥CE，点G是垂足．‎ 求证：（1）点G是CE的中点；‎ ‎（2）∠B＝2∠BCE．‎ ‎（2003年上海市中考试题）‎ A B C E D G ‎（图一）‎ 证明：（1）如图一，连结DE………………1分 ‎∵∠ADB＝90°，点E是AB的中点，‎ ‎∴DE＝AE＝BE， …………………………2分 又∵DC＝BE，∴DC＝DE．………………1分 又∵DC⊥CE，∴点G是CE的中点．……2分 ‎（2）∵DE＝DC，∴∠DCE＝∠DEC， …1分 ‎∴∠EDB＝∠DEC＋∠DCE＝2∠BCE． …1分 又∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，………………………………………………………1分 ‎∴∠B＝2∠BCE．………………………………………………………………………1分 C A B F E D C ‎（图一）‎ ‎23、已知：如图一，在△ABC中，点D在边AC 上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．‎ ‎（1）求证：EF＝AB；‎ ‎（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，‎ 求证：△ABE≌△AGE．（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎（图一）‎ E A B F D C 证明：（1）连结BE（如图一）， ………（1分）‎ ‎∵DB＝BC，点E是CD的中点，‎ ‎∴BE⊥CD．…………………………………（2分）‎ ‎∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，‎ ‎∴EF＝AB；………………………………（3分）‎ ‎（图一）‎ E A B F D C G ‎（2）[方法一]在△ABG中，AF＝BF，AG∥EF，‎ ‎∴BE＝EG．…………………………………（3分）‎ 在△ABE和△AGE中，‎ ‎∵AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，‎ ‎∴△ABE≌△AGE；……………………………………………………………………（3分）‎ ‎[方法二]由（1）得，EF＝AF，∴∠AEF＝∠FAE．………………………………（1分）‎ ‎∵EF//AG，∴∠AEF＝∠EAG．………………………………………………………（1分）‎ ‎∴∠EAF＝∠EAG．……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，∴△ABE≌△AGE．………………………（3分）‎ 八、四边形 ‎（图一）‎ A B C E D F ‎25、已知：如图一，在△ABC中，AB＝AC，点E 是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC 于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连 结FC．‎ 求证：∠:F＝∠A． （2000市上海市中考试题）‎ 提示：证明四边形AEFC是平行四边形．‎ ‎14、已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF．在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． （2002年上海市中考试题）‎ 解：AB=AC、AE=AF、AE=ED、DE∥AC、∠B=∠C等．‎ ‎23、‎（图十一）‎ A D B C O E 已知：如图十一，在平行四边形ABCD中，‎ 对角线AC、BD交于点O，点E是BD延长线上的点，‎ 且△ACE是等边三角形．‎ ‎（1）求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD 是正方形． （2008年上海市学业试题）‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．……………………………（2分）‎ ‎∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC，……………………………（2分）‎ ‎∴平行四边形ABCD是菱形．………………………………………………………（2分）‎ ‎（2）∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°．‎ ‎∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠AEC＝30°．………………………………………（1分）‎ ‎∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°． （1分）‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，…………………………（2分）‎ ‎∴四边形ABCD是正方形．…………………………………………………………（1分）‎ ‎17、下列命题中，真命题是………………………………………………………（ ）（A）对角线互相平分的四边形是平行四边形；‎ ‎（B）对角线相等的四边形是矩形；‎ ‎（C）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；‎ ‎（D）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．（2001年上海市中考试题）AC．‎ ‎16、在下列命题中，真命题是…………………………………………………………（ C ）‎ ‎（A）两条对角线相等的四边形是矩形；‎ ‎（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形；‎ ‎（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；‎ ‎（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． （2006年上海市学业试题）‎ ‎17、在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为点O．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ． AC＝BD或∠ABC＝90°等． （2009年上海市中考试题）‎ ‎15．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是………………………………………………（ D ）‎ ‎（A）∠D＝90°； （B）AB＝CD； （C）AD＝BC； （D）BC＝CD．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ ‎23、（本题满分12分，每小题满分各6分）‎ ‎（图七）‎ F D A C B E G 已知：如图七，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．‎ ‎（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；‎ ‎（2）当∠FGC＝2∠EFB时，‎ 求证：四边形AEFG是矩形．‎ ‎（2006年上海市学业试题）‎ 证明：（1）∵在梯形ABCD中，AB＝DC，∴∠B＝∠C．………………………（2分）‎ ‎∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC．………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴∠B＝∠GFC，AB∥GF，即AE∥GF．……………………………………………（1分）‎ ‎∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．………………………………………（2分）‎ ‎（2）过点G作GH⊥FC，垂足为点H．……………………………………………（1分）‎ ‎∵GF＝GC，∴∠FGH＝∠FGC．…………………………………………………（1分）‎ ‎ ∵∠FGC＝2∠EFB，∴∠FGH＝∠EFB．…………………………………………（1分）‎ ‎ ∵∠FGH＋∠GFH＝90°，∴∠EFB＋∠GFH＝90°．……………………………（1分）‎ ‎ ∴∠EFG＝90°．………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．………………………（1分）‎ ‎10、如果梯形的两底之比为2︰5，中位线长14厘米，那么较大底的长为 厘米． （2001年上海市中考试题）20．‎ ‎（图四）‎ A D F E B C ‎24、如图四，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长 BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、‎ AC的中点．‎ ‎（1）求证：DF＝BE；‎ ‎（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG＝DG．‎ ‎（2004年上海市中考试题）‎ 证明：[方法一] （1）点E、F分别为边BC、AC的中点，‎ ‎ ∴EF是△ABC的中位线，‎ ‎ ∴EF∥AB，EF＝AB＝AD，………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴∠EFC＝∠BAC＝90°＝∠DAF．…………………………………………………（1分）‎ 又AF＝FC，∴△AFD≌△FCE，……………………………………………………（1分）‎ ‎∴DF＝CE，……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 又CE＝BE，∴DF＝BE；……………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）画出线段AG．…………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴△AFD≌△FCE，‎ ‎ ∴∠D＝∠FEC，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 又∵FE∥AB，∴∠FEC＝∠B，又∵AG∥BC，‎ ‎ ∴∠B＝∠DAG，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴∠D＝∠DAG，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴AG＝DG．……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ [方法二] （1）∵点E、F分别为边BC、AC的中点，‎ ‎ ∴EF是△ABC的中位线，‎ ‎ ∴EF∥AB，EF＝AB＝AD，………………………………………………………（1分）‎ 连结AE得，四边形AEFD是平行四边形，…………………………………………（1分）‎ ‎∴AE＝DF，……………………………………………………………………………（1分）‎ 又AE是Rt△ABC斜边BC上的中线，∴AE＝BE，………………………………（1分）‎ ‎∴BE＝DF；……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ （2）画出线段AG．…………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 由（1）得，四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎ ∴AE∥DF，‎ ‎∴∠D＝∠BAE，………………………………………………………………………（1分）‎ 又∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，‎ 又∵AG∥BC，∴∠B＝∠DAG，……………………………………………………（1分）‎ ‎∴∠D＝∠DAG，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴AG＝DG．……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ [方法三] （1）∵点F是边AC的中点，∴AF＝AC，‎ 又∵AD＝AB，∴＝＝，……………………………………………（1分）‎ ‎∵∠FAD＝∠CAB＝90°，∴△FAD∽△CAB，……………………………………（1分）‎ ‎∴＝＝，即DF＝BC，………………………………………………（1分）‎ ‎∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC，……………………………………………（1分）‎ ‎∴DF＝BE；……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）画出线段AG．…………………………………………………………………（1分）‎ 由（1）得△FAD∽△CAB，∴∠D＝∠B，…………………………………………（1分）‎ ‎∵AG∥BC，∴∠B＝∠DAG，………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴∠D＝∠DAG，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴AG＝DG．……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎10、一个梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为 ．7．‎ ‎（2005年上海市学业试题）‎ 九、图形的运动 ‎（图一）‎ G A D F E B C H ‎14、如图一，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺 时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点 H，那么DH 的长为 ．‎ ‎（2004年上海市中考试题）．‎ ‎14、在等腰三角形ABC中,∠C＝90°，BC＝‎2cm．如果以AC的中点为旋转中心，将这三角形旋转180°，点B落在B′处，那么点B′与点B的原来位置相距 cm.．‎ ‎（2000市上海市中考试题）2．‎ ‎13、在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 ．‎ ‎（图一）‎ A B C D B′‎ E F ‎. （2001年上海市中考试题）2－2 ．‎ ‎13、在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 （度）．‎ ‎（2002年上海市中考试题）‎ A B C D M N ‎（图一）‎ 解：∵CM是斜边AB上的中线，‎ ‎∴CM＝AM，∴∠CMN＝2∠A＝2∠ACM，‎ ‎∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，‎ ‎∴∠NCM＝∠A＝∠ACM，‎ ‎∴∠CMN＝2∠NCM，‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠NCM＝30°，‎ ‎∴∠A＝30° ．‎ ‎（图三）‎ x y O A B ‎11、如图三，在直角坐标平面内，线段AB垂直于 y轴，垂足为点B，且AB＝2．如果将线段AB沿y轴 翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是 ‎ ． （2007年上海市学业考试试题）‎ 解：－2．‎ ‎（图四）‎ ‎12、图四是4×4正方形网格．请在其中选取一个 白色的单位正方形并涂黑，使图4中黑色部分是一个 中心对称图形． （2007年上海市学业考试试题）‎ 解：答案见图一．‎ ‎（图一）‎ ‎（图一）‎ ‎（C）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（D）‎ ‎3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是………………………（ ）‎ C．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎（图二）‎ ‎12、在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称 性．图2是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对 称图形． （2006年上海市学业试题）‎ 解：答案见图一．‎ ‎（图一）‎ ‎21、（1）在图三所示，编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标原点O对称的两个三角形的编号为 ；‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ x y O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎（图三）‎ A B C ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ x y O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎（图四）‎ ‎（2）在图四中，画出与△ABC关于x轴对称的△A1B‎1C1 ．‎ ‎（2005年上海市学业试题）‎ 解（1）①和②；①和③．……………………………………………………（2分，2分）‎ ‎（2）所画三角形正确．………………………………………………………………（4分）‎ 十、相似形 ‎6、如图一，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论中，正确的是………………（ ）‎ B A C D E F ‎(图一)‎ ‎（A）＝； （B）＝； ‎ ‎（C）＝； （D）＝． A．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎9、在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝ ． （2002年上海市中考试题）12．‎ ‎11、在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分ACB，DE∥BC，如果AC＝10，AE＝4，那么BC＝ ． （2003年上海市中考试题）15．‎ ‎11、在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么EC＝ ． （2005年上海市学业试题）6．‎ ‎17、如图五，平行四边形ABCD中，点E是边BC 上‎（图五）‎ D E A C B F 的点，AE交BD于点F．如果＝，那么 ‎＝ ． （2008年上海市学业试题） ．‎ ‎（图一）‎ A C B M E F B′‎ 翻折、比例线段 ‎18、如图一，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB ‎＝3，点M为边BC上的点，联结AM．如果将△ABM 沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那 么点M到AC的距离是 ．（2009年上海市中考试题）‎ 解：作ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，‎ ‎∵∠BAC＝90°，∴MF∥BA．∵直线AM为折痕，∴∠MAC＝45°，∴MF＝AF．‎ ‎∵MF∥BA，∴CF︰CA＝MF︰BA，‎ ‎∵AB＝3，将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，‎ ‎∴AC＝2AB＝6，∴（6－MF）︰6＝MF︰3，∴MF＝2，即点M到AC的距离是2．‎ ‎11、在△ABC中，如果AB＝AC＝‎5cm，BC＝‎8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是 cm． （2002年上海市中考试题）1．‎ ‎12、在△ABC中，点G为重心，若BC边上的高为6，则点G到BC边的距离为 ． （2004年上海市中考试题）2．‎ ‎15、在△ABC中，AD是BC边上的中线，点G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为………………………………………………………………………………………（B ）‎ ‎（A）2； （B）3； （C）6； （D）12．‎ ‎（2006年上海市学业试题）‎ ‎16、在△ABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD︰DB＝ ． 2︰1（或2）． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎18、在下列命题中，真命题是…………………………………………………（ ）‎ ‎（A）两个钝角三角形一定相似； （B）两个等腰三角形一定相似；‎ ‎（C）两个直角三角形一定相似； （D）两个等边三角形一定相似．D．‎ ‎ （2005年上海市学业试题）‎ ‎（图二）‎ D E C A B F ‎9、如图二，点E为平行四边形ABCD的边BC延 长线上一点，连结AE，交边CD于点F．在不添加辅 助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：‎ ‎ ． （2007年上海市学业考试试题）‎ 解：△AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD）．‎ C′‎ B′‎ A′‎ ‎14、如图1，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B‎1C1，使△A1B‎1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．‎ ‎（2001年上海市中考试题）画出一个合要求的三角形，即得2分．‎ C′‎ B′‎ A′‎ C′‎ B′‎ A′‎ ‎（图一）‎ A B C ‎（图二）‎ A D E B C ‎16、如图二，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是………………………………………（ ）‎ ‎（A）△DBE；‎ ‎（B）△ADE；‎ ‎（C）△ABD；‎ ‎（D）△BDC．‎ ‎（2004年上海市中考试题）B、D．‎ ‎（图二）‎ A B C D E ‎14、在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，‎ AC＝3 ．折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、‎ A AC分别相交于点D和点E（如图二），折痕DE的长 为 ． （2005年上海市学业试题）1．‎ ‎（图一）‎ A B C D F E G ‎18、如图一，矩形纸片ABCD，BC＝2，∠ABD＝‎ ‎30°．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，‎ EB交DC于点F，那么点F到直线DB的距离为 ‎ ． （2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎．‎ ‎9、在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝1，BD＝2，则S△ADE︰S△ABC＝ ． （2004年上海市中考试题）1︰9．‎ ‎20、在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O．如果AD︰BC＝1︰3，那么下列结论中，正确的是………………………………………………………………（ ）‎ ‎ （A）S△COD＝9S△ACO； （B）S△ABC＝9S△ACD；‎ ‎（C）S△BOC＝9S△AOD； （D）S△DOC＝9S△AOD．‎ ‎（2000市上海市中考试题）C．‎ ‎16、如果两个相似三角形的相似比是1︰3，那么这两个三角形面积的比是 ． 1︰9． （2008年上海市学业试题）‎ ‎4、计算3－2的结果是…………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）a； （B）； （C）－a； （D）－． B．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎6、如图二，在平行四边形ABCD中，如果＝，＝，那么＋等于（ ）‎ ‎（图二）‎ C D A B ‎（A）； （B）；‎ ‎（C）； （D）． B．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎5、若是非零向量，则下列等式正确的是……………………………………（ ）‎ ‎（A）＝； （B）＝； （C）＋＝0；（D）＋＝0．A．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ ‎（图一）‎ A C B D ‎15、如图二，在△ABC中，AD是边BC上的中线，‎ 设向量＝，＝．如果用向量、表示向 量，那么＝ ．＋．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ 十一、锐角三角比 ‎17、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是………………………………………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）sinB＝； （B）cosB＝； （C）tgB＝； （D）ctgB＝．C．‎ ‎ （2005年上海市学业试题）‎ ‎10、在△ABC中，∠A＝90°，设∠B＝θ，AC＝b，则AB＝ （用b和θ的三角比表示）． （2004年上海市中考试题）b·ctgθ或．‎ ‎10、正方形ABCD中，∠ABD的余弦值等于 ．‎ ‎（2000市上海市中考试题）．‎ ‎13、正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tg∠BAD′＝ ． （2003年上海市中考试题）．‎ A B C D ‎（图一）‎ ‎21、已知：如图一，在四边形ABCD中，BC＝CD ‎＝DB，∠ADB＝90°，cos∠ABD=，‎ 求：S△ABD∶S△BCD． （2002年上海市中考试题）‎ 解：︰2 ．‎ ‎（图一）‎ D A C B ‎22、如图4，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC 上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=．‎ 求：（1）DC的长；（2）sinB的值．‎ ‎（2001年上海市中考试题）‎ 解：（1）6；（2）．‎ ‎（图四）‎ A C D B E ‎19、已知：如图三，在△ABC中，AD是边BC上 的高，点E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，‎ sinB＝． ‎ 求：（1）线段DC的长；（2）tg∠EDC的值．‎ ‎（2006年上海市学业试题）‎ 解：（1）在Rt△BDA中，∠BDA＝90°，AD＝12，sinB＝＝，………（1分）‎ ‎∴AB＝15，……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴BD＝＝＝9，…………………………………………（2分）‎ ‎∴DC＝BC－BD＝14－9＝5 ．………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）[方法一]过点E作EF⊥DC，垂足为点F，∴EF∥AD．……………………（1分）‎ ‎∵AE＝EC，∴DF＝DC＝，EF＝AD＝6，…………………………………（2分）‎ ‎∴在Rt△EFD中，∠EFD＝90°，tg∠EDC＝＝．………………………（2分）‎ ‎[方法二]在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，tgC＝＝．……………………（2分）‎ ‎∵DE是斜边AC上的中线，∴DE＝AC＝EC．…………………………………（1分）‎ ‎∴∠EDC＝∠C，………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴tg∠EDC＝tg∠C＝．……………………………………………………………（1分）‎ ‎（图三）‎ A D F E B C ‎21、如图三，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC ‎＝45°．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别 交边AB、BC于点F、E．若AD＝2，BC＝8，‎ 求：（1）BE的长；（2）∠CDE的正切值．‎ ‎（2004年上海市中考试题）‎ 解：（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE＝BE，…………………………………（1分）‎ ‎ ∵在△BDE中， DE＝BE，∠DBE＝45°，‎ ‎ ∴∠BDE＝∠DBE＝45°，‎ ‎ ∴∠DEB＝90°，即DE⊥BC，………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∵在等腰梯形ABCD中，AD＝2，BC＝8，易得 ‎ EC＝（BC－AD）＝3，……………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴BE＝5；………………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ （2）由（1）得DE＝BE＝5，………………………………………………………（1分）‎ ‎ 在△DEC中，∠DEC＝90°，DE＝5，EC＝3，‎ ‎ ∴tg∠CDE＝＝．………………………………………………………………（2分）‎ ‎（图一）‎ A C B D ‎21、已知：如图一，在梯形ABCD中，AD∥BC，‎ AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，联结点A、C．‎ ‎（1）求tan∠ACB的值；‎ ‎（2）若点M、N分别是AB、DC边的中点，联 结点M、N，求线段MN的长．（2009年上海市中考试题）‎ 解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E（如图一）．………………………………1分 ‎（图一）‎ A C B D E 在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，AB＝8，‎ ‎∴BE＝AB·cosB＝8×cos60°＝4，…………1分 AE＝AB·sinB＝8×sin60°＝4， ………1分 ‎∵BE＝4，BC＝12，∴EC＝8．………………1分 在Rt△ACE中，tan∠ACB＝＝＝． …………………………………1分 ‎（2）在梯形ABCD中，∵AB＝CD，∠B＝60°，‎（图二）‎ A C B D F E ∴∠DCB＝∠B＝60°. ………1分 过点D作DF⊥BC，垂足为点F（如图二），‎ ‎∵∠AEC＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF．……1分 ‎∵AD∥BC，∴四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝EF．……………………………………1分 在Rt△CDF中，FC＝DC·cos∠DCF＝8×cos60°＝4，‎ ‎∴EF＝EC－FC＝4，∴AD＝4．‎ ‎∵点M、N分别是AB、CD的中点，∴MN＝＝8． ……………………1分 ‎（图八）‎ D E C A B ‎23、已知：如图八，在梯形ABCD中，AD∥BC，‎ CA平分∠BCD．DE∥AC，交BC的延长线于点E，‎ ‎∠B＝2∠E．‎ ‎（1）求证：AB＝DC；‎ ‎（2）若tgB＝2，AB＝，求边BC的长． （2007年上海市学业考试试题）‎ ‎（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BCA＝∠E．…………………………………………（1分）‎ ‎∵CA平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠BCA．…………………………………………（1分）‎ ‎∴∠BCD＝2∠E．……………………………………………………………………（1分）‎ 又∵∠B＝2∠E，∴∠B＝∠BCD．…………………………………………………（1分）‎ ‎（图三）‎ D E C A B F G ‎∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB＝DC．…………………………………………（2分）‎ ‎（2）解：如图3，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分 别为F、G，则AF∥DG．‎ 在Rt△AFB中，tgB＝2，‎ ‎∴AF＝2BF．………………………………（1分）‎ 又∵AB＝，且AB2＝AF2＋BF2，∴5＝4BF2＋BF2，得BF＝1．……………（1分）‎ 同理可知，在Rt△DGC中，CG＝1．………………………………………………（1分）‎ ‎∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．‎ 又∵∠ACB＝ACD，∴∠DAC＝ACD．∴AD＝DC．‎ ‎∵DC＝AB＝，∴AD＝．……………………………………………………（1分）‎ ‎∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形．∴FG＝AD＝．……（1分）‎ ‎∴BC＝BF＋FG＋GC＝2＋．……………………………………………………（1分）‎ C B A D ‎（图一）‎ ‎21、已知：如图一，在梯形ABCD中，AD∥BC，‎ AC⊥AB，AD＝CD，cosB＝，BC＝26．‎ 求：（1）cos∠DAC的值；（2）线段AD的长．（2008年上海市学业考试模拟题）‎ 解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝＝．…………………（1分）‎ ‎∵BC＝26，∴AB＝10．………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴AC＝＝＝12．………………………………………（2分）‎ ‎∵AD//BC，∴∠DAC＝∠ACB．……………………………………………………（1分）‎ ‎∴cos∠DAC＝cos∠ACB＝＝；……………………………………………（1分）‎ C B A D ‎（图一）‎ E ‎（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E（如图一）．…………………………………（1分）‎ ‎∵AD＝DC，AE＝EC＝AC＝12．………（1分）‎ 在Rt△ADE中，cos∠DAE＝＝，（1分）‎ ‎∴AD＝13．……………………………………………………………………………（1分）‎ α A B C ‎（图一）‎ ‎12、如图一，自动扶梯AB段的长度为‎20米，倾 斜角A为α，高度BC为 米（结果用 含α的三角比表示）． （2005年上海市学业试题）‎ ‎20sinα．‎ ‎（图六）‎ O x y A B ‎19、已知：如图六，在直角坐标平面内，点O为 原点．点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，‎ BO＝5，sin∠BOA＝．‎ 求：（1）点B的坐标；（2）cos∠BAO的值．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ 解：（1）如图2，作BH⊥OA，垂足为点H．………………………………………（1分）‎ ‎（图二）‎ O x y A B H 在Rt△OHB中，∵BO＝5，sin∠BOA＝，‎ ‎∴BH＝3．…………………………………（2分）‎ ‎∴OH＝4．…………………………………（1分）‎ ‎∴点B的坐标为（4，3）． ………………（2分）‎ ‎（2）∵OA＝10，OH＝4，∴AH＝6． ……………………………………………（1分）‎ 在Rt△AHB中，∵BH＝3，∴AB＝3．………………………………………（1分）‎ ‎∴cos∠BAO＝＝．…………………………………………………………（2分）‎ ‎12、某飞机在离地面‎1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是 米． （2001年上海市中考试题）800．‎ ‎10、在离旗杆‎20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为‎1.5米，那么旗杆的高为 米（用含α的三角比表示）．‎ ‎（2002年上海市中考试题）20tgα＋1.5 ．‎ ‎11、某山路的路面坡度i＝1︰，沿此山路向上前进‎200米，升高了 米．‎ ‎ （2004年上海市中考试题）10 ．‎ 十二、圆 ‎21、“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图七所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，点A是OD与圆O的交点．‎ DE＝4‎ CE＝5‎ r＝‎ AD＝7‎ OC⊥DE I＝1︰0.75‎ O A C D E H ‎（图七）‎ O A C D E H ‎（图八）‎ F B ‎（1）请你帮助小王在图八中把图形补画完整；‎ ‎（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i＝1︰0.75是坡面CE的坡度），求r的值． （2008年上海市学业试题）‎ 解：（1）（图形正确）；………………………………………………………………（3分）‎ ‎（2）由已知OC⊥DE，垂足为点H，则∠CHE＝90°．∵i＝1︰0.75，∴＝．‎ 在Rt△HEC中，EH2＋CH2＝EC2．设CH＝4k，EH＝3k（k＞0），‎ 又∵CE＝5，得（3k）2＋（4k）2＝52，解得k＝1，∴EH＝3，CH＝4，………（3分）‎ ‎∴DH＝DE＋EH＝7，OD＝OA＋AD＝r＋7，OH＝OC＋CH＝r＋4．‎ 在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴（r＋4）2＋72＝（r＋7）2，‎ 解得r＝．…………………………………………………………………………（3分）‎ ‎16、在圆O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝ ．‎ ‎5． （2009年上海市中考试题）‎ ‎（图六）‎ A C B ‎18、在△ABC中，AB＝AC＝5，cosB＝（如图 六）．如果圆O的半径为，且经过点B、C，那么 线段AO的长等于 ．A C B ‎（图一）‎ O1‎ O2‎ （2008年上海市学业试题）‎ ‎ 解：3或5．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎（图五）‎ ‎16．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图五所示．为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是…………………………（ B ）‎ ‎（A）第①块； （B）第②块；‎ ‎（C）第③块； （D）第④块．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ ‎10、已知圆O的弦AB＝8，相应的弦心距OC＝3，那么圆O的半径长等于 ． ‎ ‎（2003年上海市中考试题）5 ．‎ ‎21、（本题满分10分）‎ ‎（图五）‎ ‎·‎ A B C ‎ 本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半 径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得 A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC 长为‎240米，A到BC的距离为‎5米，如图五所示．请 你帮他们求出滴水湖的半径．（2006年上海市学业试题）‎ 解：设圆心为点O，连结OB、OA，OA交线段BC于点D．……………………（1分）‎ ‎∵AB＝AC，∴AB＝AC．∴OA⊥BC，且BD＝DC＝BC＝120 ．……………（1分）‎ 由题意，DA＝5 ．……………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 在Rt△BDO中，OB2＝OD2＋BD2，…………………………………………………（2分）‎ ‎ 设OB＝x米，…………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 则x2＝（x－5）2＋1202，……………………………………………………………（2分）‎ ‎∴x＝1442.5 ．…………………………………………………………………………（1分）‎ 答：滴水湖的半径为‎1442.5米．……………………………………………………（1分）‎ ‎（图一）‎ O1‎ O2‎ B A ‎17、如图一，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它 们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B 的面积为 ． 2．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ M A P N Q ‎·‎ ‎（图一）‎ ‎27、如图一，公路MN和公路PQ在点P处交汇，‎ 且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝‎160米．‎ 假设拖拉机在公路行驶时，周围‎100米以内受到噪声 的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，‎ 学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，‎ 已知拖拉机的速度为‎18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少秒？‎ ‎ （2000年上海市中考试题）‎ M A P N Q ‎·‎ ‎（图一）‎ 解：若以A为圆心，‎100米为半径作圆，那么圆 C D E A和直线MN有两个交点分别是C、D，过A作MN 的垂线AE，垂足是E，在直角△AEP中，∠AEP＝‎ ‎90°，∠APE＝30°，AP＝‎160米，AE＝AP＝80‎ 米．因为点A到直线MN的距离小于‎100米，所以 这所学校会受到噪声影响．由勾股定理及垂径定理可计箅得EC＝‎60米，所以CD＝‎120米，学校受到噪声影响时间t＝120÷18＝24秒．‎ ‎11、一个圆弧形门拱的拱高为‎1米，跨度为‎4米，那么这个门拱的半径为 _米． （2001年上海市中考试题）2.5 ．‎ ‎（图六）‎ ‎·‎ A B C D E F O ‎23、已知：如图六，圆O是△ABC的外接圆，圆心 O在这个三角形的高CD上，点E和F分别是边AC和 BC的中点．‎ 求证：四边形CEDF是菱形．‎ ‎（2005年上海市学业试题）‎‎（图一）‎ 证法一：∵点O为圆心，AB为圆O的弦，OD⊥AB，∴AD＝BD．…（2分）‎ 又∵CD⊥AB，∴AC＝BC．‎ ‎∵∠CDA＝90°，点E是AC的中点，∴DE＝AC＝EC．……………………（1分）‎ 同理DF＝BC＝FC．………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴DE＝EC＝CF＝FD．………………………………………………………………（2分）‎ ‎∴四边形CEDF是菱形．……………………………………………………………（2分）‎ 证法二：∵点O为圆心，AB为圆O的弦，OD⊥AB，∴AD＝BD．……（2分）‎ ‎∵点D和F分别是边AB和BC的中点，∴FD∥AC，且FD＝AC．…………（2分）‎ ‎∵点E是AC的中点，∴EC＝AC＝FD．…………………………………………（1分）‎ ‎∴四边形CEDF是平行四边形．………………………………………………………（2分）‎ ‎∵∠CDA＝90°，点E是AC的中点，∴DE＝AC＝EC．……………………（1分）‎ ‎∴四边形CEDF是菱形．………………………………………………………（2分）‎ 证法三：连结EF，交CD于点G．‎ ‎∵点E、F分别为AC、BC的中点，∴EF∥AB．…………………………（1分）‎ ‎∴CG＝DG，EG︰AD＝CG︰CD＝GF︰DB．………………………………（1分）‎ ‎∵点O为圆心，AB为圆O的弦，OD⊥AB，∴AD＝BD．………………（2分）‎ ‎∴EG＝GF．……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵CG＝DG，EG＝GF，∴四边形CEDF是平行四边形．…………………（2分）‎ ‎∵EF∥AB，CD⊥AB，∴CD⊥EF．…………………………………………（1分）‎ ‎∴四边形CEDF是菱形．………………………………………………………（2分）‎ ‎3、直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． （2004年上海市中考试题）‎ ‎4或5．‎ ‎13、如果半径分别为2和3的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是 ．‎ ‎ （2005年上海市学业试题）5．‎ ‎16、已知圆O1和圆O2外切，半径分别为‎1cm和‎3cm，那么半径是‎5cm且与圆O1、圆 O2都相切的圆一共可以作出 个． （2000市上海市中考试题）6．.‎ ‎14、矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12 ．如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是 ．‎ ‎（2003年上海市中考试题）1＜r＜8或18＜r＜25．‎ ‎11、已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P引圆O的切线，那么切线长是 ． （2006年上海市学业试题）‎ 解：．‎ ‎6、下列结论中，正确的是…………………………………………………………（ ）‎ ‎（A）圆的切线必垂直于半径； （B）垂直于切线的直线必经过圆心；‎ ‎（C）垂直于切线的直线必经过切点； （D）经过圆心与切点的直线必垂直于切线．D．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ B M A P O ‎（图一）‎ ‎23、已知：如图一，过圆O外一点B作圆O的切 线BM, 点M为切点，BO交圆O于点A，过点A作 BO的垂线，交BM于点P，BO＝3，圆O半径为1 ．‎ 求：MP的长． （2000年上海市中考试题）‎ 解：MP＝．‎ ‎12、两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为 ．‎ ‎（2002年上海市中考试题）5 ．‎ ‎（图一）‎ A B C D O M N ‎·‎ ‎24、已知：如图一，AB是半圆O的直径，弦 CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，‎ 且分别和直线AB相交于点M、N．‎ ‎（1）求证：MO＝NO；‎ ‎（2）设∠M＝30°，求证：MN＝4CD． （2002年上海市中考试题）‎ 答案：（1）OM＝ON；（2）4CD． ‎ ‎（图一）‎ B O P A ‎6．如图一，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是……………………………………………………（ ）‎ ‎（A）4； （B）8；‎ ‎（C）4； （D）8． B．‎ ‎（2008年上海市学业试题）‎ ‎（图一）‎ E A B C D ‎24、已知：如图一，在△ABC中，∠B＝90°∠A的 平分线交BC于点D，点E为AB上的一点，DE＝DC，‎ 以点D为圆心，DB长为半径作⊙D．‎ 求证：（1）AC是⊙D的切线；‎ ‎（2）AB＋EB＝AC． （2001年上海市中考试题）‎ 证明：（1）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，‎ ‎∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DF＝BD ， ∴AC为⊙D的切线． ‎ ‎（2）‎ ‎17、下列命题中，正确的是……………………………………………………（ ）‎ ‎（A）三点确定一个圆； （B）两个等圆不可能内切；‎ ‎（C）一个三角形有且只有一个内切圆； （D）一个圆有且只有一个外切三角形．‎ ‎ （2003年上海市中考试题）BC ‎17、如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能有……（ ）‎ ‎ （A）1条； （B）2条； （C）3条； （D）4条．‎ ‎ （2002年上海市中考试题）ABC．‎ ‎10、如果两个圆的一条外公切线长等于5，另一条外公切线长等于‎2a＋3，那么a＝ ． 1． （2007年上海市学业考试试题）‎ ‎18、如果⊙О1、⊙О2的半径分别为4、5，那么下列叙述中，正确的是……（ ）‎ ‎（A）当О1О2＝1时，⊙О1与⊙О2内切；‎ ‎（B）当О1О2＝5时，⊙О1与⊙О2有两个公共点；‎ ‎（C）当О1О2＞6时，⊙О1与⊙О2必有公共点；‎ ‎（D）当О1О2＞1时，⊙О1与⊙О2至少有两条公切线．‎ ‎（2001年上海市中考试题）ABD．‎ ‎17、下列命题中，正确的是……………………………………………………（ ）‎ ‎ （A）一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外；‎ ‎ （B）一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；‎ ‎ （C）两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；‎ ‎ （D）圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点．‎ ‎ （2004年上海市中考试题）A、C、D．‎ ‎13、正十五边形的中心角等于 （度）．（2000市上海市中考试题）‎ ‎ 24 ．‎ ‎5、下列正多边形中，中心角等于内角的是……………………………………（ ）‎ ‎（A）正六边形； （B）正五边形； （C）正四边形； （D）正三边形．C．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ ‎18、下列命题中，正确的是………………………………………………………（ ）‎ ‎ （A）正多边形都是轴对称图形；‎ ‎ （B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；‎ ‎ （C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减小；‎ ‎ （D）边数大于3的正多边形的对角线长都相等． （2002年上海市中考试题）AC．‎ ‎8、正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴．‎ ‎（2004年上海市中考试题）6 ．‎ 十三、综合 统计初步与一元一次方程 ‎24、小明家使用的是分时电表，按平时段（6︰00～22︰00）和谷时段（22︰00～次日6︰00）分别计费．平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元．小明将家里2005年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图7），同时将前4个月的月用电量和相应电费制成表格（如表1）．‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎0‎ ‎1月 ‎2月 ‎3月 ‎4月 ‎5月 月份 用电量（度）‎ ‎10‎ ‎17‎ ‎34‎ ‎50‎ ‎65‎ ‎45‎ ‎55‎ ‎64‎ ‎75‎ ‎80‎ 谷时段用电量 平时段用电量 ‎（图七）‎ ‎（表一）‎ ‎ 项目月份 月用电量 ‎（度）‎ 电费（元）‎ ‎1月 ‎90‎ ‎51.80‎ ‎2月 ‎92‎ ‎50.85‎ ‎3月 ‎98‎ ‎48.24‎ ‎4月 ‎105‎ ‎48.55‎ ‎5月 根据上述信息，解答下列问题：‎ ‎（1）计算5月份的月用电量及相应电费，将所得结果填人表1中；‎ ‎（2）小明家这5个月的月平均用电量为 度；‎ ‎（3）小明家这5个月每月用电量呈 趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈 趋势（选择“上升”或“下降”）；‎ ‎（4）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电量可达500度，相应电费将达243元．请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量．‎ ‎ （2005年上海市学业试题）‎ ‎（1）110，46.95；（2）99；（3）上升，下降．（每小题各2分，共6分）‎ ‎（4）解：设小明家7月份平时段用电量为x度，谷时段用电量为y度．（1分）‎ 根据题意，得…………………………………………（2分）‎ 解得 答：设小明家7月份平时段用电量为300度，谷时段用电量为200度．…（1分）‎ ‎28、已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为点P．‎ ‎（1）求:这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）设点D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标．‎ ‎（2000市上海市中考试题）‎ 解：（1）由条件得6＝（－3）2－3b＋c与0＝（－1）2－x＋c，‎ 可以解得b＝－1，c＝－．‎ ‎（图一）‎ C O A B x y P D E F ‎∴所求二次函数解析式是y＝x2－x－．‎ ‎（2）由（1）可求得此函数图象顶点是P（1，－2），‎ 由函数式等于0，得到方程的解分别为3与－1，∴点C 坐标是（3 ，0），‎ 作AE、PF垂直于x轴，垂足分别是E、P．易得AE ‎＝EC＝6，即△PEC为等腰直角三角形，‎ 所以∠ACE＝45°．‎ 同理可得△PFC是等腰直角三角形，∴∠PCE＝45°，‎ 设点D坐标是（a，0），那么DC＝OC－OD＝3－a．‎ ‎∵∠PCD＝∠ACB, ∠DPC＝∠BAC，∴△DPC∽△BAC．‎ ‎∴DC︰BC＝PF︰AF，即（3－a）︰（3＋1）＝2︰6，‎ ‎∴得a＝，点D坐标为（，0）．‎ ‎24、已知：如图一，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，－3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B、C两点，交y轴于点D、E两点．‎ ‎（图一）‎ ‎·‎ O x C A.‎ y B D ‎（1）求点B、C、D的坐标；‎ ‎（2）如果一个二次函数图像经过B、C、D三点，‎ 求这个二次函数解析式；‎ ‎（3）点P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆 A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图像于 点F，当△CPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ 解：（1）∵点A的坐标为（0，－3），线段AD＝5，‎ ‎∴点D的坐标（0，2）．……………………………………………………………（1分）‎ 连结AC，在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝3，AC＝5，∴OC＝4． ……（1分）‎ ‎∴点C的坐标为（4，0）；…………………………………………………………（1分）‎ 同理可得 点B坐标为（－4，0）． ………………………………………………（1分）‎ ‎（2）设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，‎ 由于该二次函数的图像经过B、C、D三点，则 ……………（3分）‎ 解得 ∴所求的二次函数的解析式为y＝－x2＋2．…………………（3分）‎ ‎（图一）‎ ‎·‎ O x C A.‎ y B P F D ‎（3）设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，……………………………………（1分）‎ ‎∴点F的坐标为（t，－t2＋2），‎ ‎∴PC＝t－4，PF＝t2－2，‎ ‎∵∠CPF＝90°，‎ ‎∴当△CPF中一个内角的正切值为时，‎ ‎①若PC︰PF＝1︰2时，即（t－4）︰（t2－2）＝1︰2，‎ 解得t1＝12，t2＝4（舍）；……………………………………………………………（1分）‎ ‎②当PF︰PC＝1︰2时，即（t2－2）︰（t－4）＝1︰2，‎ 解得t1＝0（舍），t2＝4（舍）；……………………………………………………（1分）‎ ‎∴所求点P的坐标为（12，0）．……………………………………………………（1分）‎ ‎（图一）‎ A B O P H G ‎29、已知：如图一，在半径为6，圆心角为90°的 扇形OAB的弧AB上有一个动点P，PH⊥OA，垂足为 点H，△OPH的重心为G．‎ ‎（1）当点在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH 中，有无长度保持不变的线段? 如果有，请指出这样的 线段，并求出相应的长度；‎ ‎（2）设PH＝x，GP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；‎ ‎（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH长． （2000市上海市中考试题）‎ 解：（1）在线段GO、GP、GH中有保持不变的线段是GH．‎ 延长PG交OH于点D，延长HG交OP于点E．由于点G是△POH的重心，‎ ‎∴GH＝HE＝·OP＝2；‎ ‎（2）在直角△OPH中，OH＝＝．DH＝OH＝．‎ 在直角△DPH中，DP＝＝，‎ ‎∴y＝GP＝DP＝．0＜x＜6 ．‎ ‎（3）△PGH是等腰三角形有三种可能情况：‎ 当GP＝PH时，即＝x. 解得x＝，经检验是原方程根且符合题意；‎ 当GP＝GH时，即＝2解得x＝0，不符合题意，故舍去；‎ 当PH＝GH时，即x＝2 ．‎ 综上所述，如果△PGH是等腰三角形，那么线段PH的长等于或2 ．‎ A B P D C ‎（图一）‎ ‎27、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，‎ AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2 ．‎ ‎（1）如图一，点P为AD上的一点，满足 ‎∠BPC＝∠A，‎ ‎① 求证：△ABP∽△DPC；‎ ‎②求AP的长．‎ ‎（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ‎①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数的定义域；‎ ‎②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．‎ ‎（2001年上海市中考试题）‎ ‎（图二）‎ Q A B P D C E 答案：（1）①略；②设AP＝x，∵△APB∽△DCP，∴AP︰DC＝AB︰PD，∴x︰2＝2︰（5－x），∴x＝1或4；‎ ‎（2）①如图二，∵△APB∽△DQP，‎ ‎∴AP︰DQ＝AB︰PD，‎ ‎∵AP＝x，CQ＝y，AD＝5，AB＝DC＝2，‎ ‎∴x︰（2＋y）＝2︰（5－x），‎ ‎∴y＝－x2＋x－2，由y＞0，得定义域为1＜x＜4；‎ ‎②如图二，∵△APB∽△CQE，∴AP︰CQ＝AB︰CE，‎ ‎∵AP＝x，CQ＝y，CE＝1，AD＝5，AB＝DC＝2，‎ ‎（图三）‎ Q A B P D C E ‎∴x︰y＝2︰1，∴x＝2y，即x＝2（－x2＋x－2），∴x＝2，∴AP＝2；‎ 如图三，∵△APB∽△DQP，‎ ‎∴AP︰DQ＝AB︰PD，‎ ‎∵AP＝x，CQ＝y，AD＝5，AB＝DC＝2，‎ ‎∴x︰（2－y）＝2︰（5－x），‎ ‎∴y＝x2－x＋2，由y＞0，得定义域为0＜x＜1或4＜x＜5 ．‎ ‎∵△BAP∽△PDQ∽△ECQ，∴AB︰EC＝AP︰CQ，‎ ‎∵AB＝2，CE＝1，AP＝x，CQ＝y，∴2︰1＝x︰y，∴x＝2y，即x＝2（x2－x＋2），∴x＝3－（x＝3＋舍去）．AP＝3－．‎ 比例线段、相似三角形、函数、等腰三角形、勾股定理（九上）‎ ‎（图一）‎ A P B D Q C ‎25、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）‎ ‎25、已知：如图一，∠ABC＝90°，AB＝2，BC ‎＝3，AD∥BC，点P为线段BD上的动点，点Q在射 线AB上，且满足＝．‎ ‎（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图二），‎ 求线段PC的长；‎ ‎（2）在图一中，联结AP，当AD＝，且点Q在 A P B D Q C ‎（图三）‎ A P B（Q）‎ D C ‎（图二）‎ 线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，＝y，‎ 其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面 积，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上 时（如图三），求∠QPC的大小． （2009年上海市中考试题）‎ 解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC．‎ ‎∵AD＝AB＝2，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠DBC.‎ ‎∵∠ABC＝90°，∴∠PBC＝45°．…………1分 A P B（Q）‎ D C ‎（图二）‎ ‎∵＝，AD＝AB，点Q与点B重合（如图二），‎ ‎∴PB＝PQ＝PC，‎ ‎∴∠PCB＝∠PBC＝45°，……………………1分 ‎∴∠BPC＝90°．………………………………1分 在Rt△BPC中，PC＝BC·cosC＝3×cos45°＝． ……………………………1分 ‎（2）过点P作PE⊥BC，PF⊥AB，垂足分别为点E、F（如图一）． ……………1分 E F ‎（图一）‎ A P B D Q C ‎∴∠PFB＝∠PEB＝90°＝∠ABC，‎ ‎∴四边形FBEP是矩形，∴PF∥BC，PE＝PF．‎ ‎∵AD∥BC，∴PF∥AD，∴＝．‎ ‎∵AD＝，AB＝2，∴＝． ………1分 ‎∵AQ＝AB－QB＝2－x，BC＝3，∴＝，‎ ‎∵BC＝3，∴ y＝＝＝·＝×＝－x＋，…2分 函数的定义域是0≤x≤． ……………………………………………………………1分 ‎（3）过点P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分别为点M、N（如图三）．……………1分 M N A P B D Q C ‎（图三）‎ 易得四边形PNBM是矩形，‎ ‎∴PN∥BC，PM＝BN，∠MPN＝90°．‎ ‎∵AD∥BC，∴PN∥AD，‎ ‎∴＝，∴＝．‎ ‎∵＝，∴＝．………………………………………………………1分 又∵∠PMC＝∠PNQ＝90°，∴Rt△PMC∽Rt△PNQ，………………………………1分 ‎∴∠CPM＝QPN．…………………………………………………………………………1分 ‎∵∠MPN＝90°，∴∠CPM＋QPM＝∠QPN＋∠QPM＝∠MPN＝90°，‎ 即∠QPC＝90°．…………………………………………………………………………1‎ 分 ‎（图一）‎ A B C P O y x ‎26、如图4，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点 A、C，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x 轴，点B为垂足，S△ABP＝9．‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧．作RT⊥x轴，点T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．‎ ‎（2002年上海市中考试题）‎ ‎（图一）‎ P A B C O y x R T C 解：（1）可以求得点A（－4，0）、C（0，2）．‎ R 设点P（a，a＋2）（a＞0），则点B（a，0），‎ ‎∴AB＝a＋4．PB＝a＋2．‎ ‎∵S△ABP＝9，∴AB·PB＝9，∴（a＋4）（a＋2）＝9，∴a＝2或－10，‎ ‎∵点P是该直线上在第一象限内的一点，∴取a＝2，∴点P的坐标为（2，3）．‎ ‎（2）设反比例函数的解析式是y＝，∵点P（2，3）在反比例函数的图象上，‎ ‎∴3＝，∴k＝6，∴反比例函数是y＝，‎ ‎∵点R与点P在同一个反比例函数的图象上，‎ 设R（b，），T（b，0），其中b＞2，那么BT＝b－2，RT＝，‎ 当△RTB∽△AOC时，RT︰CO＝BT︰AO，RT︰BT＝AO︰CO＝2，‎ ‎∴︰（b－2）＝2，∴b1＝－1（舍去），b2＝2，∴R的坐标为（3，2）．‎ 当△RTB∽△COA时，RT︰AO＝BT︰CO，RT︰BT＝CO︰AO＝1︰2，‎ ‎∴︰（b－2）＝1︰2，∴b1＝1－（舍去），b2＝1＋，‎ ‎∴点R的坐标为（1＋，），‎ 所以，点R的坐标为（3，2）或（1＋，）．‎ ‎27、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．‎ ‎ 探究：设A、P两点间的距离为x．‎ ‎（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；‎ ‎（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）‎ ‎（2002年上海市中考试题）‎ A B C D A B C D A B C D ‎（图5）‎ ‎（图6）‎ ‎（图7）‎ M P A B C D Q ‎（图一）‎ N 解：（1）作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N（如图一）．‎ 可以证明△PNQ≌△PMB，∴PQ＝PB．‎ ‎（2）如图一，M 可以求得PC＝－x，‎ A（P）‎ B C D（Q）‎ ‎（图二）‎ ‎∴S四边形PBCQ＝S正方形PMCN＝PC2＝（－x）2‎ ‎∴y＝x2－x＋1， 0≤x＜；‎ ‎（3）△PCQ可能成为等腰三角形．‎ ‎（图三）‎ A Q B C D P E F 当点P与点A重合时，点Q与点D重合，‎ 这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形．此时x＝0；‎ 当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，‎ ‎△PCQ是等腰三角形．‎ 如图三，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，设PC＝m，‎ ‎∴PE＝PF＝CE＝CF＝m，‎ 当PC＝CQ＝m时，BE＝FQ＝CF＋CQ＝m＋m，‎ ‎∵BE＋CE＝1，∴（m＋m）＋m＝1，‎ ‎∴m＝－1 ．此时x＝AP＝AC－PC＝1 ．‎ ‎（图一）‎ A D B G E C O x ‎25、已知：正方形ABCD的边长为2，点E是射 线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线 BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O．‎ ‎（图二）‎ ‎（备用图）‎ A B C D ‎（1）如图一，当CE＝时，求线段BG的长；‎ ‎（2）当点O在线段BC上时，设＝x，BO＝‎ y，求y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）当CE＝2ED时，求线段BO的长．‎ ‎（2008年上海市学业考试模拟题）‎ 解：（1）在边长为2的正方形ABCD中，CE＝，得DE＝，‎ 又∵AD∥BC，即AD∥CG，∴＝＝，得CG＝1．…………………（2分）‎ ‎∵BC＝2，∴BG＝3．…………………………………………………………………（1分）‎ ‎（图一）‎ A D B G E C O F ‎（2）当点O在线段BC上时，过点O作OF⊥AG，垂足为点F（如图一），‎ ‎∵AO为∠BAE的角平分线，∠ABO＝90°，‎ ‎∴OF＝BO＝y．………………………………（１分）‎ 在正方形ABCD中，AD∥BC，∴＝＝x．‎ ‎∵AD＝2，∴CG＝2x．………………………（１分）‎ 又∵＝x，CE＋ED＝2，得CE＝．………………………………………（１分）‎ ‎∵在Rt△ABG中，AB＝2，BG＝2＋2x，∠B＝90°，∴AG＝2．‎ ‎∵AF＝AB＝2，∴FG＝AG－AF＝2－2．…………………………（１分）‎ ‎∵△GOF∽△GAB，∴OF︰FG＝AB︰BG，‎ 即y︰（2－2）＝2︰（2＋2x），‎ ‎（图二）‎ A D B G E C O ‎∴y＝，（x≥0）．…………………………………………（2＋1分）‎ ‎（3）当CE＝2ED时，‎ ‎①当点O在线段BC上时（如图二），即x＝2，‎ 由（2）得OB＝y＝； ………（1分）‎ ‎（图三）‎ A D B E C O ‎②当点O在线段BC延长线上时（如图三），CE＝4，ED＝DC＝2，在 Rt△‎ ADE中，AE＝2．‎ 设AO交线段DC于点H，‎ ‎∵AO是∠BAE的平分线，即∠BAH＝∠HAE，‎ 又∵AB∥CD，∴∠BAH＝∠AHE，‎ ‎∴∠HAE＝∠AHE，‎ ‎∴EH＝AE＝2．∴CH＝4－2．……………………………………………（1分）‎ ‎∵AB∥CD，∴＝，即＝，得BO＝2＋2．……（2分）‎ 一次函数、两点之间的距离公式、两圆之间位置关系、分类讨论（八下）‎ ‎（图一）‎ y M C O x ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ A ‎1‎ ‎－1‎ ‎24、已知：如图一，在直角坐标平面内，点O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴，点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交与点D，联结OD．‎ ‎（1）求b的值和点D的坐标；‎ ‎（2）设点P在x轴上，若△POD是等腰三角形，‎ 求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆 P与圆O外切，求圆O的半径．‎ ‎（2009年上海市中考试题）‎ 解：（1）∵点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0）， ……………………………………………………………1分 ‎∵直线y＝x＋b经过点B，∴－1＋b＝0，得b＝1． …………………………………1分 ‎∵点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴，∴设点D的坐标为（x，4）．…………1分 ‎∵直线y＝x＋1与直线CM相交于点D，∴x＝3，∴点D的坐标为（3，4）．……1分 ‎（2）∵D的坐标为（3，4），∴OD＝5．……1分 y M C O x ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ A ‎1‎ ‎－1‎ D P1‎ P3‎ P2‎ ‎（图一）‎ 当PD＝OD＝5时，点P的坐标为（6，0）； 1分 当PO＝OD＝5时，点P的坐标为（5，0）； 1分 当PO＝PD时，设点P的坐标为（x，0）（x＞0），‎ ‎∴x＝，得x＝，‎ ‎∴点P的坐标为（，0）．…………………1分 y M C O x ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ A ‎1‎ ‎－1‎ ‎－1‎ D P1‎ P3‎ P2‎ ‎（图二）‎ 综上所述，所求点P的坐标是（6，0）、（5，0）、（，0）（如图一）．…………1分 ‎（3）当以PD为半径的圆P与圆O外切时，‎ 若点P的坐标为P2（6，0）（如图二），‎ 则圆P的半径PD＝5，‎ 圆心距PO＝6，∴圆O的半径r＝1． ………2分 若点P的坐标为P1（5，0）（如图三），‎ ‎（图三）‎ y M C O x ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ A D P1‎ P3‎ P2‎ ‎－1‎ 则圆P的半径PD＝2，‎ 圆心距PO＝5，∴圆O的半径r＝5－2．2分 综上所述，所求圆O的半径等于1或5－2．‎ 说明：若点P的坐标为P3（，0）时，r＝0．‎ ‎27、如图一，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过点E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，点G为切点；‎ ‎（1）当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；‎ ‎（2）设AE＝x ，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ A B C D E F G A B C D A B C D E F G D1‎ ‎（图一）‎ ‎（图二）‎ ‎（备用图）‎ ‎（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图（2），当时，讨论△AD1D与△ED‎1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由． （2003年上海市中考试题）‎ ‎（1）证明：∵∠DEF＝45°，得∠DFE＝90°－∠DEF＝45°，‎ ‎∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝DF，又∵AD＝DC，∴AE＝FC．………………………1分 ‎∵AB是⊙B的半径，AD⊥AB，∴AD切⊙B于点A；………………………………1分 同理，CD切⊙B于点C．‎ 又∵EF切⊙B于点C，∴AE＝EG，FC＝FG． ………………………………………1分 ‎∴EG＝FG，即点G是线段EF的中点． ………………………………………………1分 ‎（2）解：∵EG＝AE＝x，FG＝CF＝y，∴ED＝1－x，FD＝1－y．‎ 在Rt△DEF中，由ED2＋FD2＝EF2，得（1－x）2＋（1－y）2＝（x＋y）2．……2分 A B C D E F G D1‎ H ‎（图一）‎ ‎∴y＝， 0＜x＜1 ．…………………1分，1分 ‎（3）解：当EF＝时，由（2）得 EF＝EG＋FG＝x＋＝，‎ 得x1＝，或x2＝，即AE＝，或AE＝．‎ ‎①当AE＝时，△AD1D∽△ED‎1F．…………………………………………………1分 证明如下：设直线EF交线段DD1于点H（如图一），‎ 根据题意，△EDF≌△ED‎1F1；EF⊥DD且DH＝D1H．‎ ‎∵AE＝，AD＝1，得AE＝ED，∴EH∥AD1，‎ ‎∴∠D1AD＝∠FED＝∠FED1，…………………………………………………………1分 ‎∠AD1D＝∠EHD＝90°．‎ 又∵∠ED‎1F＝∠EDF＝90°，∴∠ED‎1F＝∠ADD，…………………………………1分 ‎∴△AD1D∽△ED‎1F． ‎ ‎②当AE＝时，△AD1D与△ED‎1F不相似． ………………………………………1分 ‎（图五）‎ A B O C ‎26、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，‎ 圆A的半径为1，如图五所示．若点O在BC边上运动 ‎（与点B、C不重合），设BO＝x，△AOC的面积为y，‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义 域；‎ ‎（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积．‎ ‎（2004年上海市中考试题）‎ 解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．………………………………………………（1分）‎ ‎∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝4，AH＝BC＝2，‎ ‎∴S△AOC＝AH·CO＝4—x，‎ 即y＝－x＋4，0＜x＜4；……………………………………………………（1分）（1分）‎ ‎（2）当点O与点H重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点H不重合时，在Rt△AOH中，‎ AO2＝AH2＋OH2＝4＋|2－x|2＝x2－4x＋8，…………………………………………（1分）‎ ‎∵圆A的半径为1，圆O的半径为x，‎ ‎∴①当圆A与圆O外切时，（x＋1）2＝x2－4x＋8，………………………………（1分）‎ 解得：x＝，…………………………………………………………………………（1分）‎ 此时△AOC的面积y＝4－＝；………………………………………………（1分）‎ ‎②当圆A与圆O内切时，（x－1）2＝x2－4x＋8，…………………………………（1分）‎ 解得：x＝，…………………………………………………………………………（1分）‎ 此时△AOC的面积y＝4—＝，…………………………………………………（1分）‎ ‎∴当圆A与圆O相切时，△AOC的面积为或．‎ 函数、锐角比、图形的运动 ‎24、（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分4分）‎ 如图八，在直角坐标系中，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB＝2．二次函数y＝x2＋mx＋2的图象经过点A、B，顶点为点D．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（图八）‎ O x y A B ‎（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落 到点C的位置，将上述二次函数图象沿y轴向上或向下 平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得 图象的函数解析式；‎ ‎（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的 交点为B1，顶点为D1 ．点P在平移后的二次函数图象 上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点 P的坐标． （2006年上海市学业试题）‎ 说明：（1）本题所要求的二次函数的解析式已经给出，只不过其中有一个系数未知，因此只要求一个条件即可求得这个系数．根据解析式可得，图像与y轴的交点B的坐标为（0，2）．再结合tan∠OAB＝2，可求得点A的坐标，从而求得这个二次函数的解析式．‎ ‎（2）要求点C坐标，其实只需根据条件将线段AB绕点A顺时针旋转90°，根据△ABO≌△CAH，可得AH＝BO＝2，CH＝AO＝1，从而得到点C的坐标（3，1）．图像上下作平移运动时，保持开口方向和大小不变，因此二次项系数a不变．对称轴不变，结合二次项系数。可得一次项系数b也不变．因此根据点C的坐标，不难求得常数项c的值．‎ ‎（3）由第（2）题的结论可知，经过平移后的图像是原图像向下平移1个单位所得，因此BB1＝DDl＝1．所以根据面积的关系，可求得点P的横坐标，进而可求得点户的坐标．‎ 解：（1）由题意，点B的坐标为（0，2），…………………………………………（1分）‎ ‎∴OB＝2，∵tan∠OAB＝2，即＝2，‎ ‎（图一）‎ O x y A B C ‎∴OA＝1，∴点A的坐标为（1，0）．（2分）‎ 又∵二次函数y＝x2＋mx＋2的图象过点A，‎ ‎∴0＝12＋m＋2，解得m＝－3，…（1分）‎ ‎ ∴所求二次函数的解析式为y＝x2－3x＋2．（1分）‎ ‎ （2）由题意，可得点C的坐标为（3，1），（2分）‎ ‎ ∴所求二次函数解析式为y＝x2－3x＋1． （1分）‎ ‎ （3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴直线x＝不变，且BB1＝DD1＝1．………………………………………（1分）‎ ‎ ∵点P在平移后所得二次函数图象上，设点P的坐标为（x，x2－3x＋1）．‎ ‎ 在△PBB1和△PDD1中，∵＝2，∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍．‎ ‎（图二）‎ P1‎ B1‎ P2‎ O x y D B D1‎ ‎ ①当点P在对称轴的右侧时，‎ x＝2（x－），得x＝3，∴点P的坐标为（3，1）；‎ ‎②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，‎ x＝2（－x），得x＝1，∴点P的坐标为（1，－1）；‎ ‎③当点P在y轴的左侧时，x＜0，又－x＝2（ －x），得x＝3＞0（舍去）．‎ 综上所述，所求点P的坐标为（3，1）或（1，－1）．……………………………（3分）‎ 说明：看到函数解析式，即可得到两条重要信息：①解析式中除两个变量x、y外，还有几个字母，那么就需要几个条件才能求得；②图像与y轴交点的纵坐标，即为常数项．图形作旋转运动时，其形状、大小保持不变．解决问题时，要抓住其关键点，像本题中，不一定要把△OAB一起旋转．第（3）小题可解为：由题意，得BB1＝DD1＝1，对称轴x＝．‎ 设点P的坐标为（x，y）．∵＝2，∴×1×|x|＝2××1×|x－|，‎ 解得x1＝3，x2＝1．‎ 圆、相似形 ‎ 25、已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上．以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．‎ ‎（1）如图九，如果AP＝2PB，PB＝BO．求证：△CAO∽△BCO；‎ ‎（2）如果AP＝m（m是常数，且m＞1），BP＝1，‎ ‎（图九）‎ O B C A P OP是OA、OB的比例中项．当点C在圆O上运动时，‎ 求AC︰BC的值（结果用含m的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B 和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取 值范围． （2006年上海市学业试题）‎ ‎（1）证明：∵AP＝2PB＝PB＋BO＝PO，‎ ‎ ∴AO＝2PO．∴AO︰PO＝PO︰BO＝2 ．…………………………………………（2分）‎ ‎ ∵PO＝CO，……………………………………………………………………………（1分）‎ ‎ ∴AO︰CO＝CO︰BO．∵∠COA＝∠BOC，∴△CAO∽△BCO．………………（1分）‎ ‎（2）解：设OP＝x，则OB＝x－1，OA＝x＋m．‎ ‎∵OP是OA、OB的比例中项，∴x 2＝（x－1）（x＋m），………………………（1分）‎ 得x＝，即OP＝，………………………………………………………（1分）‎ ‎∴OB＝．………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵OP是OA、OB的比例中项，即OA︰OP＝OP︰OB，‎ ‎∵OP＝OC，∴OA︰OC＝OC︰OB．………………………………………………（1分）‎ 设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，‎ 当点C与点P、点Q不重合时，‎ ‎∵∠AOC＝∠COB，∴△CAO∽△BCO．…………………………………………（1分）‎ ‎∴AC︰BC＝OC︰OB．………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴AC︰BC＝OC︰OB＝OP︰OB＝m；‎ 当点C与点P或点Q重合时，可得AC︰BC＝m，‎ ‎ ∴当点C在圆O上运动时，AC︰BC＝m．…………………………………………（1分）‎ ‎ （3）解：由（2）得，AC＞BC，且AC－BC＝（m－1）BC（m＞1），AC＋BC＝（m＋1）BC，圆B和圆C的圆心距d＝BC，‎ ‎ 显然BC＜（m＋1）BC，∴圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含．‎ 当圆B与圆C相交时，（m－1）BC＜BC＜（m＋1）BC，得0＜m＜2，‎ ‎∵m＞1，∴1＜m＜2 ．………………………………………………………………（1分）‎ ‎ 当圆B与圆C内切时，（m－1）BC ＝BC，得m＝2；……………………………（1分）‎ ‎ 当圆B与圆C内含时，BC＜（m－1）BC，得m＞2 ．…………………………（1分）‎ ‎·‎ A B C D E F O P ‎（图一）‎ 圆、相似形、函数 ‎·‎ A B C D E F O P ‎（图一）‎ ‎25、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝‎ ‎3 ．点O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半 圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E．作EP ‎⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．‎ ‎（1）如图一，求证：△ADE∽△AEP；‎ A B C ‎（备用图）‎ ‎（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析 式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当BF＝1时，求线段AP的长．‎ ‎（2005年上海市学业试题）‎ ‎·‎ A B C D E F O P ‎（图一）‎ 证明：如图一，连结OD．…………………（1分）‎ 根据题意，得OD⊥AB，即∠ODA＝90°．（1分）‎ ‎∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED．‎ ‎∵∠DEP＝90°，‎ ‎∴∠ADE＝∠AEP．………………………（1分）‎ 又∵∠A＝∠A，‎ ‎∴△ADE∽△AEP．……………………………………………………………（1分）‎ ‎（2）解：∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5 ．‎ ‎∵OA＝x，∴OE＝OD＝x，AD＝x．……………………………………（1分）‎ ‎∴AE＝x＋x＝x．…………………………………………………………（1分）‎ 当点O在边AC上移动时，总有△ADE∽△AEP，∴AP︰AE＝AE︰AD．‎ ‎∴y＝x，……………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵AE≤AC，∴x≤5，∴x≤，∴0＜x≤．…………………………（1分）‎ ‎（3）解法—：∵△ADE∽△AEP，∴AE︰AD＝PE︰ED．‎ ‎∵AE＝x，AD＝x．∴PE︰ED＝AE︰AD＝2 ．‎ 易证△BPF∽△EPD，∴BP︰BF＝PE︰ED＝2 ．‎ ‎∴当BF＝1时，BP＝2 ．‎ ‎①若EP交线段CB的延长线于点F（如图一），则 AP＝4－BP＝2 ．………………………………………………………………（2分）‎ A B C F P D E O ‎（图二）‎ ‎②若EP交线段CB于点F（如图二），则 AP＝4＋BP＝6 ．…………………………（2分）‎ 解法二：当BF＝1时，‎ ‎①若EP交线段CB的延长线于点F（如图一），‎ 则CF＝4 ．‎ ‎∴∠ADE＝∠AEP，∴∠PDE＝∠PEC．‎ ‎∵∠FBP＝∠DEP＝90°，∠FPB＝∠DPE，∴∠F＝∠PDE，‎ ‎∴∠CFE＝∠FEC．∴CF＝CE．‎ ‎∵CE＝5－AE＝5－x，∴5－x＝4，得x＝．‎ ‎∴y＝2，即AP＝2 ．…………………………………………………………（2分） ‎ ‎②若EP交线段CB于点F（如图二），则CF＝2 ．‎ 类似①，易得CF＝CE．‎ ‎∵CE＝5－AE＝5－x，∴5－x＝2，得x＝．‎ ‎∴y＝6，即AP＝6 ．…………………………………………………………（2分） ‎ ‎（图十）‎ A B M N P Q O ‎·‎ ‎25、已知：如图一，∠MAN＝60°，点B在射线 AM上，AB＝4．点P为直线AN上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ（点B、P、Q按顺时针排列），‎ 点O是△BPQ的外心．‎ ‎（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O ‎（备用图）‎ A B M N P Q O ‎·‎ 在∠MAN 的平分线上；‎ ‎（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不 重合）时，AO与BP交于点C，设AP＝x，AC·AO ‎＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）若点D在射线AN上，AD＝2，圆I为 ‎△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相 切时，请直接写出点A与点O的距离．‎ ‎（2007年上海市学业考试试题）‎ A B M N P Q O H T ‎（图四）‎ ‎（1）证明：如图4，连结OB、OP，‎ ‎∵O是等边三角形BPQ的外心，‎ ‎∴OB＝OP，………………………………（1分）‎ 圆心角∠BOP＝＝120°．‎ 当OB不垂直于AM时，作OH⊥AM，OT⊥AN，‎ 垂足分别为点H、T．‎ 由∠HOT＋∠A＋∠AHO＋∠ATO＝360°，‎ 且∠A＝60°，∠AHO＝∠ATO＝90°，∴∠HOT＝120°．∴∠BOH＝∠POT．（1分）‎ ‎∴Rt△BOH≌Rt△POT．………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴OH＝OT．∴点O在∠MAN的平分线上．………………………………………（1分）‎ 当OB⊥AM时，∠APO＝360°－∠A－∠BOP－∠OBA＝90°．‎ 即OP⊥AN，∴点O在∠MAN的平分线上．‎ 综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上．‎ A B M N P Q O C ‎（图五）‎ ‎（2）解：如图5，‎ ‎∵AO平分∠MAN，且∠MAN＝60°，‎ ‎∴∠BAO＝∠PAO＝30°．…………………（1分）‎ 由（1）知，OB＝OP，∠BOP＝120°，‎ ‎∴∠CBO＝30°．∴∠CBO＝∠PAC．‎ ‎∵∠BCO＝∠PCA ，∴∠AOB＝∠APC． （1分）‎ ‎∴△ABO∽△ACP．…………………………（1分）‎ ‎∴＝．∴AC·AO＝AB·AP．‎ ‎∴y＝4x． ……………………………………（1分）‎ A B M N P Q O 图6‎ ‎(D)‎ I ‎(A)‎ B M N P Q O 图7‎ D I ‎(A)‎ B M N P Q O 图8‎ D I 定义域为：x＞0．……………………………（1分）‎ ‎（3）解：①如图6，当BP与圆I相切时，AO＝2；…………………………（2分）‎ ‎ ②如图7，当BP与圆I相切时，AO＝；……………………………………（1分）‎ 一次函数、二次函数、相似三角形的判定、（锐角三角比）‎ ‎24、‎（图一）‎ ‎－1‎ y ‎1‎ x ‎1‎ A O 已知：如图十二，在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点．二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像经过 点A（－1，0），顶点为点B．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标；‎ ‎（2）如果点C的坐标为（4，0），AE⊥BC，垂 足为点E，点D在直线AE上，DE＝1，求点D的坐 标． （2008年上海市学业试题）‎ 解：二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像经过点A（－1，0），‎ ‎∴0＝－1－b＋3，∴b＝2，…………………………………………………………（2分）‎ ‎∴所求二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3，……………………………………（1分）‎ F ‎－1‎ y ‎1‎ x ‎1‎ A O B C E ‎（图一）‎ 这个二次函数图象得顶点B的坐标为（1，4）．…………………………………（2分）‎ ‎（2）过点B作BF⊥x轴，垂足为点F（如图一）．‎ 在Rt△BCF中，∵BF＝4，CF＝3，BC＝5，‎ ‎∴sin∠BCF＝．‎ ‎（图二）‎ ‎－1‎ y ‎1‎ x ‎1‎ A O B D1‎ C D2‎ E H2‎ H1‎ 在Rt△ACE中，∵sin∠ACE＝，AC＝5，‎ ‎∴＝，∴AE＝4．…………………（2分）‎ 过点D作DH⊥x轴，垂足为点H．由题意知，点 H在点A得右侧（如图二），‎ 易证△ADH∽△ACE，∴＝＝．‎ 其中CE＝3，AE＝4．设点D的坐标为（x，y），则AH＝x＋1，DH＝y．‎ ‎①若点D在AE的延长线上，则AD＝5，得＝＝，∴x＝3，y＝3，∴点D的坐标为（3，3）；‎ ‎②若点D在线段AE上，则AD＝3，得＝＝，∴x＝，y＝，∴点D的坐标为（，），‎ 综上所述，点D的坐标为（3，3）或（，）．………………………………（5分）‎ 直角梯形、一次函数、两圆位置关系（外切）、无理方程、相似三角形的判定 ‎（图十三）‎ A B M C D E ‎25、已知：AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC（如图十三）．点E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），点M是线段DE的中点．‎ ‎（1）设BE＝x，△ABM的面积为y，求y关 于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE ‎（备用图）‎ A B C D ‎（图十四）‎ 为直径的圆外切，求线段BE的长；‎ ‎（3）联结BD，交线段AM于点N．如果以点 A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段 BE的长． （2008年上海市学业试题）‎ ‎（图一）‎ A B M C D E H 解：（1）取AB的中点H，联结MH（如图一）．‎ ‎∵点M是线段DE的中点，‎ ‎∴MH∥BE，MH＝（BE＋AD）．……（1分）‎ 又∵AB⊥BE，∴MH⊥AB，……………（1分）‎ ‎∴S△ABM＝AB·MH，得y＝x＋2（x＞0）．………………………（2分）（1分）‎ ‎（2）由已知得DE＝．……………………………………………（1分）‎ ‎∵以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，‎ H A B M C D E ‎（图二）‎ ‎∴MH＝AB＋DE（如图二），‎ 即（x＋4）＝[2＋]，…（2分）‎ 解得x＝，即线段BE的长为．………………………………………………（1分）‎ ‎（3）由已知，以点A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，‎ 又易证∠DAM＝∠EBM，……………………………………………………………（1分）‎ 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①∠ADN＝∠BEM；②∠ADB＝∠BME．‎ N A B M C D E ‎（图三）‎ ‎①当∠ADN＝∠BEM时（如图三），‎ ‎∵AD∥BE，∴∠ADN＝∠DBE，‎ ‎∴∠DBE＝∠BEM，‎ ‎∴DB＝DE，易得BE＝2AD，得BE＝8；…（2分）‎ N A B M C D E ‎（图四）‎ ‎②当∠ADB＝∠BME时（如图四），‎ ‎∵AD∥BE，∴∠ADB＝∠DBE，‎ ‎∴∠DBE＝∠BME，‎ 又∠BED＝∠MEB，∴△BED∽△MEB，‎ ‎∴＝，即BE2＝EM·DE，得x2＝·，‎ 解得x1＝2，x2＝－10（舍去），即线段BE得长为2．……………………………（2分）‎ 综上所述，所求线段BE的长为8或2．‎